Bevezetés a káoszba Instabil állapot és környéke (ez még nem káosz) V(x)= - K x2/2 m a = K x Θβ = m g l0φ, l0 súlypont távolsága a= K/m x β = m g l0/Θ φ Az instabilitás modell-egyenlete: x az instabil helyzettől mért kitérés, x<<1 d2x/dt2= s02 x, s0 egysége 1/s.

Mozgás a fázistérben az instabil állapot körül A modell-egyenlet alapmegoldása x~eλt. Ezt behelyettesítve: λ2=s0,2. Ezért λ=±s0. A teljes megoldás: x(t)=A e s0t + B e-s0t , v(t)=A s0 e s0t - B s0 e-s0t. Kezdőfeltétel: x0,v0 -> x0=A+B, v0=(A-B)s0. A=(s0x0+v0)/(2s0) B=(s0x0-v0)/(2s0) A teljes megoldás: x(t) s0 = (s0x0+v0)/2 e s0t + (s0x0-v0)/2 e-s0t v(t) = (s0x0+v0)/2 e s0t - (s0x0-v0)/2 e-s0t Ebből következik, hogy x(t)s0+v(t) ~ e s0t , x(t)s0-v(t) ~ e -s0t Szorzatuk állandó: x2 s02 - v2 = állandó, hiperbolák.

Aszimptoták: v= s0 x, itt x(t)=x0 e s0t, tiszta exponenciális távolodás ez az instabil görbe vagy instabil sokaság. v=-s0x, itt x(t)=x0 e -s0t, exponenciális közeledés, ez a stabil görbe vagy stabil sokaság. Az instabil állapot, az origó ún. hiperbolikus pont. Az instabil állapot tehát nem teljesen instabil: egy kivételes irányból meg lehet közelíteni. Van egyetlen sebesség, mellyel egy adott helyről egy testet fel lehet gurítani a hegy tetejére, úgy, hogy ott megálljon. Az aszimptotákon kívül a mozgás egy közeledő és egy távolodó mozgás szuperpozíciója, melyben egy idő után a távolodás dominál: ha t>1/s0, x(t) ~ (s0x0+v0)/(2 s0) e s0t a távolodás exponenciális. A kezdetben közeli pontok egymástól való távolodása is exponenciális: δx(t) = x2(t)-x1(t) ~ e s0t

Az instabil állapot (hiperbolikus pont) a fázistérben A trajektóriák hiperbolák. Az instabil görbe (sokaság) mentén tiszta exponenciális távolodás: x(t)=x0 eλt, λ=s0 A stabil görbe (sokaság) mentén exponenciális közeledés: x(t)=x0 e-λt, ez az a görbe, melynek mentén el lehet jutni az instabil állapotba.

Pontpárok távolodása a fázistérben A pontpárok egymástól is és az origótól is exponenciális ütemben távolodnak: ln δx(t) = λt + konst , λ=s0 >0. A stabil sokaság vízválasztó (szeparátrix).

A súrlódás hatása d2x/dt2= s02 x – α dx/dt, A trajektóriák jellege nem változik: a hiperbolikus pont hiperbolikus marad, stabil és instabil sokasággal. A szaggatott vonalak a súrlódásmentes sokaságokat jelölik.

A stabil állapot és környéke A stabilitás modell-egyenlete: x a stabil helyzettől mért kitérés d2x/dt2= - ω02 x, ω0 körfrekvencia, egysége 1/s .

A stabil állapot a fázistérben Súrlódásmentes Súrlódásos d2 x/dt2= - ω02 x d2 x/dt2= - ω02 x – α dx/dt Elliptikus pont Spirális attraktor pont (harmonikus rezgés) (csillapított harmonikus rezgés) Attraktor: amihez a trajektóriák tartanak súrlódásos rendszerekben A mozgás jellege megváltozik! Az instabil állapot stabilabb a paraméterek változtatására, mint a stabil!

A stabil és instabil sokaság alakja a hiperbolikus ponttól távol A d2 x/dt2= s02 x – α dx/dt modell-egyenlet csak a hiperbolikus pont közvetlen közelében igaz, távolabb nemlineáris tagok is fellépnek. A sokaságok ott már nem egyenesek, hanem görbe vonalak. Nemlineáris erő : d2 x/dt2= s02 x(1 – x2) – αdx/dt. Attraktorok x=+1, -1. Általában igaz: A sokaságok végtelen hosszú görbék. Az instabil sokaság bevezet az attraktorba, útjelző. A stabil sokaság vízválasztó, az attraktorok vonzási tartományainak határa.

A két attraktor vonzási tartománya az előző esetben A sokaságok a mozgás vázát alkotják a fázistérben, a hosszú idejű mozgásokról, attraktorokról is számot adnak!

