DISZKONTÁLÁS-TECHNIKA Jelenérték-számítás speciális kérdései Mit csináltunk eddig: Éves pénzáramlás-becslés A pénzáramok csak az év végén következnek be A pénzáramok időzítése, ill. időtartama adott Most megnézzük: Tetszőleges hosszúságú kamatperiódusok Perióduson belüli pénzáramok, profilok Bizonytalan időzítés, ill. időtartam Közelítő módszerek és azok hibái

Technikai csoportosítás Diszkrét pénzáramok Meghatározott időpontokban „impulzusszerűen” bekövetkező pénzáramok – ez a valóság, pl. t időpontban megérkezik a banki átutalás Folytonos pénzáramok A pénzáramok az időben folytonosan jelentkeznek (időben folytonos függvények) – gyakori tranzakciók esetén jó közelítés Diszkrét diszkontráta Adott hosszúságú periódusra vonatkozó diszkrét hozam Folytonos diszkontráta Adott hosszúságú periódusra vonatkozó folytonos hozam (loghozam)

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (I.) Diszkrét hozam (i) – emlékezzünk: Adott hosszúságú kamatperiódusra vonatkozik (pl. 1 év) Feltételezzük, hogy időben konstans (reálértelemben, lásd CAPM-alapú tőkeköltség-becslésünk) Átváltás az eltérő hosszúságú kamatperiódusok között (t és T azonos mértékegységben!): Példa: Ha az éves diszkrét hozam 12%, akkor mennyi a negyedéves diszkrét hozam? Mo. 1: t = 0,25 év, T = 1 év, it = (1+0,12)^(0,25/1) – 1 = 2,87% Mo. 2: t = 1 negyedév, T = 4 negyedév, it = (1+0,12)^(1/4) – 1 = 2,87%

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (II.) Perióduson belüli pénzáram (intraperiod cash flow) és jelenértéke Bizonyítás Legyen a kamatperiódus hossza tF, ekkor: A jelenérték pedig: Behelyettesítve itF-et adódik: → Ezt állítottuk F: pénzáram, P: jelenérték, tF: időzítés (a kamatperiódus mértékegységében!)

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (III.) Pénzáramprofil (cash flow pattern): a pénzáramok időbeli „mintázata”, alakulása Alapvető diszkrét pénzáramprofilok: Egyszeri pénzáram (single, lump sum) (előbb láttuk) Annuitás (annuity, vagy diszkrét egyenletes (uniform)): időben konstans összegű pénzáramok Gradiens (gradient series): konstans összeggel növekvő pénzáramok Geometrikus (geometric series): konstans %-kal növekvő pénzáramok (Egyenletes időközt feltételezünk)

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (IV.) Annuitás: Ahol k a periódusindex Mi van, ha n → ∞?: örökjáradék:

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (V.) Gradiens sorozat: periódusról periódusra G összeggel nőnek a pénzáramok Konvenció szerint mindig a 2. periódus végén kezdődik Geometriai sorozat: periódusról periódusra (1+g)-szeresre nőnek a pénzáramok

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (VI.) Polinomiális pénzáramok Bonyolultabb pénzáramprofilok leírására A profil közelítése egy M-edfokú polinommal: Ahol a C-k konstansok Probléma: a jelenértéke nem mindig adható meg zárt alakban

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (VII.) Polinomiális pénzáramok – folyt. Nézzünk egy egyszerű esetet: Fk = (k-1)M Van zárt alakban megoldás M = 0, 1, 2, 3, 4, 5 esetekre (de bonyolult formula) Ezekre az esetekre ún. aszimptotikus megoldásokat (végtelen időtartam, illetve 0%- os diszkontráta) is kiszámítottak Táblázatból kiolvasható a megfelelő képlet adott M-hez Megjegyzés: pl. M = 1 a korábban bemutatott gradiens sorozat

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (VIII.) Z-transzformáció (Zeta transform) Általános definíció: Adott egy valós (vagy akár komplex) számokból álló sorozat {xk} {xk} sorozat z-transzformáltja a z helyen (z lehet komplex szám): Feltéve, hogy a sor konvergens Az időtartományból a z-tartományba képez

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (IX.) Hogyan alkalmazható a diszkontálásban? Legyen {xk} a diszkrét pénzáramprofil, melynek elemei Fk, z pedig legyen (1+i) Ekkor az összefüggés: Ami nem más, mint a sorozat jelenértéke Az időtartományból a kamattartományba transzformálunk

