σωρεύω – felhalmoz, kupacot rak Szóritész σωρεύω – felhalmoz, kupacot rak Egy homokszem nem kupac. (K) Két homokszem sem. Ha egy pár szem homokhoz, ami még nem kupac, hozzáteszünk még egy szemet, attól még nem lesz kupac. (I) Tehát akkor három homokszem sem kupac. …. Tehát akkor egymillió homokszem sem kupac. Tehát akkor sehány homokszemből nem lehet kupacot rakni. Ha valakinek ezer hajszála van, akkor nem kopasz. Ha elveszít egy hajszálat, akkor még mindig nem kopasz. Ha nem kopasz, akkor egyetlen hajszál elvesztésétől nem válik kopasszá. … Tehát ha valakinek  hajszála van, akkor nem kopasz.

Premisszák: Van egy kiinduló helyzet: egy (valamilyen típusba tartozó) A összesség nem rendelkezik a T tulajdonsággal. (K, kategorikus premissza) (Indukciós premissza, I) Ha egy ilyen típusú összességen egy kicsi egységnyit változtatunk, attól még nem éri el a T tulajdonságot. Az indukciós premisszát elég sokszor alkalmazva azt kapjuk, hogy: (Konklúzió) A T tulajdonságot sosem tudjuk elérni. (Elfogadhatatlan, ezért paradoxon.) Nincs jelentősége annak, hogy egy tulajdonság (T) hiányáról vagy meglétéről beszéljünk. Hárítási lehetőségek: Az első premissza (K) hamis. (Érdektelen.) A második, az I premissza hamis. (Több változat.) A következtetés hibás. (Nagyon ciki.) A konklúzió igaz. (Nagyon meglepő.)

A következtetési lánc sok láncszemből áll, de mindegyik az I egy speciális esetét alkalmazza csak. Pl.: 25 homokszem nem kupac. Ha 25 homokszem nem kupac, akkor 26 homokszem sem. Tehát 26 homokszem nem kupac. Ez a logika legegyszerűbb és legalapvetőbb következtetési sémájának alkalmazása: P-ből és „Ha P, akkor Q”-ból lehet Q-ra következtetni (modus ponens). Valójában nem egyetlen I premisszánk van, hanem premisszák egy sorozata (I esetei). Hasonlóképpen a láncszemek mindegyikének más-más a K premisszája. Az első láncszem K premisszájának hamissága valóban érdektelen, de a továbbiak úgy látszik, egy bizonyos határtól kezdve hamisak. Hogy lehet ez, amikor mindegyikük egy előző láncszem konklúziója?

Biztos? A probléma gyökere: Elmosódott határú (vague, fuzzy) fogalmak. Az „n darab homokszem kupacot alkot” (K tagadása) mondat n egyes érékeire igaz, másokra hamis, de közte van jó néhány érték, amire ezt nem lehet megmondani. A K mondat megfelelő esetének (az első premisszának) ilyenkor nincs meghatározott igazságértéke.

A konklúzió elfogadása Nincsenek kupacok, csak 1, …. 10^6, 10^9 homokszemből álló összességek vannak. Nincs olyan, hogy „kopasz” (kivéve talán, ha egy szál haja sincs). Ellenérv: a legtöbb fogalmunk fuzzy, de ebből nem következik, hogy ne tudnánk értelmes kommunikációra használni őket.

A premisszák elvetése episztemikus alapon Az I premissza általánosságban nem igaz. Van olyan eset, amikor egy egység hozzáadása az összességet T tulajdonságúvá teszi, csak nem tudjuk, melyik az. Az „n darab homokszem kupacot alkot” mondat az n bizonyos értékeire hamis, más értékeire igaz, és pont. Van egy h határ, de nem tudjuk, hol van. Tehát a „Ha h homokszem kupacot alkot, akkor h+1 homokszem is kupacot alkot” mondat (az I mondat megfelelő esete) egyszerűen hamis. Az igazságérték hiánya (értékrés) csak episztemikus jelenség: nem tudjuk (esetleg nem tudhatjuk) az igazságértéket. Ellenérv: ezek szerint a kupac élesen határolt fogalma tőlünk függetlenül lebeg valahol az ideák mennyországában, de mi csak tökéletlenül tudjuk megismerni. Kicsit sok a platonizmusból.

