Eloszlásjellemzők I.: Középértékek 3. - 4. előadás Eloszlásjellemzők I.: Középértékek Dr. Varga Beatrix egy. docens

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése tipikus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vizsgálata, a sokaság/minta eloszlásgörbéjének elemzése.

Eloszlásjellemzők

Középértékekkel szembeni követelmények egyértelmű számítás; tipikus, jellemző értékek legyenek; szemléletes, jó értelmezhetőség; közepes helyzet Xmin  K  Xmax

Középértékek jellemzői A mennyiségi ismérvet egyetlen számmal jellemzik. Dimenzió: az ismérv mértékegysége.

Középértékek : Átlagok Helyzeti középértékek Számtani Módusz (Mo) Harmonikus Medián (Me) Mértani Négyzetes

Számtani átlag Az a szám, amelyet az átlagolandó értékek helyére téve azok összege változatlan marad.

Számtani átlag Egyedi értékeknél: Súlyozott forma:

A számtani átlag matematikai tulajdonságai Az egyes elemek - átlagolandó értékek - átlagtól való eltéréseinek összege 0: Ha minden egyes elemhez hozzáadunk egy "a" konstans értéket, az így kapott elemek számtani átlaga "a"-val tér el az eredeti elemek átlagától. Ha minden egyes elemet megszorzunk egy "b" konstans értékkel, akkor az így kapott elemek átlaga "b"-szerese lesz az eredeti elemek átlagának.

A számtani átlag matematikai tulajdonságai Ha az x1, x2, ..., xn elemek átlaga, az: az y1, y2, ..., yn elemek átlaga, az: akkor az x1 + y1; x2 + y2; ...; xn + yn átlaga lesz. Az elemek mindegyikéből egy tetszőleges "a" állandót levonva ezen eltérések négyzetösszege akkor lesz minimális, ha az "a" állandó éppen az ,azaz minimális, ha a =

Példa a számtani átlag tulajdonságaira xi xi+50 xi·1,1 Z= 100 150 110 210 200 165 315 260 231 441 240 290 264 504 300 350 330 630 Σ 1000 1250 1100 2100 250 220 420

A számtani átlag előnyös tulajdonságai Világos, érthető fogalom, számítása egyszerű. Minden adathalmaznak létezik számtani átlaga, s egy van belőle. Minden elem figyelembe vételével kerül kiszámításra. Kiszámításához nem szükséges az egyedi értékek ismerete, elegendő azok összegét tudni.

A számtani átlag hátrányos tulajdonságai A kiugró értékekre (ún. outlier-ekre) érzékeny. (nyesett átlag –trimmed mean) Osztályközös gyakorisági sor alkalmazása esetén nem tudjuk figyelembe venni az egyedi értékeket. Nyitott osztályközök használatakor adatvesztés.

Geometriai átlag Geometriai átlag az a szám, amelyet az egyedi értékek helyére írva azok szorzata változatlan marad. Egyedi értékek esetén: Súlyozott átlagforma:

Az egy főre jutó átlagos jövedelem alakulása Magyarországon Időszak Ft/fő/év 2010= 100% Előző év=100% 2010 947.775 100,00 …. 2011 996.548 105,15 2012 996.153 105,10 99,96 2013 1.048.863 110,67 105,29 2014 1.099.710 116,03 104,85 Forrás: www. ksh.hu A változás átlagos üteme:

Harmonikus átlag Harmonikus átlag az a szám, amelyet az egyes átlagolandó értékek helyére írva azok reciprokösszege változatlan marad. Egyedi értékek esetén: = Súlyozott átlag formában: = , ahol

Az összetett dinamikus viszonyszám meghatározásának módjai Telep Árbevétel (MFt) Árbevétel megoszlása Dinamikus viszonyszám (%) t0 t1 t0 (%) t1 (%) A 30 36 20 19 120 B 40 60 27 32 150 C 70 77 47 41 110 D 10 14,5 6 8 145 Összesen 187,5 100 125

Négyzetes átlag A négyzetes (kvadratikus) átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve, azok négyzetösszege változatlan marad. Kiszámítási módjai

Súlyozott átlagok xi: átlagolandó értékek fi: súlyok A súlyozott átlag nagysága függ: az átlagolandó értékek abszolút nagyságától, a súlyarányoktól (a súlyok egymáshoz viszonyított arányától), súlyként fi/n=gi is használható.