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (X.) Egyszerű példa: 0. időpontban kezdődő örökjáradék: {Fk} = C konstans Ennek z-transzformáltja (egyben jelenértéke): Feltéve, hogy abs(z) > 1, ami teljesül, hiszen alapvetően i > 0 (A konvergencia-tartományokkal külön a továbbiakban nem foglalkozunk)

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (XI.) A z-transzformációval könnyen megadhatjuk bonyolultabb diszkrét pénzáramprofilok jelenértékét is zárt alakban Pl. exponenciális csökkenés: {Fk} = Ce-jk Ahol j csökkenési faktor, e a term. log. alapja Persze csak ha a pénzáramok a végtelenségig tartanak…

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (XII.) A z-transzformáció néhány fontos tulajdonsága: Jelöljük X(z)-vel a z-tr.-val kapott függvényt Linearitás: Tetszőleges a,b komplex számokra Eltolás: Ahol l valamilyen egész szám Skálázhatóság: Ezek alapján megadható: Különböző profilok kombinációjának jelenértéke Tetszőleges kezdő-, „bekapcsolási” és „kikapcsolási” időponttal

Diszkrét pénzáramok + diszkrét ráta (XIII.) Példa: Gradiens pénzáramprofil {Gk} = 1000*k A profil a 3. periódustól a 10. periódusig tart Eltolási tulajdonságból l = 3 esetre: Ez egy olyan profil jelenértéke, aminek k = 3-tól ∞-ig vannak pénzáramai (megj.: F3 = 0) Ebből le kell vonni egy l = 10 eltolású ugyanilyen profilt és egy l = 11 eltolású 1000*(10 – 3) paraméterű annuitást ({Ak} = 7000) – így megkapjuk a k = 3-tól 10-ig tartó gradiens sor jelenértékét:

Diszkrét pénzáramok + folyt. ráta (I.) Folytonos hozam (r) – emlékezzünk: Ez is adott hosszúságú kamatperiódusra vonatkozik (pl. 1 év), de folytonos tőkésítést feltételez Erről is feltételezzük, hogy időben konstans Átváltás az eltérő hosszúságú kamatperiódusok között (t és T azonos mértékegységben!): Példa: Ha az éves loghozam 12%, akkor mennyi a negyedéves loghozam? Mo. 1: t = 0,25 év, T = 1 év, rt = 0,25/1*0,12 = 3% Mo. 2: t = 1 negyedév, T = 4 negyedév, rt = 1/4*0,12 = 3% Kapcsolat a diszkrét és folytonos ráta között:

Diszkrét pénzáramok + folyt. ráta (II.) Néha matematikailag kényelmesebb az exponenciális formulával dolgozni A kamatperiódusok közötti átváltás is egyszerűbb loghozamokkal Érdemben nincs sok különbség a diszkrét pénzáram + diszkrét rátához képest Példa: egyszeri, perióduson belüli pénzáram jelenértéke: Bizonyítás Legyen a kamatperiódus hossza tF, ekkor A jelenérték pedig: Behelyettesítve rtF-et adódik: → Ezt állítottuk

Diszkrét pénzáramok + folyt. ráta (III.) A különböző pénzáramprofilok formuláit egyszerűen megkapjuk, ha i helyébe er – 1-et helyettesítünk Példa: annuitás formulája: Megjegyzés: a geometriai sorozat növekedési ütemét (g) is kifejezhetjük folytonos (logaritmikus) növekedési ütemként (ekkor a formula némileg eltérő)

Folyt. pénzáramok + diszkrét ráta (I.) Inkább csak technikai jelentőségű, nincs igazán olyan helyzet, ami ezt a megközelítést kívánná Folytonos pénzáram – időben folytonos függvény: F(t) Adott időintervallum összes pénzárama integrálással határozható meg:

Folyt. pénzáramok + diszkrét ráta (II.) Folytonos pénzáramok diszkontálása diszkrét rátával ~ integrálás kamatperiódusonként, majd diszkrét diszkontálás → diszkrét cash flow + diszkrét ráta eset Lényegében a periódusvégi konvenció (részletesebben később) Más módszer pl. integrálás helyett véges szummázással közelíti a cash flow-t (Megjegyzés: pontosabb lenne erre az esetre azt mondani, hogy folytonos pénzáramok diszkontálása „diszkrét időben” a „diszkrét ráta” helyett, hiszen diszkrét rátával is integrálhatunk, lásd később)

