Származtatott termékek és reálopciók

Az előadások a következő témára: "Származtatott termékek és reálopciók"— Előadás másolata:

1 Származtatott termékek és reálopciók
Opciók értékelése A lejáratkori opcióértékek egyszerűen megadhatók, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

2 Származtatott termékek és reálopciók
LC értéke lejáratkor KT LP értéke lejáratkor PT KT PT KT SC értéke lejáratkor PT KT SP értéke lejáratkor PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

3 Opciók értéke lejárat előtt
A lejáratkori opcióértékek egyszerűen megadhatók, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam. Ez csak bonyolult összefüggésekkel adható meg, így a témát leegyszerűsítve tárgyaljuk. Miért bonyolult? „Szokásos” eljárásunk, a várható pénzáramlás becslése, majd az opció kockázatához illeszkedő tőke alternatíva költséggel történő diszkontálás nem vezet megoldásra. Az opció kockázata folyamatosan változik. Érték = Árfolyam Hatékony árazódást tételezünk fel. c és p érték is, (egyensúlyi) árfolyam is. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

4 Egyszerűsített megközelítés – a binomiális modell
Mivel egy opció értéke közvetlenül nem megragadható, így olyan részek kombinációjával próbáljuk közelíteni, amelyek értéke ismert, vagy könnyen megadható. A binomiális modellben lényegében az alaptermék árfolyam-alakulásának tulajdonságait egyszerűsítjük azért, hogy a lejáratkori árfolyam végtelen lehetséges értéke helyett csak néhánnyal kelljen kalkulálnunk. A részvény-árfolyamok alapvető tulajdonságait kell egyszerűbb formára hoznunk várható hozam + bolyongás 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

5 A binomiális modell egyszerűsítése:
diszkrét binomiális modell t P t P folytonos modell P0 P0 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

6 Származtatott termékek és reálopciók
Mindezek után olyan portfóliót állítunk össze, amelynek ugyan része az opció is, de mind a portfólió egésze, mind a többi része egzaktul megadható. Végül a portfólió és az „egzakt rész” különbségeként adódik az opció értéke. Olyan portfóliót állítunk össze, amelynek T időpontbeli értéke biztosan ismert. Ezt úgy csináljuk, hogy a portfólióban lévő részvény értékének változását „lefedezzük” az opció értékének változásával. Ismerjük tehát a portfólió jövőbeli értékét, amiből megadhatjuk a jelenbeli értékét. Mivel ismerjük P0-t, az egyetlen ismeretlen az opció jelenlegi (c vagy p) értéke lesz. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

7 Származtatott termékek és reálopciók
Tekintsünk egy egyszerű példát! jelenlegi részvényárfolyam (P) legyen 10$ vételi opció kötési árfolyam K=11$ lejárat T=1év, európai típusú a részvényárfolyam 1 év alatt 12,5$-ra növekedhet, vagy 8$-ra csökkenhet részvény: 12,5$ opció: 1,5 $ 12,5$ részvény: 10$ opció: c 10$ részvény: 8$ opció: 0 8$ 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

8 Származtatott termékek és reálopciók
Állítsunk össze a lejáratkori részvényárfolyamtól független értékű portfóliót! Célunkat x db részvény megvásárlásával és 1 db (ezen részvényre vonatkozó) vételi opció kiírásával (eladási kötelezettség vállalásával) próbáljuk elérni. 1/3 részvényből és 1 vételi opció kiírásából álló portfóliónk értéke 1 év múlva: 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

9 Származtatott termékek és reálopciók
Tudjuk tehát, hogy a portfólió jövőbeli értékét. 2,67$ Egy ilyen portfólió összeállításának költsége – a portfólió jelenbeli értéke: Mindezek alapján c-t meghatározható. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

10 Származtatott termékek és reálopciók
Binomiális értékelés több periódus esetén Hasonló eljárás, mint egy periódus esetén. 15,625 $ 4,625 $ 12,5 $ c1 2,29 $ 10 $ 10 $ c 0 $ 0 $ 8 $ 6,4 $ 0 $ 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

11 Származtatott termékek és reálopciók
A megoldás pontosításához a részidőszakok számának növelése vezet, ez azonban megnehezíti a számítást. A binomiális modell segítségével az alaptermék árfolyamváltozásának folyamata könnyen megragadható, a paraméterek változtatásával bonyolultabb folyamatok is könnyen kezelhetők (az értékelési eljárás alapelve ekkor is hasonló). 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

12 Származtatott termékek és reálopciók
Binomiális értékelés – eladási opciók példa: P0=50$, T=2év, KT=52$, rf=5% Kockázatmentes portfólió: x db részvény és 1 db eladási opció megvásárlása 72 $ 0 $ 60 $ 1,42 $ 48 $ 50 $ 4 $ 4,24 $ 9,52 $ 40 $ 32 $ 20 $ 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

