Dinamikus rendszerek modellezése Energiatervezés Dinamikus rendszerek modellezése

Energiatervezés Rendszerelvű/rendszerelméleti megközelítés Dinamikus rendszerek elmélete - Alapfogalmak

Rendszerelmélet RENDSZER = Elemek együttese, melyeket kölcsönös függőség kapcsol össze. Cirkuláris okság: egy elem hat a többire Hierarchikus struktúra: rész/alrendszerek Nonszummativitás: a részek összesége nem az egész (szinergia: 2+2=5; diszfunkció: 2+2=3) Homeosztázis: törekvés az állandóságra Autoregularitás: önszabályozó funkciók Ekvifinalitás: több út, azonos cél Morfogenezis: képesség a változásra, alkalmazkodásra Karl Ludwig von Bertalanffy (1901-1972)

Rendszerelmélet További rendszer fogalmak Russel L. Ackoff: kölcsönös kapcsolatban álló elemek halmaza Mihajlo D. Mesarović (Михајло Д. Месаровић): halmazelméleti reláció V. N. Szadovszkij (В. Н. Садовский): elemek meghatározott módon rendezett halmaza

Modellezés filozófiája Ockham (Occam) borotvája lex parsimoniae = takarékosság (tömörség) elve „Pluralitas non est ponenda sine necessitate” A sokaság szükségtelenül nem tételezendő általában az egyszerűbb megoldás a helyes William Ockham (kb. 1285–1348) angol nemzetiségű ferences rendi szerzetes

Modellezés filozófiája Neumann János a modellekről: „… a tudomány nem magyarázni próbál, alig próbál interpretálni – a tudomány főként modelleket állít fel. A modellen olyan matematikai konstrukciót értünk, amely – bizonyos szóbeli értelmezést hozzáadva – leírja a megfigyelt jelenségeket. Az ilyen matematikai konstrukciókat kizárólag és pontosan az igazolja, hogy működnek.” Budapest, 1903. december 28. – Washington, 1957. február 8., magyar származású matematikus

Modellalkotás Valóság (probléma) Köztes (…) modell Matematikai modell (megoldás) interpretáció egyszerűsödés, elhanyagolások

Alapfogalmak modell hasonlóság a modell hasonló a modellezetthez, vagyis az modell, ami a modellezettel hasonlósági relációban van eszmeileg elképzelt vagy anyagilag realizált rendszer, amely visszatükrözve vagy reprodukálva a kutatás objektumát képes helyettesíteni hasonlóság szerkezeti (vagy strukturális) működési (vagy funkcionális) és formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság

Alapfogalmak - Rendszertípusok Rendszerek felosztása a IIASA szerint Közgazdasági rendszerek: nemzetközi kereskedelem és gazdaság, nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás, ágazati és ipari tervezés. Emberi és társadalmi rendszerek: népesség, városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés, lakáshelyzet, oktatás, képzés, egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása), társadalmi és jóléti szolgáltatások, munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások, igazságszolgáltatás. IIASA: International Institute for Applied Systems Analysis, http://www.iiasa.ac.at

Alapfogalmak - Rendszertípusok Erőforrások és környezeti rendszerek: ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat, vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat, éghajlat, környezet, ökológia, mezőgazdaság, beleértve az erdőgazdaságot és állattenyésztést. Ipari rendszerek: kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat), tervezés és irányítás, termelés és elosztás, energiaágazat, petrolkémia, elektronika, szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép), élelmiszerelosztás, textil - és ruházati ipar, nukleáris energia.

Alapfogalmak - Rendszertípusok Biológiai rendszerek: elemi biológiai rendszerek, humán biológia és pszichológia, bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése. Információs és számítógép rendszerek: távközlési és számítógépes hálózatok, információtárolás és - visszakeresés, számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás, vezetési információs rendszerek. Külön csoport az ún. integrált rendszerek: mezőgazdaság - élelmiszer - népesség, energia - környezet - ipar, ipar - környezet - egészségügy, területi ipari komplexumok, globális és regionális rendszerek.

Modellek jellemzői – osztályozás Hasonlóság szerkezeti működési formai Típus anyagi elektromos mechanikai termikus gondolati szimbolikus verbális ikonikus Rendszer pszichikai társadalmi termelési fizikai ...

