Lineáris egyenletrendszerek

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Lineáris egyenletrendszerek
Advertisements

Készítette: Nagy Mihály tanár Perecsen, 2006.
Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék.
Egyismeretlenes lineáris egyenletek
Irracionális egyenletek
Testek egyenes vonalú egyenletesen változó mozgása
Műveletek logaritmussal
Kalman-féle rendszer definíció
Elemi bázistranszformáció
Regresszió számítás Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése Geodéziai mérések – pontok helyzete, pontszerű információ Lineáris regresszió.
Operációkutatás szeptember 18 –október 2.
Függvénytranszformációk
Algebra a matematika egy ága
Mindenki az egyenes illesztést erőlteti. Kell olyan ábra ahol 1 ismeretlen pont van Kell olyan ábra ami a görbék párhuzamos lefutását mutatja Kell olyan.
IPPI ÁLTALÁNOS ISKOLA SZILÁGY MEGYE
Transzformációk kucg.korea.ac.kr.
Dr. Szalka Éva, Ph.D.1 Statisztika II. VIII.. Dr. Szalka Éva, Ph.D.2 Többváltozós korreláció és regresszióanalízis.
Másodfokú egyenletek.
Ozsváth Károly TF Kommunikációs-Informatikai és Oktatástechnológiai Tanszék.
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika
Lineáris algebra Mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek
Lineáris korreláció és lineáris regresszió. A probléma felvetése y = 1,138x + 80,778r = 0,8962.
Integrálszámítás Mire fogjuk használni az integrálszámítást a matematikában, hova szeretnénk eljutni? Hol használható és mire az integrálszámítás? (már.
A lineáris függvény NULLAHELYE
Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika.
Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Rendszerező összefoglalás matematikából
Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai
MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA I.
Lineáris algebra.
Exponenciális egyenletek
Koordináta-geometria
A logaritmusfüggvény.
Másodfokú egyenletek megoldása
Kétismeretlenes elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerek
Szögfüggvények és alkalmazásai
1. feladat Makó és Veszprém között a távolság 270 km. Reggel 8-kor elindult egy vonat Makóról 60 km/h sebességgel. 9-kor Veszprémből indult egy gyorsvonat.
1. feladat Az ábrán egy épülő ház tetőszerkezetét látjuk. A „mester” szerint ez akkor lesz a legstabilabb, ha a „ferde” CD nyeregtetőt annak F felezőpontjában,
Telefonos feladat Egy háromjegyű szám elé írtunk egy hármast, majd az eredeti háromjegyű szám mögé írtunk egy hármast. A kapott két négyjegyű szám különbsége.
Felszín alatti vizek védelme Vízmozgás analitikus megoldásai.
Az típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelőssége és egyéb érdekességek Ábrahám Gábor.
Lineáris egyenletrendszerek, leképezések, mátrixok
Katz Sándor: Módszertani szempontból fontos feladatok
2.2. Az egyenes és a sík egyenlete
1. MATEMATIKA ELŐADÁS Halmazok, Függvények.
Lineáris algebra.
A határérték Digitális tananyag.
Dr. Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna
Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák:
Valószínűségszámítás II.
Többdimenziós valószínűségi eloszlások
Hibaszámítás Gräff József 2014 MechatrSzim.
Adalékok egy véges összegzési feladathoz
Egyenletek középszinten, emelt szinten, versenyszinten Katz Sándor, Bonyhádi Petőfi S. Ev. Gimn.
Témazáró előkészítése
Számok világa.
Egyenlet, egyenlőtlenség, azonosság, azonos egyenlőtlenség
Készítette: Horváth Zoltán
Integrálszámítás.
Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék.
III. előadás.
EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL
Munkagazdaságtani feladatok
5. Kalibráció, függvényillesztés
Matematika 10.évf. 4.alkalom
Matematika 11.évf. 1-2.alkalom
A lineáris függvény NULLAHELYE
Szögfüggvények és alkalmazásai Készítette: Hosszú Ildikó Nincs Készen.
Előadás másolata:

Lineáris egyenletrendszerek Megoldási módszerek És Példa feladatok

Megoldási módszerek Grafikus módszer Behelyettesítéses módszer Gauss féle eliminációs módszer avagy az egyenlő együtthatók módszere Vegyesen megoldható, többismeretlenes egyenletrendszerek