13 Származtatott termékek és reálopciók
Binomiális értékelés – amerikai opciók 72 $ 0 $ 60 $ 1,42 $ 1,42 $ 48 $ 50 $ 4 $ 5,13 $ 12 $ 9,52 $ 40 $ 32 $ 20 $ 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

14 Általános megközelítés – a Black-Scholes modell
A binomiális modellnél a diszkrét árfolyamváltozások bevezetése adta a megoldást. A folyamatos változat megoldását adja az ún. Black-Scholes-formula (képlet). A megoldáshoz vezető út szinte azonos: kockázatmentes portfólió – részvény - opció A folyamatos forma miatt a levezetés magasabb fokú matematikai eszköztárat igényel. Ezért a téma tárgyalását leegyszerűsítjük, a levezetéstől eltekintünk. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

15 Származtatott termékek és reálopciók
Az alap-formula a lejáratig osztalékot nem fizető részvényre vonatkozó európai vételi opció értékét (c-t) adja meg, a többi opciós pozíció értékére ebből következtetünk majd. A Black-Scholes formula szerinti c-függvény jellege: c P0 c P0-KT KT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

16 Származtatott termékek és reálopciók
A Black-Scholes formula szerinti c-függvény képlete: P0 a részvény jelenlegi árfolyama K0 az opció KT kötési árfolyamának jelenértéke rf kockázatmentes kamatlábbal diszkontálva N(d) a normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvény-értéke d-nél 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

17 A Black-Scholes formula szerinti c-függvény képlete:
Valamekkora valószínűséggel rendelkezünk P0 értékű részvénnyel Valamekkora valószínűséggel fizetünk K0 –t érte  a részvény (az alaptermék) volatilitása, azaz a részvény időegység alatti relatív szórása, ami megegyezik az időegységre vonatkozó hozam szórásával. N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét adják, hogy PT nagyobb lesz KT -nél és az opciót lehívják. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

18 Származtatott termékek és reálopciók
Jegyezzük meg, hogy az opció értékét meghatározó tényezők között nem szerepel se a részvény bétája, se várható hozama. Egy opciós jogot úgy kell felfogni, hogy „kicsit” már most megvettük a részvényt, amiért „kicsit” már fizettünk is, meg később is fogunk még. A diszkontált pénzáramláson alapuló megközelítés zsákutca, mert képtelenség kifejezni a kockázatot, és így ralt-ot, mert az a részvény árfolyam-változásával és az idő előrehaladtával folyamatosan változik. (Ezért nem tudták annyi ideig megoldani.) 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

19 Származtatott termékek és reálopciók
Mitől függ c értéke? Nézzük meg a képlet változóit! Ha nő a akkor c értéke Részvényárfolyam (P0) nő Kötési árfolyam (KT) csökken Kamatláb (rf) nő Lejáratig hátralévő idő (T) nő Részvény volatilitása () nő 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

20 Származtatott termékek és reálopciók
Indokoljuk meg az egyes változók hatásának okait! A kötési árfolyam hatása szinte nyilvánvaló, a többi tényező szerepének megértéséhez az opció értékét részértékekre bontjuk szét. Belső érték Ingadozási érték Részletfizetési érték Időérték 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

21 Származtatott termékek és reálopciók
Belső érték Az opció azonnali lehívása eredményezné. Amennyivel mégis több az opció értéke, az ún. időérték. c P0 P0-KT KT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

22 Származtatott termékek és reálopciók
Ingadozási érték c P c P0-KT P0 KT E(PT) PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

23 Származtatott termékek és reálopciók
A részvényárfolyam lejáratig adódó kockázatossága pozitívan hat c értékére: c P KT P0 PT c P PT P0 KT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

24 Származtatott termékek és reálopciók
Az ingadozási érték tehát annál nagyobb, minél nagyobb a részvény lejáratig hátralévő időre eső változékonysága. Mitől függ ez? T-től σ-tól egészen pontosan től KT c P P0-KT P0 PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

25 Származtatott termékek és reálopciók
PT=4 T t P P1 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

26 Származtatott termékek és reálopciók
KT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

27 Származtatott termékek és reálopciók
Részletfizetési érték Első érzetünkkel ellentétben c értéke nem a P0-KT belső értékhez „simul”, hanem a P0-K0 ún. módosított belső értékhez. Ez azzal magyarázható, hogy az opció lehívása lényegében egy részletre történő részvényvásárlást jelent, ahol az első részlet c, a második részlet KT. KT-nek viszont csak a jelenértékét kell számolnunk, hiszen később fizetjük: 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