A fázistér használatának előnyei Az x(t), v(t) úti-dő, sebesség-idő függvényt összevetítjük trajektóriává. A trajektória kompakt gombolyag- jó áttekintő képet ad. A fázistérben a trajektóriák nem metszhetik egymást. A fázistér dimenziója: az elsőrendű időfüggetlen (autonóm) diff. egyenletek száma Egydimenziós mozgás: d2x/dt2= a(x, dx/dt) -> dx/dt=v, dv/dt=a(x,v), a fázistér kétdimenziós.

Általános disszipatív eset Attraktor lehet az állandósult periodikus mozgást leíró határciklus is. Az instabil állapot (hiperbolikus pont) sokaságai továbbra is útjelzők és vízválasztók. Kétdimenziós fázistérben, azaz az egyváltozós gerjesztetlen mozgások körében nem lehet káosz. Többszörös hurkok nem lehetnek, pl. 8-as alakú trajektóriák, mert a fázistérben nem lehetnek metszéspontok.

Egydimenziós gerjesztett mozgás (nem-autonóm egyenlet) A mozgásegyenlet d2x/dt2= a(x, dx/dt, t), az explicit időfüggés külső hatás következménye. A fázistér 3 dimenziós (az idő a harmadik tengely): Az (x,v) sík most nem a teljes fázistér, rajta metszhetik egymást a trajektóriák.

Egydimenziós periodikusan gerjesztett mozgások A mozgásegyenlet d2x/dt2= a(x, dx/dt, cos(Ωt)) A fázistér 3 dimenziós, változói: x,v, és a gerjesztés fázisa Φ=Ωt. Ez a fázistér már eléggé bő ahhoz, hogy nemlineáris rendszerben végtelen ideig tartó gerjesztés esetén többszörösen hurkolt, önmagukat nem metsző trajektóriák létezhessenek. Három dimenzióba már belefér a káosz. Tipikus kép az (x,v) síkon:

Ez nemlineáris gerjesztett rendszerekben fordul elő. Áttekintő ábrázolás: a gerjesztési periódus (2 π/ Ω) egész számú többszöröse után, azaz azonos fázisban nézünk a rendszerre. Ekkor rögzítjük a hely és sebesség értékeket. Az n. periódus után ezek értéke xn, vn. Az így kapott ábrázolás leképezés, ún. stroboszkopikus leképezés.

Mozgás a stroboszkopikus leképezésen A mozgás: ugrálás (diszkrét idejű mozgás) Önmagában maradó pont (fixpont) a stroboszkopikus leképezésen: periodikus mozgás. Ez a fixpont lehet instabil (hiperbolikus) vagy stabil.

A hiperbolikus fixpont környéke a leképezésen Ugyanolyan jellegű, mint a folytonos idejű nem gerjesztett esetben. Következmény: a közeli pontok távolodása (ugrálással): ln δxn = λn + konst , λ egysége 1/iterálás. A sokaságok most is „útjelzők” és „vízválasztók”

Általános disszipatív eset a stroboszkopikus leképezésen A gerjesztetlen eset Itt megjelenhetnek kiterjedt attraktorok, ezek a kaotikus attraktorok E. Lorenz, 1963 Egy kaotikus attraktor tartalmaz egy vagy több instabil fixpontot, de instabil ciklusokat is (melyek két vagy több lépés után ugranak vissza eredeti helyükre, vagyis többszörös hurkok a háromdimenziós fázistérben). Sőt: a kaotikus attraktor végtelen sok instabil ciklust tartalmaz (olyan, mint a végtelen sok hegyére állított ceruza együttese)!!!

Következmény I: Minden egyes hiperbolikus ciklus körül exponenciális a közeli pontok eltávolodása: (az egyszerűség kedvéért folytonos időben jelölve) ln δx(t) = λt + konst, λ >0, de függ a ciklustól. Az összes ciklusra átlagolva: <ln δx(t)> =< λ> t + konst. < λ> az ún. átlagos Ljapunov-exponens. Az egész kaotikus attraktoron tipikus a közeli pontok exponenciális széttartása, mely végtelen hosszú ideig fennáll. Ez a kezdőfeltételekre vonatkozó érzékenység (pillangóeffektus), s ebből következik az előrejelezhetetlenség. A káosz általános kritériuma: olyan rendszer, melyben az átlagos Ljapunov-exponens pozitív. Erős káosz -> nagyobb < λ>.

Következmény II: A kaotikus attraktor tartalmaz egy hiperbolikus fixpontot. Ennek instabil sokasága rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy „bevezet az attraktorba”. Ez csak úgy lehetséges, ha az instabil sokaság benne van az attraktorban. Szabad szemmel nem is különböztethető meg az attraktortól. A kaotikus attraktor gyakorlatilag egyetlen instabil sokaság. A kaotikus attraktor végtelenszer bonyolultabb, mint egy egyszerű attraktor: összehajtogatott fraktál görbe, Cantor-szál jellegű. 2>D0>1.