Mennyiségi csoportosító sorok fajtái Egy társasház vízfogyasztására vonatkozó adatok: Vízfogyasz-tás (m3) Lakások száma f’ g(%) g’(%) s(m3) z(%) – 15 5 10 50 3 15 – 25 17 22 34 44 340 24 25 – 35 15 37 30 74 450 32 35 – 45 8 45 16 90 320 23 45 – 100 250 18 Összesen - 1410

Helyzeti középértékek Medián A rangsorba rendezett adatok közül a középső elem (az előforduló értékek fele kisebb a medián-nál, fele pedig nagyobb)

Medián me = a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa, vagy az azt megelőző osztályköz felső határa f'me-1 = a mediánt tartalmazó osztályközt megelőző osztályköz kumulált gyakorisága, (a mediánt tartalmazó osztályköz előtti elemek száma); fme = a mediánt tartalmazó osztályközhöz tartozó gyakoriság, azaz a mediánt tartalmazó osztályközben összesen hány elem található; h = a mediánt tartalmazó osztályköz hossza; n = az elemek száma;

Egy társasház vízfogyasztására vonatkozó adatok Vízfogyasztás (m3) Lakások száma f’ – 15 5 15 – 25 17 22 25 – 35 15 37 35 – 45 8 45 45 – 50 Összesen -

Medián előnyös tulajdonságai egyértelműen meghatározható, nem csak mennyiségi jellemzők esetén határozható meg, hanem rangsorba rendezhető minőségi ismérvek esetén is, értéke független a szélső értékektől.

Medián hátrányos tulajdonságai Csak rangsorba rendezett elemekből számítható. Induktív statisztikai célra nem igazán alkalmas. Ha az egyedek jelentős hányada azonos ismérvértékkel rendelkezik, akkor nem célszerű használni.

Módusz (Mo) Diszkrét ismérv esetén: A leggyakrabban előforduló elem Folytonos ismérv esetén: A gyakorisági görbe maximuma.

Módusz mo = a móduszt tartalmazó, un. modális osztályköz alsó határa, k1 = a modális osztályköz és az azt megelőző osztályköz gyakoriságának különbsége, k2 = a modális osztályköz és az azt követő osztályköz gyakoriságának különbsége h = a modális osztályköz hossza.

Egy társasház vízfogyasztására vonatkozó adatok: Vízfogyasztás (m3) Lakások száma f’ – 15 5 15 – 25 17 22 25 – 35 15 37 35 – 45 8 45 45 – 50 Összesen -

A módusz jellemzői Előnyös tulajdonságok: Tipikus érték Valamennyi mérési skála esetén alkalmazható. Nem érzékeny a szélső, kiugró értékekre. Hátrányos tulajdonságok: Nem minden esetben létezik, vagy előfordulhat, hogy több is van belőle. Induktív statisztikai célra általában nem alkalmas

Forrás:Walter Kramer: So lügt man mit Statistik 65. o. Dilemma

Kvantilisek Azok az értékek, melyeknél az összes előforduló értékek j/k-ad része kisebb, illetve az (1-j/k)-ad része nagyobb. (j=1,2,…,k-1) Fontosabb kvantilisek: Medián (Me) k=2 Tercilisek (Tj) k=3 Kvartilisek (Qj) k=4 Kvintilisek (Kj) k=5 Decilisek (Dj) k=10

Egy társasház vízfogyasztására vonatkozó adatok Vízfogyasztás (m3) Lakások száma f’ – 15 5 15 – 25 17 22 25 – 35 15 37 35 – 45 8 45 45 – 50 Összesen -

Köszönöm a figyelmet! stbea@uni-miskolc.hu