28 Származtatott termékek és reálopciók
KT-K0 P0-KT P0-K0 c K0 KT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

29 Részletfizetési érték
A részletfizetési érték nyilván KT -től, rf-től és T-től függ, valamint a lehívás valószínűségétől is: c P0 c KT-K0 KT Részletfizetési érték P0-KT N(d) 1 d 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

30 Részletfizetési érték
Összegezzük a három értékforrást! c P0 c KT-K0 Részletfizetési érték Időérték Ingadozási érték P0-KT Belső érték KT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

31 Származtatott termékek és reálopciók
Kötési árfolyam (KT) Részvényárfolyam (P0) Kamatláb (rf) Lejáratig hátralévő idő (T) Részvény volatilitása () Ha nő a akkor c értéke nő csökken 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

32 Származtatott termékek és reálopciók
c értéke „ráérzésre”: Nagy T és nagy σ Kis T és nagy σ Nagy T és kis σ Kis T és kis σ 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

33 Európai eladási opciók értéke lejárat előtt – a put-call paritás
Az eladási opció értékét – az ún. put-call paritás segítségével – a vételiéből vezetjük le. A paritásos összefüggés felírásához két azonos eredményű (értékű) portfóliót állítunk össze, úgy, hogy az egyikben vételi, a másikban eladási opció szerepeljen. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

34 Származtatott termékek és reálopciók
LC LP PT PT KT KT KT KT PT PT KT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

35 Származtatott termékek és reálopciók
KT KT-K0 K0 c p=c-P0+K0 K0 KT P0 p=c-P0 -K0 -P0 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

36 Részletfizetési érték (-) Részletfizetési érték (-)
Vázoljuk az eladási opcióknak is a belső, a részletfizetési és az ingadozási értékét! p P0 KT Részletfizetési érték (-) Részletfizetési érték (-) KT-P0 Belső érték KT-P0 Belső érték K0 Ingadozási érték (+) Ingadozási érték (+) KT-K0 KT 1 N(d) d 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

37 Származtatott termékek és reálopciók
Mitől és hogyan függ p értéke? Ha nő a akkor p értéke Részvényárfolyam (P0) csökken Kötési árfolyam (KT) nő Kamatláb (rf) csökken Részvény volatilitása () nő Lejáratig hátralévő idő (T) nem egyértelmű 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

38 Származtatott termékek és reálopciók
Osztalékot fizető részvényekre vonatkozó vételi és eladási opciók értéke lejárat előtt 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

39 Származtatott termékek és reálopciók
Eddigi értékelési módszerünkön csupán P0 értelmezésén keresztül kell változtatnunk. Korrigáljuk a lejáratig fizetendő osztalékkal. (diszkontráta: rf vagy ralt?) A paritásos összefüggés is megváltozik: 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

40 Amerikai típusú vételi opciók értéke lejárat előtt
Bármikor lehívhatjuk, ezért a jog birtokosa előtt folyamatosan két lehetőség kínálkozik: Lehívja Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: P0-KT Nem hívja le Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): c Nyilván a nagyobb érték mellett fog dönteni. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

41 Származtatott termékek és reálopciók
Amerikai vételi opció osztalékfizetés nélkül K0 KT c P0 P0-KT P0-K0 KT-K0 Láthatóan c mindig nagyobb a belső értéknél (P0-KT), így soha nem élnek a lehívás jogával, így a lehívhatóság joga értéktelen. c amerikai = c európai 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

42 Származtatott termékek és reálopciók
Amerikai vételi opció osztalékfizetéssel: c P0 DIV + DIV(T)0 –KT DIV(T)0 KT P0 DIV -KT P0 DIV -K0 eladás lehívás c K0 P0 DIV P0 A korábbi lehívás mellett szólhat a T-ig kifizetésre kerülő osztalékok megszerzése. c amerikai > vagy = c európai 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

43 Amerikai típusú eladási opciók értéke lejárat előtt
Itt is az a kérdés, hogy a belső érték vagy az opció pillanatnyi értéke a nagyobb-e: Lehívja Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: KT-P0 Nem hívja le Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): p 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

44 Származtatott termékek és reálopciók
Amerikai eladási opció osztalékfizetés nélkül: P0 p KT K0 p eladás lehívás K0 KT Látható, hogy alacsonyabb P0 esetén – az egyre csökkenő részletfizetési érték miatt – jobb a korábbi lehívás („hamarabb jut KT-hez”). p amerikai > vagy = p európai 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

45 Származtatott termékek és reálopciók
Amerikai eladási opció osztalékfizetéssel: p DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0) = KT-P0 DIV -DIV(T)0 DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0) = KT-P0 DIV -DIV(T)0 KT p K0 K0 KT P0 DIV P0 Az osztalékfizetés hatására a korábbi lehívás motivációja gyengül. p amerikai „kevésbé” > vagy = p európai 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

