Hol tartunk… IV. Hozamok és árfolyamok IV.1. Folytonos és diszkrét hozam IV.2. Számtani és mértani átlag IV.3. Átlagos és várható hozam IV.4. Állandó várható hozam feltételezése 2013. ősz Befektetések

Mekkora az éves és féléves diszkrét, illetve folyamatos kamatozással számolt hozama annak az értékpapírnak, amelynek árfolyam T=4 év alatt P0=100-ról PT=200-ra emelkedik? 2013. ősz Befektetések

Az alábbi árfolyamadatú értékpapír esetén mekkora az éves növekedések átlaga, illetve az átlagos éves növekedés diszkrét kamatozás mellett? P0=100; P1=110,517; P2=90,484; P3=105,127; P4=122,14 2013. ősz Befektetések

Az alábbi árfolyamadatú értékpapír esetén mekkora az éves növekedések átlaga, illetve az átlagos éves növekedés folytonos kamatozás mellett? P0=100; P1=110,517; P2=90,484; P3=105,127; P4=122,14 2013. ősz Befektetések

IV.4. Állandó várható hozam feltételezése 24-25 IV.4. Állandó várható hozam feltételezése A befektetők a befektetések (piaci) kockázatától függő hozamelvárások mellett fektetnek be, a piaci várható hozamok is ezekhez a hozamelvárásokhoz igazodnak. Minden pillanatban akkora az ár, hogy az ár és a jövőbeli várható jövedelmek viszonya éppen a kockázatához illő elvárt hozamot adja. Általánosságban megállapíthatjuk, hogy a tőzsdéken az új információk beépítésének sebessége és pontossága igen nagy. Árfolyamváltozás: változik jövőbeli jövedelmekkel kapcsolatos várakozás, mialatt nem változik a kockázat, ezzel együtt az elvárt hozam sem. 2013. ősz Befektetések

IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése 25 IV.5. Állandó volatilitású, időben független hozam feltételezése A részvényárfolyamok ingadozásának kérdése már jóval bonyolultabb. Az árfolyamok ingadozását a (normális eloszlású) hozam σ(r) szórásából származtatjuk. 2013. ősz Befektetések

Azonos normális eloszlásúak összege: 26 Azonos normális eloszlásúak összege: Összeg várható értéke: Összeg szórása: Ez már a korrelációs kapcsolatoktól is függ Csak két esetet vizsgálunk: ki,j=1 és ki,j=0 Általános képlet két elemre Általános képlet n elemre 2013. ősz Befektetések

26-27 Két elemnél: n elemnél: 2013. ősz Befektetések

PT lognormális eloszlású Ábrázoljuk! 27 Legyenek az r1, r2, …, rn hozamok egy P0-ból PT-be tartó árfolyam n darab ti (azonos hosszúságú) időszakai alatti azonos normális eloszlás szerint alakuló hozamai! T=nti Első megközelítésként legyen ki,j=1, azaz a tagok tökéletesen függjenek egymástól. Ekkor PT PT lognormális eloszlású Ábrázoljuk! 2013. ősz Befektetések

27 ri 1 2 3 n=4 ri1 ri2 E(ri) ri3 n, T 2013. ősz Befektetések

28 4ri n, T 3ri nr1 2ri nr2 1ri nE(ri) nr3 2013. ősz Befektetések

28 P0 Pi 1 2 3 4 n, T P1 P2 P3 2013. ősz Befektetések

Adja meg annak a P0=100 árfolyamú befektetésnek az n=9 év múlvai hozamát és árfolyamát (mint valószínűségi változót), amelynek egymástól tökéletesen függő normális eloszlású éves (azonos) hozamainak a következők a paraméterei: E(ri)=12%, σ(ri)=20% ! 2013. ősz Befektetések

29 Most nézzük a ki,j=0 esetet, tehát azt, amikor a tagok tökéletesen függetlenek egymástól. ri 1 2 3 n=4 E(ri) n, T 2013. ősz Befektetések

29 n, T nE(ri) 4ri 3ri 2ri 1ri 2013. ősz Befektetések

30 1 2 3 4 P0 n, T Pi 2013. ősz Befektetések

30 1 P0 2 3 4 n, T Pi 2013. ősz Befektetések

Adja meg annak a P0=100 árfolyamú részvények az n=9 év múlvai hozamát és árfolyamát (mint valószínűségi változót), amelynek egymástól tökéletesen független normális eloszlású éves (azonos) hozamainak a következők a paraméterei: E(ri)=12%, σ(ri)=20% ! Milyen sávban lesz 95,45% valószínűséggel a fenti részvény hozama és árfolyama 9 év múlva? 2013. ősz Befektetések

