Tartósság és speciális gazdasági számítások

Gazdasági számítások Alapfogalmak, alapösszefüggések Kamatos kamatozás Ismétlés Alapfogalmak, alapösszefüggések 1 év múlva most Kamatos kamatozás

Jelenérték-számítás technikája Ismétlés ralt

Egyszeri pénzáramlások Ismétlés N F P „jövőérték” Előjelek, nyíl irányok „értelemszerűen”... „kamatolás” „jelenérték” „diszkontálás”

Táblázatok használata Ismétlés Táblázatok használata „keressük” r „adva” jövőérték faktor

Táblázatok használata Ismétlés Táblázatok használata „keressük” r „adva” jelenérték faktor

Egyszerű példa: Ismétlés Hány $-t kell 10%-os éves hozam mellett kamatoztatni, hogy öt év múlva az összeg 10.000$ legyen? 10 r 5 F=10000 P=? 4 2 3 1 5 5 0,621 0,621

Ismétlés Közelítően hány százalékos éves hozam mellett duplázódik, ill. triplázódik meg egy összeg 5 év alatt? r ? 5 F=2P, ill. 3P P 4 2 3 1 r = ? 5 2 ill. 3

Egyenletes pénzáramlás-sorozat (annuitás) Ismétlés „jövőérték” A „jelenérték” Előjelek, nyíl irányok „értelemszerűen”...

Az általános képletek legtöbbször nem kellenek Ismétlés Az általános képletek legtöbbször nem kellenek (képletgyűjtemény) r annuitás jövőérték faktor annuitás jelenérték faktor előtakarékossági faktor törlesztési faktor

Ismétlés Egyszerű példák: Határozzuk meg 10 éven keresztüli évi 1000$ jelenértékét és jövőértékét! (r=10%) 10 r 10 6,145 15,937 2,594

Lineárisan növekedő pénzáramlás-sorozat Ismétlés

Az általános képletek nem kellenek Ismétlés Az általános képletek nem kellenek r lineáris növekedés annuitás faktor lineáris növekedés jelenérték faktor

Mennyi a jelenértéke a következő pénzáramlás-sorozatnak: (r=10%) Ismétlés Egyszerű példák: Mennyi a jelenértéke a következő pénzáramlás-sorozatnak: (r=10%) F0 = 0 F1 = $1000 F2 = $1300 F3 = $1600 F4 = $1900 F5 = $2200 F6 = $2500 2 1 3 6 5 4

Optimális gazdasági élettartam Berendezések élettartamát vizsgáljuk. A gyakorlatban ezt rendszerint nekünk kell megadni, mivel a berendezéseknek inkább ún. gazdasági élettartama van, nem pedig „fizikai”. Lényegében mindegy, hogy egy adott berendezés lecserélésének időpontjáról kívánunk dönteni, vagy két berendezés közül kell választanunk, az első lépés mindig a gazdasági élettartam meghatározása. Valójában a fajlagosan egyre csökkenő beruházási, és az egyre növekvő üzemeltetési és karbantartási költségek közötti optimumot keressük.

Példa: Számítsuk ki egy 20000$-ba kerülő berendezés optimális gazdasági élettartamát, ha annak éves üzemeltetési költségei, és az egyes évek végén jelentkező maradványértékek az alábbi táblázat szerint alakulnak (r=20%)!

Elméleti megfontolások Megközelítés: Elméleti megfontolások Azt feltételezzük, hogy a berendezést – hasonló feltételekkel – újra meg újra meg tudjuk majd venni a jövőben, így élettartama csak annyiban számít, hogy milyen gyakran kell lecserélni Az éves egyenértékes mutatót használjuk az eltérő időtartamú, láncszerűen megismételhető projektek összehasonlítására, úgy hogy az éves pénzáramlás egyenértékeseket vetjük össze. A számítás menete A beruházás, a működtetési költségek és a maradványérték éves egyenértékeseinek meghatározása évenként A teljes éves egyenértékesek kiszámítása évenként A legkedvezőbb teljes éves egyenértékes alapján az optimális gazdasági élettartam kiválasztása

Összegzés: Számítási hiba a jegyzetben.

