A tökéletes számok keresési algoritmusa

A számelméletben tökéletes számnak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyek megegyeznek az önmaguknál kisebb osztóik összegével. Például: A legkisebb tökéletes szám a 6, amelynek önmagánál kisebb osztói az 1, a 2 és a 3, ezek összege pedig 1 + 2 + 3 = 6. A második a 28, 1+2+4+7+14 Nem ismeretes, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, ahogy az sem, hogy létezik-e végtelen sok tökéletes szám.

Az ókori görögök csak a négy legkisebb tökéletes számot ismerték, melyek a 6, 28, 496, 8128. Euklidész felfedezte, hogy az első négy tökéletes szám felírható 2n−1(2n − 1) alakban n = 2-re: 21(22 − 1) = 6 n = 3-ra: 22(23 − 1) = 28 n = 5-re: 24(25 − 1) = 496 n = 7-re: 26(27 − 1) = 8128 Észrevéve, hogy a fent említett n-ekre 2n − 1 minden esetben prímszám, Eukleidész bebizonyította, hogy minden olyan esetben, amikor 2n − 1 prím, 2n−1(2n − 1) tökéletes szám.

Az első négy szám megfigyelése utáni feltételezések nagyrészt hamisnak bizonyultak. Például: Az ötödik tökéletes számnak öt számjegye van, mert az első négy is rendre egy, kettő, három ill. négy jegyből áll. (az ötödik tökéletes szám a 33 550 336, mely nyolc számjegyű) A tökéletes számok sorba rendezve felváltva 6-ra és 8-ra végződnek. (a hatodik tökéletes szám a 8 589 869 056, amely ugyanúgy 6-ra végződik, mint az ötödik, a 33 550 336)

Nikomakhosz Geraszénosz Bevezetés az aritmetikába c Nikomakhosz Geraszénosz Bevezetés az aritmetikába c. művében megfogalmazta a sejtést, hogy Eukleidész képlete, 2n−1(2n − 1) az összes páros tökéletes számot kiadja. Ezt több mint másfél ezer évvel utána Leonhard Euler bizonyította be. Ennek egyenes következménye, hogy az összes Mersenne-prímhez találunk tökéletes számot, sőt, a két számcsoport között egy-az-egyhez megfeleltetés létezik. A GIMPS elosztott számítási projekt megmutatta, hogy az első 44 tökéletes szám a 2p−1(2p − 1) a következő p értékekre p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, és 32582657

A tökéletes számok osztóinak (az 1-et és saját magukat is beleszámítva) reciprok értékeit összeadva mindig 2 lesz az eredmény. Pl. 28 esetében: 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4+ 1/2 + 1/1 = 2 A tökéletes számok (a 6-ot kivéve) a hatos számrendszerben két 4- esre végződnek.

Köszönöm a figyelmet ☺