Folyt. pénzáramok + folyt. ráta (I.) Folytonos/folytonos → adódik az integrálás lehetősége: Probléma: sok esetben nincs megoldás zárt alakban (a függvény nem integrálható) Ilyenkor numerikus módszerekkel (pl. trapéz) lehet közelíteni a jelenértéket Példa: F(t) = e-jt

Folyt. pénzáramok + folyt. ráta (II.) Megjegyzés: diszkrét rátával is integrálhatunk és ugyanazt kapjuk, csak diszkrét rátával kifejezve: Nézzük meg az előző cash flow függvényre: Kihasználva, hogy r = ln(1+i) Kicsit bonyolultabb ugyan a képlet, illetve a primitív függvényt is nehezebb kitalálni

Folyt. pénzáramok + folyt. ráta (III.) Laplace-transzformáció (Laplace transform) Általános definíció: Adott egy komplex értékű függvény f: [0,∞) → C Az f(t) Laplace-transzformáltja az s helyen (s lehet komplex szám): Feltéve, hogy az improprius integrál létezik Az időtartományból az s-tartományba képez ~ z-transzformáció, de folytonos időben

Folyt. pénzáramok + folyt. ráta (IV.) Hogyan alkalmazható a diszkontálásban? Legyen f(t) a folytonos pénzáramprofil, melyet F(t)-vel jelöltünk, s pedig r, a folytonos ráta Ekkor az összefüggés: Ami nem más, mint a pénzáramprofil jelenértéke Az időtartományból a kamattartományba transzformálunk

Folyt. pénzáramok + folyt. ráta (V.) Egyszerű példa: 0. időponttól kezdődő örök- járadék: F(t) = C konstans Ennek Laplace-transzformáltja (egyben jelen- értéke): De megadhatók ugyanúgy bonyolultabb függ- vények is, mint a z-transzformációnál, pl. a korábbi Ce-jt függvény:

Folyt. pénzáramok + folyt. ráta (VI.) A Laplace-transzformáció néhány fontos tulajdonsága: Jelöljük X(s)-sel a Laplace-tr.-val kapott függvényt Linearitás: Tetszőleges a,b komplex számokra Eltolás: Ahol u(t) az ún. egységugrás függvény, melynek értéke 0, ha t < 0, és 1, ha 0 ≤ t Hasonlóság: Ezek alapján a z-tr.-hoz hasonlóan megadhatjuk különféle összetett pénzáramprofilok jelenértékét

Folyt. pénzáramok + folyt. ráta (VII.) Példa: Gradiens pénzáramprofil G(t) = 1000*t A profil a 3. periódustól a 10. periódusig tart Eltolási tulajdonságból l = 3 esetre: Ez egy olyan profil jelenértéke, aminek t = 3-tól ∞-ig vannak pénzáramai (megj.: F(3) = 0) Ebből le kell vonni egy l = 10 eltolású ugyanilyen profilt és egy l = 10 eltolású 1000*(10 – 3) paraméterű annuitást (A(t) = 7000) – így megkapjuk a t = 3-tól 10-ig tartó gradiens sor jelenértékét:

Időzítési bizonytalanság (I.) Eddig a diszkontálási paraméterek mind rögzítettek voltak Mi van, ha valószínűségi változók? → várható jelenértéket kell számolnunk Egy jellegzetes példa: időzítési bizonytalanság (timing uncertainty) Megnézzük: Egyszeri pénzáramra Bizonytalan időtartamú (végpontú) profilra

Időzítési bizonytalanság (II.) Egyszeri pénzáram bekövetkezésének időpontja (t) bizonytalan – tehát valószínűségi változó, valamilyen eloszlással A jelenérték (lásd korábbról, elhagyva t-ről az F indexet): Mivel az időzítés eloszlása jellemzően folytonos, használjunk folytonos diszkontrátát (használhatnánk egyébként diszkrétet is, lásd korábbi megjegyzés) A várható érték definíciója alapján a jelenérték várható értéke: Ahol fP(P) a jelenérték sűrűségfüggvénye

Időzítési bizonytalanság (III.) Mi viszont csak az időzítés bizonytalanságát (sűrűségfüggvényét) ismerjük, azaz ft(t)-t Belátható viszont, hogy: Ha F sztochasztikusan független t-től, akkor kiemelhető az integráljel elé Belátható az is, hogy ez a probléma ekvivalens egy olyan pénzáramprofil diszkontálásával, aminek alakja az időzítés sűrűségfüggvénye