Folytonossá tétel Végtelen kis változások végtelen összegződése 31 Folytonossá tétel Végtelen kis változások végtelen összegződése n helyett T szükségünk van egy időegység kijelölésére Év E(ri) helyett a folyamatos kamatozású E(rc) σ(ri) helyett a σ(rc) egységnyi időre (egy évre) vonatkoztatva Ez a volatilitás 2013. ősz Befektetések

Most térjünk vissza árfolyammodellünkhöz. 31 Most térjünk vissza árfolyammodellünkhöz. A hozam várható értékének állandóságáról már szóltunk. Most a hozam szórásának (a volatilitásnak) az állandóságát látjuk be. Úgy tekintjük, hogy a hozamokat a várhatótól eltérítő (azaz a „szórást okozó”) új információk érkezése olyan normális eloszlású valószínűségi változóval ragadható meg, amelynek várható értéke éppen nulla, A „jó” és a „rossz” hírek azonos esélyűek. szórása pedig állandó Az információk véletlensége állandó. 2013. ősz Befektetések

Sőt, ez bármely kis időszakaszokra érvényes. 31 Modellünk tartalmazott még egy fontos kitételt, az emlékezetnélküliséget: Sőt, ez bármely kis időszakaszokra érvényes. Ez a tőkepiaccal kapcsolatos eddigi feltételezéseinkből következik. Az állandó várható hozam feltételezésénél arra építettünk, hogy a piac végtelen gyorsan és pontosan reagál a véletlenül érkező új információkra. De, ha a véletlenül érkező információkra végtelen gyorsak a reakciók, akkor az ezeket követő új információkra való reakciók független kell legyenek az előzőektől. 2013. ősz Befektetések

32 Volatilitás becslése Amennyiben az egyes időegységek hozamalakulásai függetlenek egymástól, T időszakot szemlélve a szórás Nézzük ezután meg, hogy miként becsülhetnénk meg a volatilitást múltbeli adatokból! Tekintsük a 0, 1, 2, …, n időpontban az azonos t távolságokra lévő árfolyamadatokat! (t években kifejezett, de nem feltétlenül éves hosszúságú.) Először számítsuk ki az egyes szakaszok hozamait! rct,i folytonos hozamok a t időszak alatti változásokat mutatják éves értelemben! 2013. ősz Befektetések

Majd helyettesítsünk be az általános képletbe: 32 Miután megvagyunk a „kis t-k alatti” hozamokkal, számítsuk ki ezek szórását! Majd helyettesítsünk be az általános képletbe: 2013. ősz Befektetések

Becsülje meg a t=0,5év hosszúságú időszakok végén a következő árfolyamadatokat mutató értékpapír volatilitását! P0=100; P1=110,517; P2=90,484; P3=105,127; P4=122,14 2013. ősz Befektetések

Tekintsük át az eddigi tudásunk birtokában a tőzsdei hozamokat! 2013. ősz Befektetések

rT E(rc)T T 1 2013. ősz Befektetések

Szigma-szabályok A várható érték körül 2, 4, 6 stb. szórásnyi tartományban mekkora valószínűséggel helyezkednek el a adatok: ±1σ sávban (-1,25% - +1,25%) az adatok 68,27%-a ±2σ sávban (-2,5% - +2,5%) az adatok 95,45%-a Átlagosan havonta egy napon ±3σ sávban (-3,75% - +3,75%) az adatok 99,73%-a Átlagosan másfél évenként egy napon ±4σ sávban (-5% - +5%) az adatok 99,9937%-a Átlagosan 63 évenként 1 napon ±5σ sávban (-6,25% - +6,25%) az adatok 99,999943%-a Átlagosan 7000 évenként 1 nap -1σ -2σ -3σ -4σ -5σ 5σ 4σ 3σ 2σ 1σ 2013. ősz Befektetések