élettartam (évek) Éves költség-egyenértékes Teljes éves költség Beruházás és maradványérték Üzemeltetés és karbantartás optimum

Példa: Hány év az alább vázolt pénzáramlásokat ígérő berendezés gazdasági élettartama? 3600 8600 1500 600 8600 780 900 600 8600 2100 1680 900 600 8600 5880 2100 1680 900 600 8600

3600 8600 1500 600 8600

780 900 600 8600

2100 1680 900 600 8600

5880 2100 1680 900 600 8600

Eredmények összesítve: AE(15%) élettartam (évek) 1000 2000 3000 4000 5000 6000 6290 4913 4518 4484 4241 A gazdasági élettartam tehát 4 év.

élettartam (évek) Éves költség-egyenértékes Teljes éves költség Beruházás és maradványérték Üzemeltetés és karbantartás optimum

élettartam (évek) Éves költség-egyenértékes Beruházás és maradványérték Éves költség-egyenértékes élettartam (évek)

Meghatározásánál évről-évre haladva kiszámítjuk az összes költség éves egyenértékesét, majd kiválasztjuk a legkisebbet. Teljes éves költség Beruházás és maradványérték Üzemeltetés és karbantartás

Speciális gazdasági számítások Kamatfizetés, illetve törlesztés gyakoriságának hatása Mindeddig feltételeztük, hogy minden pénzáramlás az év végén esedékes. Ekkor nyilván éves kamatozásokat is használtunk. Természetesen nem minden eset elemezhető e feltételezések mellett.

Nézzünk egy-két esetet!

Nézzünk egy-két számpéldát!

Példa: Évi 16%-ot kínáló kötvényünk negyedévente fizet kamatot. Valójában mekkora éves effektív kamatot kapunk? azaz kb. 17%.

Kamat-táblázataink csak egész értékű kamatértékeknél használhatók, így az évestől eltérő esetekben az általános képleteket kell használni.

Hitelajánlat: Ár: 37990 Ft 76990 Ft Példa: Egy áruházi katalógus ajánlata szerint egy alumínium asztal 76990 Ft, míg egy hozzávaló karosszék 37990 Ft. Mindkét termékhez hitelajánlat is párosul: az asztalhoz 15809 Ft önerő után 28 hónapon keresztül havi 3000 Ft-ért, a székhez 9178 önerő után 11 hónapon át havi 3000 Ft-ért juthatunk hozzá. Mekkora kamatot számol fel az áruház? Hitelajánlat: 11x3000 Ft Önerő: 9178 Ár: 37990 Ft 28x3000 Ft Önerő: 15809 76990 Ft

Megoldás: IRR meghatározás kezdjük az asztallal induljunk ki havi 1% kamatból: Hitelajánlat: 28x3000 Ft Önerő: 15809 Ár: 76990 Ft Mit jelent az eredmény? Kisebb vagy nagyobb IRR-t? Nagyobb IRR-t (aminek most nem örülünk…)

Próbálkozzunk most havi 2% kamattal: Hitelajánlat: 28x3000 Ft Önerő: 15809 Ár: 76990 Ft Még mindig kevés...

Próbálkozzunk most havi 3% kamattal: Ábrázoljuk a kapott eredményeket: %/hó 3 1 2 NPV +4901 -11779 -2659 IRR~2,35%

Vajon a szék esetén is ekkora kamattal számoltak? Havi 2,35%-ra kapjuk tehát a hitelt. Mindez azaz 32,15% éves (effektív) kamatnak felel meg. Hitelajánlat: 11x3000 Ft Önerő: 9178 Ár: 37990 Ft Vajon a szék esetén is ekkora kamattal számoltak? Igen!

Példa: Évi nettó 2,4 millió Ft fizetést kapunk meg havi részletekben Példa: Évi nettó 2,4 millió Ft fizetést kapunk meg havi részletekben. Valójában mekkora az éves jövedelmünk, ha az éves kamat 12%.

