Gazdaságstatisztika Korreláció- és regressziószámítás II.

Hol járunk?

A kétváltozós lineáris regressziós modell paramétereinek intervallumbecslése  

A lineáris regressziós modell eredményeinek ellenőrzése: hipotézisvizsgálatok  

A paraméterek szeparált tesztelése  

A paraméterek szeparált tesztelése  

A paraméterek együttes tesztelése  

A paraméterek együttes tesztelése  

Példa Lakás sorszáma Eladási ár (Y) Alapterület (X) 1 24,8 83 2 34,0   Lakás sorszáma Eladási ár (Y) Alapterület (X) 1 24,8 83 2 34,0 88 3 40,6 117 4 40,8 120 5 45,8 177 6 47,6 164 7 50,2 186 8 52,1 192 9 56,3 191 10 74,9 233 11 80,3 211

Példa: grafikus ábrázolás  

Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése A paraméterek becslései: Az alapterületek átlagos nagysága a minta alapján: Az eladási árak átlagos nagysága a minta alapján:

Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése Lakás sorszáma Eladási ár Alapterület dy dx dxdy dx2 1 24,8 83 -25,0 -77,2 1926,7 5957,0 2 34 88 -15,8 -72,2 1137,8 5210,2 3 40,6 117 -9,2 -43,2 395,7 1864,7 4 40,8 120 -9,0 -40,2 360,2 1614,6 5 45,8 177 -4,0 16,8 -66,7 282,9 6 47,6 164 -2,2 3,8 -8,3 14,6 7 50,2 186 0,4 25,8 11,3 666,6 8 52,1 192 2,3 31,8 74,3 1012,4 9 56,3 191 6,5 30,8 201,4 949,8 10 74,9 233 25,1 72,8 1830,4 5302,5 11 80,3 211 30,5 50,8 1551,8 2582,5 Össz. 547,4 1762 7414,8 25457,6 Átlag 49,8 160,2

Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése A táblázatban szereplő értékek alapján: A regressziós egyenes egyenlete: A paraméterek közül a meredekségi paraméter jelentése az, hogy négyzetméterenként átlagosan 0,291 mFt-tal (291 000Ft-tal) nő az eladási ár. A tengelymetszet-paraméter jelentése az, hogy modellünk szerint a 0 négyzetméteres lakások ára 3,18 millió Ft. E paraméter kapcsán fontos kiemelni, hogy nem lehet neki minden esetben tárgyi jelentést tulajdonítani!

Példa: rugalmassági együttható Ez minden x esetében más és más értéket ad. Ha rögzítjük az x értékét valamilyen szinten (pl. 60 négyzetméterben), akkor az elaszticitás egy konkrét értékét kapjuk eredményként Elaszticitás x=60 esetén: Ez azt jelenti, hogy ha a 60 négyzetméteres szintről kiindulva 1%-kal növeljük a területet, akkor az eladási ár átlagosan 0,84 6%-kal nő.

Példa: regressziós egyenes pontjainak és a reziduumok meghatározása Az elemzés következő lépése, hogy kiszámítjuk a regressziós egyenes pontjainak értékét, majd a megfigyelt és a becsült értékek különbözeteként a reziduumokat. Lakás sorszáma Eladási ár Alapterület dy dx dxdy dx2 dy2 ŷ ei 1 24,8 83 -25,0 -77,2 1926,7 5957,0 623,2 27,3 2,5 2 34 88 -15,8 -72,2 1137,8 5210,2 248,5 28,8 -5,2 3 40,6 117 -9,2 -43,2 395,7 1864,7 84,0 37,2 -3,4 4 40,8 120 -9,0 -40,2 360,2 1614,6 80,3 38,1 -2,7 5 45,8 177 -4,0 16,8 -66,7 282,9 15,7 54,7 8,9 6 47,6 164 -2,2 3,8 -8,3 14,6 4,7 50,9 3,3 7 50,2 186 0,4 25,8 11,3 666,6 0,2 57,3 7,1 8 52,1 192 2,3 31,8 74,3 1012,4 5,5 59,1 7,0 9 56,3 191 6,5 30,8 201,4 949,8 42,7 58,8 10 74,9 233 25,1 72,8 1830,4 5302,5 631,8 71,0 -3,9 11 211 30,5 50,8 1551,8 2582,5 932,5 64,6 -15,7 Össz. 547,4 1762 7414,8 25457,6 2669,1 Átlag 49,8 160,2

Példa: empirikus lineáris korrelációs együttható számítása Az empirikus lineáris korrelációs együttható. Az eredmény azt mutatja, hogy a vizsgált két változó között meglehetősen szoros, pozitív irányú kapcsolat tapasztalható. A korrelációs együttható értéke közel áll a +1-hez, ami arra utal, hogy a regressziós egyenes jól illeszkedik a megfigyelési pontokhoz.