Modellek csoportosítása funkció probléma megoldó leíró előíró szemléltető struktúra ikonikus analóg szimbolikus szempont (hasonlóság) formai szerkezeti működési jelleg kvalitatív (minőségi) gondolati verbális kvantitatív (mennyiségi) heurisztikus szimulációs sztochasztikus folyamat statikus dinamikus

Feladat- és problémamegoldás Feladat akkor, ha ismert a meglévő állapot, annak ellentmondásai, az igények és a lehetőségek közötti feszültség, (általában) a célállapot és (algoritmizált) a teljes megoldási út. Probléma akkor, ha nincs (teljes) ismeretünk a meglévő helyzetről és/vagy a megoldás útjáról és/vagy a célállapotról.

Kutatás, irányítástechnika Feladattípusok Feladat Y T X Példa Direkt ? ismert adott Mérés, minősítés Indirekt előírt Tervezés, fejlesztés Induktív Kutatás, irányítástechnika X: a rendszer (modell) bemenete Y: a rendszer (modell) kimenete T: a rendszer viselkedése

Feladat- és problémamegoldás Probléma felismerése kiindulási állapot feltételek megfogal-mazás ismeretlen részek saját tapasztalat ismert részek elemzés szükséges ismeretek biztos! bizonytalan! átvett ismeretek terv és lényegkiemelés kísérlet végrehajtás végállapot

Megoldási módszerek Analitikus módszer a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára, a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése.

Megoldási módszerek Numerikus módszer a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás), a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása, a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása, a megoldás ellenőrzése.

Megoldási módszerek Kísérleti módszer a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasz-tása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében, a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása, a kísérletek lefolytatása és értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése.

Megoldási módszerek - összefoglalás lépés Analitikus Kísérleti Numerikus 1 A feladat verbális megfogalmazása 2 A matematikai modell megalkotása 3 Transzformáció megoldásra alkalmas formára Hasonlósági transzformáció  Diszkretizálás 4 A megoldás egymás utáni lépéseinek rögzítése A kísérleti terv összeállítása Algoritmus és blokkséma 5 A megoldást jelentő összefüggés meghatározása Kísérletek és azok értékelése Gépi program futtatása, eredménye 6 A megoldás ellenőrzése

1. szint 2. szint 3. szint teljes rendszer Összetett rendszerek Parciális modellezés – integrált rendszerek részrendszerekre és részfolyamatokra bontás modellrendszer alkotás 1. szint 2. szint 3. szint teljes rendszer 1. részfolyamat elem 2. részfolyamat

Energiatervezés Társadalmi-gazdasági folyamatok modelljei

Társadalmi-gazdasági folyamatok Csak parciális modellek léteznek részrendszerek: regionális modellek (térbeli szétválasztás) részfolyamatok: jelenségek, folyamatok (funkcionális szétválasztás) Megoldási elvek és módszerek analitikus módszer csak korlátozottan használható dinamikus kapcsolat a részek között jól definiált input/output változók számítógépi (numerikus) módszerek

Társadalmi folyamatok modelljei Matematikai leírás differenciális mérlegegyenlet kapcsolt differenciálegyenlet-rendszer Megoldási módszer egyszerű modellek: analitikus összetett modellek: numerikus (szoftver) Általános mérlegegyenlet: xi: extenzív jellemző Q: forrás erőssége, I: nyelő erőssége, t: idő

Társadalmi folyamatok modelljei Alapvető modellezési eszközök és módszerek Áramfüggvények példák: extenzív áram: termékek és szolgáltatások int. kül.: ár vez. tényező: szállítási költség, adók

Társadalmi folyamatok modelljei Alapvető modellezési eszközök és módszerek Növekedési függvények (korlátlan) példák: extenzív mennyiség: népesség, GDP növekedési ráta: növekedési ütem, szül.-hal. ráta

Társadalmi folyamatok modelljei Egyértelműségi feltételek valós jellemző matematikai leképezés vizsgált terület határai  értelmezési tartomány korlátok  értékkészlet kiinduló adatok  kezdeti feltételek jellemző tulajdonság  együtthatók belső összefüggések  együtthatók közötti fgv-ek

Egyszerű modellek Korlátlan növekedés Globális (időbeli) mérlegegyenlet: Q=g∙xi, ahol g a növekedési ráta 1/idő g>0: növekedés g=0: stagnálás g<0: fogyás

Egyszerű modellek Korlátlan növekedés (Malthus-féle modell) Megoldás xi xi(t) t Thomas Robert Malthus (1766-1834), angol demográfus, matematikus, 1798