Az első premissza elvetése: „ontológiai” értékrés A fuzzy predikátumok esetében van egy határzóna(„penumbra”): a „kupac” homokszemek bizonyos összességeire igaz, másokra hamis, de közte van egy sáv, ahol se nem igaz, se nem hamis. Tfh. 180 szem egy ilyen nagyság. Akkor a „180 homokszem kupacot alkot” mondatnak nincs igazság értéke. Ez most nem úgy értendő, hogy nem tudjuk, hanem a mondat mögött nincs olyan tény, ami igazzá tenné, és olyan sem, ami hamissá tenné. Az I premissza esetei egy ponttól elvesztik az igazságértéküket, és így a konklúziók is.

Egyfajta logikai kezelés a „fuzzy” megoldás alátámasztására: a fogalmak elfogadható élesítései Ha az „átmeneti sávban” önkényesen kijelölünk egy határt, ahonnan a homokszem-halmazok kupacot alkotnak, ez egy elfogadható élesítés. Igazak azok a mondatok, amelyek minden elfogadható élesítésben igazak, hamisak azok, amelyek minden elfogadható élesítésben hamisak, igazságérték nélküliek azok, amelyek egyes elfogadható élesítésekben igazak, másokban hamisak. Az „n homokszem kupacot alkot vagy nem alkot kupacot” mondat minden élesítés mellett igaz lesz. Az I premisszának azok az esetei, amelyekben legalább az egyik szám a penumbrába esik, igazságérték nélküliek lesznek.

Problémák ezzel a megközelítéssel: Ha a penumbra valamelyik határát nézzük: jól van-e ez így? Helyes-e, hogy a „P vagy nem P” alakú mondatok mindig igazak maradnak? Másik lehetőség: az igazságérték nélküli eseteket nem klasszikus értékelésekből (elfogadható élesítések) vezetjük le, hanem alapadottságnak tekintjük, tehát eleve minden mondathoz három szemantikai érték valamelyikét rendeljük (igaz, hamis, igazságérték nélküli). Az értékrést pedig öröklődőnek tekintjük: ha egy összetett kijelentés valamelyik részkijelentése igazságérték nélküli, akkor az egész is az. Ebben az esetben „P vagy nem P” csak gyenge értelemben logikai igazság: nem lehet hamis, de lehet igazságérték nélküli. (Ruzsa Imre értékréses logikája.) Elfogadható-e, hogy a penumbrának éles határa van? A fuzzy fogalmak általában másodrendben is fuzzyk.

Az érvelés elvetése: az igazság fokozatai Az, hogy homokszemek egy adott összessége kupac, nem abszolút igaz, hanem csak nagy mértékben. Pl. egymillió homokszem esetén igen nagy mértékben, de ezer esetében már elég kis mértékben. A modus ponens az abszolút igazságot örökíti (ha P és „ha P, akkor Q” abszolút igaz, akkor Q is az), de a nagy mértékben igazságot már nem. Ha P és „ha P, akkor Q” nagymértékben igaz, attól Q lehet, hogy nem elég nagy mértékben igaz. De: hol a határ az elég nagy és a nem elég nagy mérték között? Szóritész a logikában: ha megtanuljuk egy elmélet axiómáit, akkor már minden tételét tudjuk. Hiszen ha tudjuk egy modus ponens két premisszáját, nyilván tudjuk a konklúzióját is. (Logikai mindentudás)

Az érvelés elvetése: nem lehet egyszerre fenntartani az I premisszát és azt, hogy a kiinduló K premisszából véges sok lépésben el lehet jutnia végkonklúzióig Az I konkrét esetei tényleg evidensek, de az érvelésben általánosítva használtuk. Ez se baj, csak meg kell jobban nézni, hogy mit jelent. Egy szállóban minden szoba tele van. Éjszaka beállít egy új vendég, és szobát kér. Meg tudja-e ezt oldani az éjszakai portás? És ha a szállodában végtelen sok szoba van (Hilbert-szálló)? Dedekind, 1888: egy halmaz akkor és csak akkor végtelen, ha van olyan valódi része, amely „ugyanakkora” (kölcsönösen egyértelmű megfeleltethetőség).

Amikor az I premisszát elfogadtuk, ezzel épp azt tételeztük fel, hogy a sokaságunk végtelen. Ha egy szál elvesztésével nem leszünk kevésbé hajasak, akkor végtelen sok hajszálunk van. Ha egy következtetési lépés soha nem vezet ki a tudott tételek közül, akkor a tudásunk eleve végtelen nagy. Amikor azt tételezzük föl, hogy a kiinduló K premisszából véges sok lépésben el lehet jutni a konklúzióig, ez pontosan azt jelenti, hogy a sokaságunk véges. Tessék választani, a kettő együtt nem megy (és nem csoda, hogy paradoxonhoz vezet). Szerző: Mekis Péter