2013. ősz Befektetések

2013. ősz Befektetések

Tények ±5σ sávban az átlagosan 7000 év helyett évente. Vastag farkú (fat tail) eloszlások A hozamok emlékezetnélküliek, de a volatilitások nem. A hozamok nem korrelálnak, de a hozamnégyzetek igen. Hosszú ideig kicsi volatilitás, majd a piac „felbolydul” (nagy árfolyamváltozások), és jellegzetesen nagyobb volatilitású időszak következik. (Az ok nem teljesen tisztázott.) -1σ -2σ -3σ -4σ -5σ 5σ 4σ 3σ 2σ 1σ 2013. ősz Befektetések

IV.6. Tökéletes árazású árfolyamok 33-34 IV.6. Tökéletes árazású árfolyamok Tökéletesen árazó tőkepiaci világ árazása Egységesen informált, racionális befektetők, tranzakciós költségek nélküli, végtelen gyors reakciói. A befektetések állandó kockázatosságai (bétái) miatt állandó hozamelvárások. Az új információk („hírek”) nulla várható értéke és időben állandó szórása miatt állandó volatilitás és időbeli függetlenség („emlékezetnélküliséget”). 2013. ősz Befektetések

Egy kis tőkepiaci árfolyamok modellezése történelem… Robert Brown: „Az 1827. év június, július és augusztus hónapjaiban a növényi virágporokban rejlő partikulák mikroszkopikus megfigyelésének rövid taglalatja” 1860. James Maxwell: Daniel Bernoulli jól gondolta, a gázok tulajdonságai az atomi mozgásokkal magyarázhatók. Ez megmagyarázza a Brown-mozgást is. 1900. Louis Bachelier: „Théorie de la Speculation”. 1912. Albert Einstein: A Brown-mozgás matematikai háttere. 1965. Fama és Samuelson: „Tőzsdei árfolyamok viselkedése” 2013. ősz Befektetések

Sztochasztikus folyamatok 33-34 Sztochasztikus folyamatok Bolyongó mozgás, folyamat Brown-mozgás Hozam: aritmetikai Brown-mozgás Árfolyam: geometriai Brown-mozgás Wiener-folyamat Markov-folyamat Ito-folyamat E folyamatok jellegzetessége tehát, hogy t időszakonként egymástól független normális eloszlások véletlen értékei szerint „ugrál” a hozam. 2013. ősz Befektetések

V. Optimális portfóliók 34 V. Optimális portfóliók 2013. ősz Befektetések

V.1. Portfólióelmélet matematikai alapjai 34-35 V.1. Portfólióelmélet matematikai alapjai Két elemű portólió 2013. ősz Befektetések

Minimális szórású 2 elemű portfólió 36 Minimális szórású 2 elemű portfólió De nem erre optimalizálunk hasznosságmaximalizálás 2013. ősz Befektetések

37 V.2. Egy kockázatos és egy kockázatmentes befektetés optimális kombinációja 2013. ősz Befektetések

37 rf r1 rQ 2013. ősz Befektetések

Az alábbi adatokkal leírt befektetésekből állítson össze optimális Q portfóliót az A=4 kockázatkerülésű befektetőnek, majd adja meg ennek várható hozam és szórás paramétereit! rf=3%; E(r1)=10%, σ(r1)=25% 2013. ősz Befektetések

V.3. Két kockázatos befektetés optimális kombinációja 37 V.3. Két kockázatos befektetés optimális kombinációja 2013. ősz Befektetések

38 r1 r2 rR rmin σ 2013. ősz Befektetések

38 V.4. Kockázatmentes befektetés és két kockázatos befektetés optimális kombinációja r1 r2 rR rf rQ 2013. ősz Befektetések

Tőkeallokációs egyenes 39 Tőkeallokációs egyenes 2013. ősz Befektetések

A tőkeallokációs egyenes meredekségét adja meg az ún. Sharpe-mutató: 39 A tőkeallokációs egyenes meredekségét adja meg az ún. Sharpe-mutató: 2013. ősz Befektetések

A befektetők hasznosságmaximalizálása két mozzanaton keresztül történik: 1. A legmeredekebb tőkeallokációs egyenest biztosító kockázatos befektetés vagy portfólió megtalálása. 2. A befektető számára legnagyobb hasznosságot jelentő kockázatos – kockázat mentes kombináció megtalálása. 40 2013. ősz Befektetések

41 V.5. Kockázatmentes befektetés és „sok” kockázatos befektetés optimális kombinációja r1 r2 rf rQ ri rR 2013. ősz Befektetések

rQ rM rf 2013. ősz Befektetések

2013. ősz Befektetések