Időzítési bizonytalanság (IV.) Példa: F pénzáram valamikor az 1. periódus vége és a 3. periódus vége között következik be, az egyes időpontokban egyforma valószínűséggel → folytonos egyenletes eloszlás: t ~ U[1,3] A sűrűségfüggvény ft(t) = 1/2, ha t ϵ [1,3], és 0 egyébként Ez a sűrűségfüggvény definíciójából következik, miszerint: Feltesszük, hogy F független t-től A várható jelenérték ezek alapján:

Időzítési bizonytalanság (V.) Megjegyzés: Taylor-soros közelítés alkalmazható, ha az eloszlás pontosan nem ismert (Young és Contreras, 1975) Az e-rt másodrendű Taylor-sora a t = a helyen: A várható jelenérték a = E(t) körüli sorral: Látszik, hogy miért nem helyes egyszerűen a várható időzítés E(t) szerint számolni…

Időzítési bizonytalanság (VI.) Előző példára (folytonos egyenletes eloszlás t ~ U[1,3]), legyen F = 100 és r = 20%: E(t) = (1+3)/2 = 2 V(t) = (3-1)2/12 = 1/3 A várható időzítés szerinti E(P) = 100*e-0,2*2 = 67 A közelítő E(P) = 100*e-0,2*2 * (1+1/2*0,22*1/3) = 67,5 A pontos E(P) = 67,5 (a IV. dián lévő képletből) Kis diszkontráta és főleg kicsi variancia esetén jók a közelítések, de nagy variancia esetén már nem feltétlenül…

Időzítési bizonytalanság (VII.) Mi van akkor, ha a profil végidőpontja (T) bizonytalan, azaz valószínűségi változó? Most is folytonos rátát használunk π(T) jelöli a profil T-től függő jelenértékét Ugyanez a logika bizonytalan kezdőidőpontú profilok esetén A kezdő- és végpont egyszerre is lehet bizonytalan, akkor még egy integrálás kell…

Időzítési bizonytalanság (VIII.) Példa: Adott egy C értékű, a 0. periódustól kezdődő folytonos annuitás, melynek végpontja (T) exponenciális eloszlást követ λ paraméterrel Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye: fT(T) = λe-λT, ha 0 ≤ T, és 0 egyébként A T-től függő profil jelenértéke: A bizonytalan végpontú profil várható jelenértéke:

Időzítési konvenciók (I.) Az eddig tárgyalt módszerek problémái: Diszkrét pénzáramok: egyenlő időköz feltételezése Folytonos pénzáramok: integrálás nehézkes Időzítési bizonytalanság: még körülményesebb helyzet Egyszerű közelítő módszer: időzítési konvenciók Periódusvégi konvenció (end-of-period): a periódus minden pénzárama a periódus végére tolva Periódus-eleji konvenció (beginning-of-period): …elejére tolva Periódus-közepi konvenció (mid-period): …közepére tolva Harmonikus konvenció (Andor és Dülk, 2013) (harmonic): periódusvégi és -eleji harmonikus átlaga Mekkora hibát véthetünk ezekkel?

Időzítési konvenciók (II.) A konvenciók kapcsolata (diszkrét rátára): Ahol PE a periódusvégi, PB a periódus-eleji, PM a periódus-közepi, PH pedig a harmonikus jelenérték Levezethető, hogy a lehetséges legnagyobb relatív hiba: A sorrend igaz bármely pozitív i-re A harmonikus konvenció minimalizálja a LLRH-t! 20%-os diszkontrátára pl. E: 16,67%, B: 20%, M: 9,55%, H: 9,09% < < <

Időzítési konvenciók (III.) Látszik, hogy érdemes korrigálni H-val vagy M-mel… Konkrét pénzáramprofilok esetén: a harmonikus (és a periódus-közepi) konvenció hibája jellemzően < 5% → elfogadhatóan pontosak PE mindig alulbecsül: jó projekt elvetésének veszélye! Példa: adott két pénzáram és időzítéseik: F1 = 70, F2 = 110 és t1 = 0,4, t2 = 0,8 és i = 20% PE = (70+110)/(1+0,2) = 150 PB = 150*(1+0,2) = 180 PM = 150*(1+0,2)0,5 = 164,32 PH = 150*(1+0,2)/(1+0,2/2) = 163,64 Pontos P = 70*(1+0,2)-0,4 + 110*(1+0,2)-0,8 = 160,15 Jelen esetben a harmonikus adja a legjobb közelítést… Hibák: E: 150/160,15-1 = -6,3% vs. H: 163,64/160,15-1 = +2,2%