Hatékony portfóliók tartása (I.) Láttuk: egy befektetésnek van valamilyen várható hozama és kockázata Csökkenthető-e a kockázat úgy, hogy a várható hozam nem változik? Ha igen, és költségmentesen, akkor nyilván élni fogok ezzel a lehetősséggel Modern portfólió-elmélet (Modern Portfolio Theory, MPT) Harry Markowitz, ’50-es évek, később Nobel-díj Portfólió: befektetésekből álló „csomag”

Hatékony portfóliók tartása (II.) Kombináljuk a különféle befektetési lehetőségeket! Diverzifikáció: a tőkénk megosztása több befektetési lehetőség között (~portfólió kialakítása) A portfólió nem szimplán csak az egyedi befektetések összessége A várható hozama nem, viszont a szórása függ az egyes elemek közötti sztochasztikus kapcsolatoktól! Normális eloszlás, E(ri), σ(ri)

Hatékony portfóliók tartása (III.) Egy n elemből álló P portfólió várható hozama: A portfólió szórása:

Hatékony portfóliók tartása (IV.) Nézzük meg n=2-re: És n=3-ra is:

Hatékony portfóliók tartása (V.) Tetszőleges n elemszámú portfólió – mi van, ha minden korreláció 1 (teljes függőség van)? A portfólió szórása ekkor tehát az elemek szórásainak súlyozott átlaga

Hatékony portfóliók tartása (VI.) Ugyanez, csak n db egyformán „átlagos” szórású elemre: Természetesen ugyanazt kaptuk, mint előbb

Hatékony portfóliók tartása (VII.) Nézzük, mi van, ha minden páronkénti korreláció 0! Tekintsünk most is n db egyformán „átlagos” szórású elemet!

Hatékony portfóliók tartása (VIII.) Mi van akkor, ha n → ∞ ?

Hatékony portfóliók tartása (IX.) Ha van negatív korrelációjú tag, akkor kevesebb elemszám esetén is nulla lehet a portfólió szórása Akár már két elem is elegendő lehet Ha minden tag 0 és 1 közötti korrelációjú, akkor csökken a szórás, de nem nulláig Ha mindenféle korreláció előfordul, akkor lehet nulla, de ha többségében pozitív kapcsolat, akkor valamilyen pozitív értékig csökken csak (a szórás negatív nem lehet!) Általános szabály: ha nincs teljes függőség, akkor nagyobb elemszám → kisebb szórás, és minél kisebb korrelációk, annál „gyorsabban” Cél: úgy kombinálni a befektetési lehetőségeket, hogy minél nagyobb várható hozamhoz minél kisebb szórás

Hatékony portfóliók tartása (X.) Példa: Részvény Danubius (i) Pannonplast (j) Várható hozam (%) 2,5 3,3 Szórás (%) 11,4 17,1

Hatékony portfóliók tartása (XI.) Ábrázoljuk a lehetséges portfóliókat különféle korrelációk esetén: A korrelációk persze a valóságban adottak…

Hatékony portfóliók tartása (XII.) Nézzük meg a három különböző elemből összeállítható portfóliókat (feltüntetve a páronként lehetséges portfóliókat is): Látható, hogy a három befektetési lehetőséggel együtt érhető el a legnagyobb szórás- csökkenés…

Hatékony portfóliók tartása (XIII.) Nézzük meg a „világ összes” kockázatos befektetési lehetőségét: Hatékony portfóliók Az adott befektetőnek a B pont maximalizálja a hasznosságát Feltételezések: 1) nincsenek szélsőséges hozam-szórás párok, 2) egy adott kockázati szint alatt nincs lehetőség, 3) a szórás nem csökkenthető nulláig

Hatékony portfóliók tartása (XIV.) Hatékony portfólió: adott várható hozamnál a legkisebb kockázatot, ill. adott kockázatnál a legnagyobb várható hozamot adja (nem diverzifikálható tovább) A kockázat alakulása a diverzifikáltság mértékével:

Hatékony portfóliók tartása (XV.) A különböző preferenciájú befektetők választása: A kockázatkerülési együtthatójuktól függ, hogy melyik hatékony portfóliót választják

Hatékony portfóliók tartása (XVI.) A Markowitz-féle modell problémái Egy befektetésnek az összes többi befektetéssel való korrelációs kapcsolatát ismerni kell A tartott hatékony portfóliók befektetőnként eltérőek → egy-egy befektetés ténylegesen érzékelt kockázata befektetőnként eltérő A modell gyakorlati alkalmazása „szinte reménytelen”