Grafikus módszer Szükséges lépések, hogy az egyenletek y-ra legyenek rendezve, az egyenleteket mint függvényeket közös koordináta rendszerben ábrázoljuk, és a kapott metszéspont tengelyekre vetített képét leolvassuk. Ezek adják a megoldást. Hátránya, hogy 3 ismeretlenes egyenletrendszernél magasabb rendűt megoldani igen bonyolult

x=1; y=2 és ez az egyenletrendszer megoldása Példa x=1; y=2 és ez az egyenletrendszer megoldása

X=0; y=2 És ez az egyenletrendszer megoldása Példa X=0; y=2 És ez az egyenletrendszer megoldása

Megoldás: x=3; y=-1 Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! I. II. Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! x 1 5 10 -5 -10 y I. Megoldás: x=3; y=-1 II.

Megoldás: x=2; y=2 Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! y=2 X=2 Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! 5 -5 x y I. Megoldás: x=2; y=2 y=2 X=2 II.

I. Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! 5 -5 x y Megoldás: Mivel nincs metszéspont, ezért nincs megoldása az egyenletrend-szernek I. II.

Megoldás behelyettesítő módszerrel Valamelyik egyenletet az egyik változójára rendezzük Ezután behelyettesítjük a rendezett egyenletet a másik eredeti egyenletbe.

Mely számpárok elégítik ki az egyenletek megoldáshalmazát? Vegyük észre, hogy a II. egyenlet x-re rendezett! I. II. Helyettesítsük be a II. egyenletet az I. egyenletbe! II. I. Zárójelbontás Összevonás / -2 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=2, és y=1

Példa a behelyettesítő módszerre Vegyük észre, hogy az I. egyenlet könnyen y változóra rendezhető! Elegendő visszahelyettesíteni az előbb kapott eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! És ez a megoldása az egyenletrendszernek

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? II. Fejezzük ki y-t az I. egyenletből! Helyettesítsük be az I. egyenlet y-ra rendezett alakját a II.-ba! I. II. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra, hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / +32 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=6

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? Fejezzük ki y-t a II. egyenletből! I. II. Helyettesítsük be a II. egyenlet y-ra rendezett alakját az I.-be! II. I. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra, hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / Összevonás / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=3, és y=2

Egyenlő együtthatók módszere Akkor hatásos, amikor a behelyettesítés előkészítése bonyolulttá tenné az egyenlet átrendezését. Célunk ezzel a módszerrel az, hogy valamelyik ismeretlen változótól megszabaduljunk. Ezt úgy tehetjük meg, hogy mindkét egyenletnek az egyik kiválasztott változóit egyenlő együtthatóra alakítjuk.

Ha az I. egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a II Ha az I. egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a II. egyenletet megszorozzuk 2-vel, akkor mindkét egyenletben az x változó 6 szorosa jelenik meg. Azaz: Mindkét egyenletben a 6x-es tagok pozitívak. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-at.

Oldjuk meg ugyanezt az egyenletrendszert x-re is!

Vegyesen megoldható, és három ismeretlenes egyenletrendszerek

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *7 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 175 lesz a közös együtthatójuk II. / *5 I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :20 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -40,3 / :35 Az egyenletrendszer megoldása: x=-0,18, és y=1,3

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 10 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :10 Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=6

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. / :2 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :4 Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=3

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunk pontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / :5 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunk pontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz nincs megoldása az egyenletrendszernek

Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Adjuk össze az első és a másodikat egyenleteket! II. I. + II. / :11 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -14 / : (-2) Az egyenletrendszer megoldása: x=2, és y=6

Az egyenletrendszer megoldása: x=1, y=2 és z=3 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? / *2 I. Ahhoz, hogy z-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 III. / *2 I. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-t! II. Vonjuk ki az I. egyenletből a III.-t! III. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy a 8 a közös együttható! I. - II. I;II. I;III. I. - III. Vonjuk ki az I;II. egyenletből a I;III.-t! / : (-4) Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I;III egyenletbe! / -2 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az III. egyenletbe! Az egyenletrendszer megoldása: x=1, y=2 és z=3

Az egyenletrendszer megoldása: x=2, y=3 és z=5 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek? I. Ahhoz, hogy z-t és x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy az együtthatójuk azonos! II. III. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-t! I;II. I. - II. Adjuk össze az I. egyenletet a III.-kal! I;III. I. + III. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy az együtthatójuk közös! / :2 Vonjuk ki az I;III. egyenletből az I;II.-t! Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I;III egyenletbe! / -4 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenletbe! Az egyenletrendszer megoldása: x=2, y=3 és z=5