Példa: A teljes eltérésnégyzet-összeg felbontása Lakás sorszáma Eladási ár Alapterület dy2 ŷi ei ŷi - y̅ (ŷi - y̅)2 ei2 1 24,8 83 623,2 27,3 2,5 -22,4 503,1 6,4 2 34 88 248,5 28,8 -5,2 -21,0 440,0 27,2 3 40,6 117 84,0 37,2 -3,4 -12,5 157,2 11,4 4 40,8 120 80,3 38,1 -2,7 -11,7 136,0 7,3 5 45,8 177 15,7 54,7 8,9 4,9 24,2 79,0 6 47,6 164 4,7 50,9 3,3 1,1 1,3 10,9 7 50,2 186 0,2 57,3 7,1 7,5 56,9 50,5 8 52,1 192 5,5 59,1 7,0 9,3 86,3 48,3 9 56,3 191 42,7 58,8 9,0 81,0 6,1 10 74,9 233 631,8 71,0 -3,9 21,2 450,3 15,3 11 211 932,5 64,6 -15,7 14,8 219,6 247,1 Össz. 547,4 1762 2669,1 0,0 2155,8 509,5 Átlag 49,8 160,2 SST=2669,1 SSR=2155,6 SSE=509,5 (Az értékek eltérései a korábbi egy tizedesre történő kerekítésekből adódnak.)

Példa: a regressziós függvény paramétereinek intervallumbecslése A regressziós becslés során elkövetett hiba: Ez önmagában azt jelenti, hogy az egyes lakások ára átlagosan mintegy 7,5mFt-tal tér el attól, amit a regressziós modellel becsülni tudnánk. A paraméterek standard hibái: Ha megbízhatóságot 95%-os szinten rögzítjük, akkor , a keresett konfidencia intervallumok:

Példa: a regressziós függvény paramétereinek szeparált tesztelése  

Példa: a regressziós függvény paramétereinek szeparált tesztelése  

Átlagos négyzetösszeg Példa: a regressziós függvény paramétereinek együttes tesztelése   A variancia forrása Négyzetösszeg Szabadságfok Átlagos négyzetösszeg F Regresszió SSR=2155,8 1 Maradék SSE=509,5 n-2=11-2=9   Teljes SST=2665,3 n-1=10

GYAKORLÓ FELADATOK A KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS TÉMAKÖRÉBŐL Gazdaságstatisztika GYAKORLÓ FELADATOK A KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS TÉMAKÖRÉBŐL

1. Feladat Egy vállalat havi árbevétele (x) és havi üzleti eredménye (y) közötti kapcsolat egy 10 elemű minta alapján az y = -9+0,1x lineáris regressziós függvénnyel írható le. A mintában az árbevétel korrigált empirikus szórása 9,8 millió Ft, az üzleti eredményé 1,1 millió Ft. a.) Értelmezze a regressziós egyenes meredekségét! b.) Határozza meg az árbevétel és az üzleti eredmény közötti determinációs együtthatót, és értelmezze az eredményt!

1. Feladat - megoldás a.) A regressziós egyenes: y = -9+0,1x. Ennek meredeksége 0,1. Ez azt jeleneti, hogy az árbevétel egységnyi növekedése az üzleti eredmény átlagosan 0,1 egységnyi növekedését vonja maga után. b.) Az árbevétel (x) és az üzleti eredmény (y) közötti determinációs együttható meghatározása Egyrészt a determinációs együttható: Másrészt a regressziós egyenes meredeksége: Ez utóbbi két összefüggésből a determinációs együttható:

1. Feladat - megoldás A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: A determinációs együttható: A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x). Esetünkben ez azt jelenti, hogy az üzleti eredmény varianciáját (változékonyságát) 79,37%-ban magyarázza az árbevétel .

2. Feladat Teherhajók tömege (x) és kirakodási idejük (y) között a tapasztalati lineáris korrelációs együttható értéke egy 10 elemű minta alapján 0,87. A mintában a hajótömegek korrigált tapasztalati szórása 7,2 tonna, a kirakodási időé 2,1 óra. a.) Hány %-ban magyarázza a kirakodási idő varianciáját a teherhajók tömege? b.) Adja meg a kirakodási idő és a hajótömeg közötti regressziós egyenes meredekségét!

2. Feladat - megoldás a.) A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x). Esetünkben a korrelációs együttható értéke 0,87. Ennek négyzete 0,7569 a determinációs együttható értéke, azaz a kirakodási idő varianciájának 75,69%-át magyarázza a teherhajók tömege. b.) A regressziós egyenes meredekségének meghatározása: Egyrészt a regressziós egyenes meredeksége: Másrészt a korrelációs együttható: Ez utóbbi két összefüggésből a regressziós egyenes meredekségére:

2. Feladat - megoldás A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: A regressziós egyenes meredekségéről tudjuk, hogy A teherhajók tömegének 1 egységnyi növekedése a kirakodási idő átlagosan 0,254 egységnyi növekedését eredményezi.