Portfólió-választás példa (I.) Adott két befektetési lehetőség: i: E(ri) = 12%, σ(ri) = 15% j: E(rj) = 7%, σ(rj) = 9% ki,j = 0,3 Mekkora az ezen két elemből összeállított portfólió várható hozama és szórása, ha I.: ai = 0,2 és aj = 0,8 II.: ai = 0,8 és aj = 0,2 Az I. és a II. portfólió közül melyiket választaná egy A=2, illetve egy A=8 kockázatkerülésű befektető? Ábrázoljuk grafikusan is! (csak jelleghelyesen)

Portfólió-választás példa (II.) Megoldás I. portfólió: E(rP) = 0,2*0,12 + 0,8*0,07 = 0,08 = 8% σ(rP) = [(0,2*0,15)2 + (0,8*0,09)2 + 2*0,3*0,2*0,15*0,8*0,09]1/2 = 0,0859 = 8,59% II. portfólió: E(rP) = 0,8*0,12 + 0,2*0,07 = 0,11 = 11% σ(rP) = [(0,8*0,15)2 + (0,2*0,09)2 + 2*0,3*0,8*0,15*0,2*0,09]1/2 = 0,1266 = 12,66%

Portfólió-választás példa (III.) Portfóliók várható hasznossága, ha A=2: I. portfólió: U = 0,08 – 0,5*2*0,112 = 0,0726 II. portfólió: U = 0,11 – 0,5*2*0,12662 = 0,0940 Mivel UII > UI, ezért a II. portfóliót választaná Portfóliók várható hasznossága, ha A=8: I. portfólió: U = 0,08 – 0,5*8*0,112 = 0,0505 II. portfólió: U = 0,11 – 0,5*8*0,12662 = 0,0459 Mivel UI > UII, ezért az I. portfóliót választaná

Portfólió-választás példa (IV.) E(r) UIA=8 > UIIA=8 UIIA=2 > UIA=2 i 12% 11% II. I. 8% Csak hozzávetőleg, jellegében helyes ábrázolás! 7% j σ(r) 8,59% 9% 12,66% 15%

Portfólió-választás példa (V.) Gyakorlásra: Kétféle portfólió 3 db elemből: Korrelációk: ki,j = -0,2; ki,z = 0,7; kj,z = 0,5 Az I. vagy II. portfóliót választaná egy A=8 befektető? (Megoldás: a II.-t, mert UII = 0,0456 > UI = 0,0387, mivel I.-re E(rP) = 7,60% és σ(rP) = 9,66%, és II.-re E(rP) = 6,60% és σ(rP) = 7,14%) E(r) σ(r) I. II. i 10% 20% 0,4 0,2 j 8% 12% z 5% 0,6

Portfólió-választás példa (VI.) Csak akit jobban érdekel a téma, és szeret számolni: Előző kételemű példához: i-hez és j-hez önmagában tartozó hasznosságok Legkisebb szórású portfólió meghatározása Legnagyobb hasznosságú portfólió meghatározása (Utóbbi kettőhöz az ötlet: aj = 1 – ai, majd egy egyváltozós szélsőérték feladat) Aki rajzolni is szeret: pontosabb grafikus ábrázolás a fentiek ismeretében…

Piaci portfólió tartása (I.) Sharpe-modell William Sharpe (1964), később Nobel-díj Lintner, Mossin, Treynor Vegyük sorra a modell peremfeltételeit! Tökéletes tőkepiac: Sok, az egész piachoz képest kis vagyonnal rendelkező befektető van, akik árelfogadók, az értékpapírok árfolyamát saját ügyleteik nem befolyásolják Az adóknak és a törvényi szabályozóknak nincs hatása a befektetői döntésekre (minden befektetés egyformán adózik) Tökéletes az informáltság Nincsenek tranzakciós költségek

Piaci portfólió tartása (II.) Befektetők Racionálisak, a Markowitz-modellt követik Homogén várakozások hipotézise („tojáshéjuk ugyanott van”) Befektetési lehetőségek Tőzsdén forgalmazott kockázatos értékpapírok, valamint kockázatmentes befektetés (~állampapír) és hitelfelvétel A kockázatmentes befektetések és hitelfelvételek kamata megegyező és állandó

Piaci portfólió tartása (III.) Egy kockázatmentes (i) és egy kockázatos (j) lehetőség kombinációja: Ha ai negatív szám, akkor kockázatmentes hitelfelvétel (egyúttal a felvett hitel kockázatos befektetése, mert ai + aj = 1)

Piaci portfólió tartása (IV.) Ábrázolva: A legjobb lehetőségek az rf – M egyenesen vannak

Piaci portfólió tartása (V.) Ha a „tojáshéj” mindenkinek „ugyanott van”, akkor az M portfólió is mindenkinél ugyanaz lesz – ezt kombinálják kockázatkerülésüktől függően rf-vel A kockázatos rész tehát minden befektetőnél ugyanaz!