46 Származtatott termékek és reálopciók
2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

47 Opciók értékének meghatározása Black-Scholes táblázattal
A jelenlegi részvényárfolyam 59$, a részvény hozamának volatilitása 35,5%. Mennyit ér egy 63$-os kötési árfolyamú, féléves lejáratú vételi opció, ha a kockázatmentes kamatláb (fél évre) 2,5%? 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

48 Származtatott termékek és reálopciók
1. lépés volatilitás: 35,5%, lejáratig hátralévő idő: fél év 2. lépés KT=63$, P0=59$, rf=2,5% (fél évre) 3. lépés: táblázat: 8,2 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

49 Származtatott termékek és reálopciók
Azonban a piaci árfolyam 8,38$. Mit rontottunk el? A „piac” kb. 56%-os volatilitást becsül. Ez az ún. visszaszámított volatilitás. Eladási opció: 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

50 Származtatott termékek és reálopciók
„érték / ár” 1 „kockázat” 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

51 Származtatott termékek és reálopciók
2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

52 Befektetői stratégiák opciós ügyletekkel
2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

53 Biztonsági eladási jog
részvény + eladási jog Részvény PT Biztonsági put PT K LP PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

54 Származtatott termékek és reálopciók
A biztonsági eladási joghoz nagyon hasonló pozíciót ad az ún. küszöbáras megbízás. Lehet, hogy a két pozíció azonos, de a küszöbáras megbízás ingyenes? Nem. idő P 60$ 40$ t 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

55 Fedezett eladási kötelezettség
részvény + eladási kötelezettség fedezett Mi értelme van ennek? intézményi befektetők, „terv szerint” adnak-vesznek. A kapott opciós díj „talált pénz”, mert „amúgy is eladná.” Lényegében az PT > K helyzeteket cserélik el a biztos opciós díjra. Részvény PT Fedezett vételi opció K PT SC K PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

56 Származtatott termékek és reálopciók
Különbözeti ügyletek Két vagy több azonos típusú opcióban vállalunk pozíciót. Az opciók legalább egy jellemzőjükben eltérnek. eltérő kötési árfolyam: függőleges különbözet eltérő lejárat: vízszintes különbözet eltérő lejárat és kötési árfolyam: átlós különbözet Függőleges különbözet a vásárolt és a kiírt opciók kötési árfolyamának viszonya szerint lehet: erősödő, gyengülő, pillangó különbözeti ügylet. 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

57 Függőleges különbözeti ügyletek
LC PT K1 Erősödő különbözeti ügylet vételi és eladási opciókból is létrehozható vételi opciók esetén a kiírt opcióért kapott díj kevesebb a vásárolt opcióért fizetendőnél (K növekszik) induló befektetésre van szükség különbözet PT K1 K2 SC K2 PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

58 Származtatott termékek és reálopciók
Erősödő különbözeti ügylet eladási opciókból Már az induláskor pozitív pénzáramlást jelent. LP PT K1 különbözet PT K1 K2 SP K2 PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

59 Származtatott termékek és reálopciók
Gyengülő különbözeti ügylet részvényárfolyam csökkenés vételi és eladási opciókból is az eladásinál van szükség induló befektetésre Limitálja a potenciális nyereséget és veszteséget is. A feladott nyereségért cserébe a befektető megkapja a kiírt opció díját. LC PT K2 különbözet K2 K1 PT SC K1 PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

60 Pillangó különbözeti ügylet
Három különböző árfolyamú opciós pozíció Veszünk egy alacsony (K1) és egy magas (K3) árfolyamú vételi opciót, és kiírunk 2 közepes (K2) árfolyamú vételi opciót. különbözet LC SC K2 K3 PT K1 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

61 Vízszintes különbözetek
SC K PT Naptári különbözet Azonos kötési árfolyam, eltérő lejárati időpont Pl.: kiírunk egy vételi opciót és veszünk egy hosszabb futamidejűt. induló befektetés Fordított vízszintes különbözeti ügylet rövid lejáratú opciót veszünk, hosszú lejáratút írunk ki K PT különbözet LC PT K 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók

62 Származtatott termékek és reálopciók
„Terpesz” Azonos kötési árfolyamú és azonos lejáratú vételi és eladási opciók egyidejű megvétele. A részvényárfolyam jelentősen el fog mozdulni „valamerre”. bírósági ügy állami szabályozás stb. „Volatilitásra fogadás” LC PT K Terpesz K PT LP K PT 2013. tavasz Származtatott termékek és reálopciók