Következmény III: Az instabil ciklusok az attraktoron nemcsak sokan vannak, hanem annál többen, minél hosszabbak. Az m hosszú ciklusok Ωm száma rohamosan, exponenciálisan nő m-mel: Ωm ~ ehm Az S ~ln Ω Boltzmann-képlet mintájára a h mennyiség neve topologikus entrópia. Kaotikus rendszerekben a topologikus entrópia pozitív.

Disszipatív rendszerben A káosz olyan mozgás, mely - szabálytalan, nem ismétli önmagát, nem periodikus előrejelezhetetlen, érzékeny a kezdőfeltételekre, hosszútávon valószínűségi leírást igényel határozott struktúrájú a fázistérben: fraktálszerkezetű, leképezésen Mérőszámok: h > 0 <λ> > 0 2>D0>1 Ezek a tulajdonságok és az új mérőszámok értékei mind a Newton-egyenletből következnek!

Az előrejelzési idő A δr0 kezdeti fázistérbeli bizonytalanság (hiba) időben nő egy δ r(t) függvény szerint. Előrejelzési idő: az a te, melyre δ r(te)=küszöbérték, pl. 1. Kaotikus rendszerben <ln δr(t)> =< λ> t + konst, becslésként δ r(t) = δr0 e < λ> t A δ r(te)=1 feltételből te=1/ < λ> ln(1/ δr0), arányos az átlagos Ljapunov-exponens reciprokával. Erős káosz, kis te. Nemkaotikus rendszerben: δ r(t) = δr0 (1+ λ’t ) . A δ r(te)=1 feltételből tenemkaotikus=1/ λ’ ((1/ δr0)-1), Például, ha δr0=10-6 és < λ> = λ’=1 , akkor te=6 ln10=14 és tenemkaotikus=106. Ráadásul, ha δr0 ezred részére csökken, akkor te=21 és tenemkaotikus=109: az előrejelezhetőség lényegi javítása káoszban reménytelen feladat.

Osztályban elmondható változat Kaotikus rendszerben a δr0 kezdeti bizonytalanság (hiba) minden időegység elteltével ugyanannyiszorosára nő. Legyen ez a szorzó pl. 2. Ekkor δ rn = δr0 2 n (az előző oldal jelölésével: <λ>= ln2=0.7). Előrejelzési idő az az n, melyre δ rn= 1. Ebből a feltételből: n=1/2 log2(1/ δr0), Nemkaotikus rendszerben: δ rn = δr0 (1+ 2n ). Előrejelzési idő n=1/2 (1/ δr0-1). Például, ha δr0=10-6, akkor (mivel 103~210) n=20 és a nemkaotikus esetben n=5 105. Ha δr0 ezred részére csökken, akkor n=30 és a nemkaotikus esetben n=5 108: az előrejelezhetőség lényegi javítása káoszban reménytelen feladat.

A káosz rövid története A névadók: James Yorke (1941-) Chaos:1975 Benoit Mandelbrot (1926-2010) Fractals: 1975 Japan Price, 2003 A nagy felfedező: Edward Lorenz (1917-2008) Lorenz-modell: 1963, kaotikus attraktor, „a légkör kaotikus” Gyökerek: Henri Poincaré (1854-1912) „Naprendszer kaotikus”:1892 Szonja Kovalevszkája (1850-1891) „A súlyos aszimmetrikus pörgettyű kaotikus”: 1888

Milyen rendszerben nem lehet káosz ? Semmilyen lineáris rendszerben nem lehet (még akkor sem, ha nagyon sok változója van). Nem lehet egydimenziós gerjesztetlen mozgásokban (még akkor sem, ha az erőtörvény nemlineáris). Számunkra a differenciálegyenletek legfontosabb vonása az, hogy lineáris-e!

Milyen rendszerben lehet káosz ? Disszipatív eset: Mely egydimenziós gerjesztett mozgás, vagy összetettebb. Azaz, legalább 3 elsőrendű autonóm differenciálegyenlet írja le. A d2x/dt2= a(x, dx/dt, cos(Ωt)) egyenlet másképpen: dx /dt=v, dv/dt=a(x,v,cos(Φ )), dΦ/dt= Ω, vagyis ha a fázistér legalább 3 dimenziós. Az ilyen rendszer még egyszerű! Példa: gerjesztett anharmonikus oszcillátor

Irodalom J. Gleick, Káosz, egy új tudomány születése, Göncöl Kiadó, Budapest., 1999 (a káosz története) F. Diacu, P. Holmes, Égi találkozások, A káosz és a stabilitás eredete Akkord Könyvkiadó, Budapest,. 2003 (Poincaré munkássága) Juhász A. (szerk.), Fizikai kísérletek gyűjteménye, 3. kötet, Typotex Kiadó, Budapest, 1996 Tél T. Gruiz M., Kaotikus dinamika, Bevezetés a kaotikus dinamika világába a klasszikus mechanika jelenségein keresztül, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002 A Fizika tanítása program honlapja http://fiztan.extra.hu/nyilt/publokt/index.html