Piaci portfólió tartása (VI.) Mindenki ugyanazt az M-et tartja → M összetétele meg kell, hogy egyezzen a világ összes kockázatos értékpapírját tartalmazó ún. piaci portfólióéval Csak az arányok ugyanazok, a befektetett összegek különbözhetnek A legjobb lehetőségek: tőkepiaci egyenes (Capital Market Line, CML) – erről választanak a befektetők:

Piaci portfólió tartása (VII.) A befektetői döntés ennek megfelelően: Passzív portfólió-menedzsment

Választás a Sharpe-modellben – példa (I.) Egy A=2 kockázatkerülésű befektető a piaci portfólió (M) és a kockázatmentes lehetőség (f) kombinálásával alakítja ki portfólióját A paraméterek: rf = 2%, E(rM) = 8%, σ(rM) = 18% Mekkora annak a portfóliónak a várható hozama és szórása, amelyben fele-fele arányban szerepel a két lehetőség? Optimális-e ez a fele-fele arány a befektetőnek? Ha nem, hogyan érheti el az optimumot és mik az optimális portfólió paraméterei? Gondoljuk végig ugyanezt egy A=8 kockázatkerülésű befektetőre! Ábrázoljuk döntéseiket és magyarázatukat! (csak jelleghelyesen)

Választás a Sharpe-modellben – példa (II.) Megoldás Fele-fele arány, tehát af = 0,5 és aM = 0,5 E(rP) = 0,5*0,02 + 0,5*0,08 = 0,05 = 5% σ(rP) = [(0,5*0)2 + (0,5*0,18)2 + 2*0*0,5*0*0,5*0,18]1/2 = 0,5*0,18 = 0,09 = 9% aM,opt = (0,08 – 0,02)/(2*0,182) = 0,93, tehát nem optimális, mivel 0,93 ≠ 0,5 Az optimumhoz növelni kell M súlyát 0,93-ra, illetve csökkenteni f súlyát 1 – 0,93 = 0,07-re Az optimális portfólió paraméterei: E(rP,opt) = 0,07*0,02 + 0,93*0,08 = 0,0758 = 7,58% σ(rP,opt) = 0,93*0,18 = 0,1674 = 16,74%

Választás a Sharpe-modellben – példa (III.) Mi a helyzet az A=8 befektető esetén? A „fele-fele” portfólió várható hozama és szórása ugyanaz marad, viszont az optimum más aM,opt = (0,08 – 0,02)/(8*0,182) = 0,23, tehát a fele- fele megosztás most sem optimális, mivel 0,23 ≠ 0,5 Az optimumhoz most viszont csökkenteni kell M súlyát 0,23-ra, illetve növelni f súlyát 1 – 0,23 = 0,77- re Az optimális portfólió paraméterei: E(rP,opt) = 0,77*0,02 + 0,23*0,08 = 0,0338 = 3,38% σ(rP,opt) = 0,23*0,18 = 0,0414 = 4,14%

Választás a Sharpe-modellben – példa (IV.) E(r) UoptA=8 > U0,5A=8 UoptA=2 > U0,5A=2 M 8% optA=2 7,58% 5% 0,5 Csak hozzávetőleg, jellegében helyes ábrázolás! optA=8 3,38% 2% f σ(r) 4,14% 9% 16,74% 18%

Választás a Sharpe-modellben – példa (V.) Akit jobban érdekel a téma, ill. gyakorlásra: Az előzőekben említett kombinációkhoz tartozó hasznosságértékek (U) kiszámítása és ellenőrzése, hogy az optimálisé tényleg nagyobb Az optimális súly számítására vonatkozó képlet levezetése (ötlet: af = 1 – aM, majd egy egyváltozós szélsőérték feladat) Pontosabb grafikus ábrázolás „Hardcore”: a béta és a CAPM képletét (lásd később) felhasználva annak bizonyítása, hogy M-en keresztül fut a legmeredekebb tőkeallokációs egyenes