Egyszerű modellek Népesedési (demográfiai) modell Verbális modell Differenciálegyenlettel (matematikai modell):

Egyszerű modellek A világ népessége Népesség,milliárd fő 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10,000 BC 8000 6000 4000 2000 AD 1 1000

Egyszerű modellek A növekedési ráta időfüggő Nettónövekedésiráta,%/a 1960 1970 1980 1990 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Nettónövekedésiráta,%/a 2000 2010 2020 2030 2040 0.2 0.4 0.6 0.8

Egyszerű demográfiai modellek Lineárisan extrapolált nettó növekedési ráta Nettó növekedési ráta Népesség

Egyszerű demográfiai modellek Exponenciálisan csökkenő nettó növ. ráta Nettó növekedési ráta Népesség

Korlátozott növekedés Növekedési korlát = eltartóképesség

Korlátozott növekedés

Korlátozott növekedés

Korlátozott növekedés Pierre François Verhulst (1804-1849) belga matematikus, 1838

Korlátozott növekedés Népesség Évenkénti növekedés

Korlátozott növekedés Általánosított logisztikus függvény (Richard-féle függvény, növekedés modellezés) Pmin: alsó asszimptota C*: eltartóképesség, ha Pmin=0 g: növekedési ráta t: idő M: a max. növ. ideje, ha Q=v v: segédparaméter Q: segédparaméter, P(0) függvénye

Kimerülő erőforrások A Hubbert-féle elmélet: olajhozam-csúcs alkalmas a kimerülő erőforrások leírására Marion King Hubbert (1903-1989), közzététel: 1956

Kimerülő erőforrások Hubbert eredeti diagramja 1956-ból M. King Hubbert (1903–89)

Kimerülő erőforrások Norvégia olajkitermelése Világtrendek Forrás: World Energy Outlook 2013

Kimerülő erőforrások Többciklusú Hubbert-model STB=Standard Stock Barrels Venezuela olajkitermelése Forrás: Ibrahim Sami Nashawi, Adel Malallah, and Mohammed Al-Bisharah, Forecasting World Crude Oil Production Using Multicyclic Hubbert Model Energy Fuels 2010, 24, 1788–1800

Általános trend- és életgörbe függvények Inflexió nélküli trendfüggvények

Általános trend- és életgörbe függvények Inflexióval rendelkező életgörbe függvények Általánosított Verhulst-féle függvény: Pearl-Reed-féle függvény: Késleltetett logisztikus függvény: Gompertz-féle függvény: Életkorfüggő halálozási ráta Tumorsejtek burjánzása

Általános trend- és életgörbe függvények Inflexióval rendelkező trendfüggvények

Általános trend- és életgörbe függvények Két inflexióval rendelkező életgörbe függvények τ

Gazdasági folyamatok Nagy időközű ciklikusság – Kondratyev-ciklus Technológiai változások  gazdasági változások Vasút, acélgyártás Elektromosság, nehézipar mobilizáció (olajipar) infokomm gőzgép Vitatott elmélet 50..80 éves ciklusidő Никола́й Дми́триевич Кондра́тьев, 1892-1938

Kondratyev-hullám (USA) Forrás: http://www.safehaven.com/article/23510/kondratiev-is-alive-and-well

Kondratyev-évszakok Forrás: http://afterthemillennials.com/the-patterns-of-change/

Kölcsönható rendszerek Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred J. Lotka (1880–1949), 1910; Vito Volterra (1860–1940); 1926

Kölcsönható rendszerek Populációdinamika – Lotka-Volterra Alfred James Lotka Vito Volterra

Kölcsönható rendszerek Populációdinamika – Lotka-Volterra

Kölcsönható rendszerek Populációdinamika – Lotka-Volterra Egyedszám – idő ciklikus folyamatok leírására Egyedszám – egyedszám Fázisgörbe

Kölcsönható rendszerek Lotka-Volterra modell a valóságban Kanadai megfigyelések havasi nyúl -- hiúz

Kölcsönható rendszerek Lotka-Volterra modell a valóságban Forrás: http://www-rohan.sdsu.edu/~jmahaffy/courses/f09/math636/lectures/lotka/qualde2.html

Modellező/szimulációs eszköz Kereskedelmi szoftverek: STELLA: http://www.iseesystems.com/ PowerSim Studio: http://www.powersim.com/ Oktatási célú (ingyenes) szoftverek: Vensim PLE (Personal Learning Edition) www.vensim.com Scilab www.scilab.org