Útravaló ösztöndíjprogram Andrássy Gyula Gimnázium és Kollégium A jelszó: −𝟏 - menjünk át a nem létező hídon! Komplex számok a középiskolában Útravaló ösztöndíjprogram Andrássy Gyula Gimnázium és Kollégium Békéscsaba Marczis György Balogh Eszter Bödör Balázs Gábor Csenke Nándor Kovács Dániel Molnár Alexandra Szép Ábris

Természetes számok Műveletek: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … zárt zárt nem zárt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … Műveletek: zárt zárt nem zárt nem zárt Tovább is van, mondjam még?

Egész számok Műveletek: … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … Műveletek: zárt zárt zárt nem zárt Tovább is van, mondjam még?

Racionális számok Műveletek: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Műveletek: zárt zárt zárt zárt

Irracionális számok Tovább is van, mondjam még? Racionális számok tizedestört alakjai: véges végtelen szakaszos Tovább is van, mondjam még? pl.:

Valós számok Q* R Q Z N

Tovább is van, mondjam még? Valós számok -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Műveletek: zárt zárt zárt nem zárt zárt Tovább is van, mondjam még? zárt

Valós számok összeadása, kivonása a a b a+b=b+a a -b a-b

Valós számok szorzása

Valós számok szorzása

Valós számok abszolútértéke 0-tól az a-ba mutató vektor hossza (0-tól való távolság) Tulajdonságok: T1: R összeadásra és szorzásra test T2: R elrendezhető és teljes

Komplex számok Valós - számegyenes a Komplex – Gauss-sík Z

Összeadás, kivonás, számmal szorzás

Összeadás, kivonás, számmal szorzás a+b

Összeadás, kivonás, számmal szorzás a+b a - b

Összeadás, kivonás, számmal szorzás a+b a - b

Összeadás, kivonás, számmal szorzás a+b a - b c·a c≥0

Összeadás, kivonás, számmal szorzás a+b a - b c·a c≥0 c·a c<0

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok összeadása, kivonása

Komplex számok összeadása, kivonása

Komplex számok összeadása, kivonása

Komplex számok összeadása, kivonása

Komplex számok szorzása

Komplex számok szorzása

Komplex számok szorzása

Komplex számok szorzása

Komplex számok szorzása

Komplex számok szorzása

Komplex számok szorzása

Komplex számok szorzása

Komplex számok osztása Konjugált: Z _ Z

Trigonometrikus alak

Szorzás trigonometrikus alakban

Hatványozás trigonometrikus alakban A. de Moivre 1667-1754

Osztás trigonometrikus alakban

Gyökvonás trigonometrikus alakban

Gyökvonás trigonometrikus alakban

Gyökvonás trigonometrikus alakban

Gyökvonás trigonometrikus alakban

Gyökvonás trigonometrikus alakban

Gyökvonás trigonometrikus alakban

Egységgyökök

Egységgyökök

Egységgyökök

Egységgyökök

Egységgyökök

Komplex számok exponenciális alakja

Komplex számok exponenciális alakja

Komplex számok exponenciális alakja

Komplex számok exponenciális alakja

Komplex számok exponenciális alakja

Komplex számok exponenciális alakja ha Euler-formula

Komplex számok exponenciális alakja Műveletek exponenciális alakkal

Komplex számok exponenciális alakja

„Semmiből” hidat?

Másodfokú egyenlet megoldása

Addíciós tételek

Komplex számok története Gerolamo Cardano 1501-1576 Rafael Bombelli 1526-1572

Komplex számok története Brook Taylor 1685-1731

Komplex számok története Leonhard Euler 1707-1783

A matematika fejedelme rendszerezés komplex számelmélet komplex prímek Gauss – egészek … K. F. Gauss 1777-1855

A két Bolyai Bolyai Farkas 1775-1856 Bolyai János 1802-1860

Tovább is van, mondjam még? William Hamilton 1805-1865

Alkalmazás (geometria) Igazolja, hogy az egységsugarú körbe írt szabályos hatszög 5 csúcsának a 6. csúcstól mért távolságának szorzata 6-tal egyenlő!

Geometriai megoldás

Megoldás komplex számokkal (1) Az általánosítás megszorítása nélkül: legyen a szabályos hatszög 6. csúcsa A0, az e0 =1 komplex számmal megadott csúcs! Továbbá legyen a hatszög többi csúcsa: (hatodik egységgyökök,k=1; 2; 3; 4; 5)!

Megoldás komplex számokkal (2)

Megoldás komplex számokkal (3) Ekkor k=1;2;3;4;5 Így azt kellene belátnunk, hogy:

Megoldás komplex számokkal (4) Tudjuk, hogy: Ezért: X=1 esetén:

Általánosítás Igazolja, hogy az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög n-1 csúcsának az n. csúcstól mért távolságának szorzata n-nel egyenlő!

Megoldás komplex számokkal (1) Ekkor is: k=1;2;…;(n-1) Így azt kellene belátnunk, hogy:

Megoldás komplex számokkal (2) Tudjuk, hogy: Ezért: X=1 esetén:

R. Musil: Törless iskolaévei " ... Ilyen, hogy »négyzetgyök minusz egy«, nem létezhet.... Csak éppen az az érthetetlen, hogy mégis számolhatunk imaginárius vagy más ilyen képtelen értékekkel és végül mindennek ellenére reális értéket kapunk eredményül...Hát nem olyan ez, mint egy híd, amelynek csak első és utolsó pillére van, a pillérek között pedig semmi, és te mégis olyan biztonsággal mégy át rajta, mintha nem kellene a folyóba esned? Én mindenképp csalást szimatolok az ilyen számításban, ahol csak hipp-hopp, ott legyek, ahol akarok... És a legkísértetiesebb számomra a matematikának ez az ereje, amely csakugyan átvisz minket a nem létező hídon, anélkül, hogy lezuhannánk róla.„