Példa: Egy bank hirdetése szerint 1 millió Ft kölcsönt vehetünk fel 36 hónapra, havi 35000 Ft törlesztéssel. Mennyi az éves effektív kamat?

Folytonos kamatos kamatozás:

A folytonos kamatos kamatozás általános összefüggései:

Például: Pénzáramlásokra vonatkozó általános képlet:

Folytonos esetben N helyett t szokás használni, hiszen itt már nem „egész” években számolnunk: A folyamatos kamatozás lehetővé teszi a folyamatos pénzáramlások kezelését is: t A N t A

t A N

Időzítésből eredő kockázat A folyamatos pénzáramlásoknak az igazi terepe… A kockázat nem csak egy pénzáramlás nagyságának ingadozásából eredhet, hanem időzítéséből is:

F1 F1 F1 F1 F1 F1

t F Alapesetek: t f(t) F Általános képletek: Bizonytalan időzítésű, F jövőbeli pénzáramlás várható jelenértéke, ha a bekövetkezési időpont, mint valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(t). E[F] várható értékű, t idő múlva bekövetkező jövőbeli pénzáramlás várható jelenértéke.

A „csúnya” integrálos rész könnyen megkapható (valójában a sűrűség -függvények Laplace-transzformáltja)

Pierre Simon Laplace (1749-1827) Francia matematikus és csillagász Bolygók pályáinak stabilitása Fő műve a Mécanique céleste mérföldkő az alkalmazott matematikában

Váratlanul meghibásodó berendezések gazdasági alapszámításai Az eddigiekben ismertetett eszköztár segítségével már viszonylag könnyen elemezhetjük a meghibásodásokkal kapcsolatos (amúgy igen bonyolult) gazdasági kérdéseket. A váratlan meghibásodások legegyszerűbb esetét az imént tárgyaltuk (pl. váratlan javítási költség): t f(t) F

Példa: Egy berendezés váratlan meghibásodása 20 m$-os költséggel jár Példa: Egy berendezés váratlan meghibásodása 20 m$-os költséggel jár. A meghibásodás időpontja normális eloszlással jellemezhető, melynek várható értéke 10 év, szórása 3 év. Mekkora a meghibásodás várható jelenértéke? r = 15% Hasonlítsuk össze ezt az értéket a meghibásodás várható időpontja szerinti számítás eredményével!

Tekintsük át a további fontosabb modelleket! f(t) t A Ez a modell az élettartam hosszának kockázatát modellezi. Általános összefüggése (levezetés nélkül):

Példa: Az előzőekben már vizsgált váratlanul meghibásodó berendezésnél most az élettartamot jellemezzük olyan normális eloszlással, melynek várható értéke 10 év, szórása 3 év. Mekkora a berendezés üzemeltetésének várható jelenértéke, ha működésével 50 m$/év pénzáramlást „termel”? r = 15% Hasonlítsuk össze ezt az értéket a várható élettartam szerinti számítás eredményével!

... Egy másik jellemző eset: f(t) Ezt használjuk javítható rendszerek gazdasági elemzésekor (a pénzáramlások a javítási költségek) Általános képlete (levezetés nélkül):

... Végül egy összetettebb eset: f(t1) f(t2) Véletlen időtartamig működik (termel), majd véletlen időtartamig javítják (költeni kell rá). Általános képlete (levezetés nélkül):

= 10·0,162 = 1,62 mFt F = 10 mFt r = 10 % P(r) = F L(r) Példa: Egy öregedő jellegű rendszerelem meghibásodását az alábbi sűrűségfüggvény jellemzi. Mekkora a rendszerelem meghibásodásának jelenértéke, ha a meghibásodáskor 10mFt költség lép fel? r=10% P(r) = F L(r) F = 10 mFt r = 10 % = 10·0,162 = 1,62 mFt

F = 80 mFt r = 12 % T1 =1/λ = 10 / (0,2 x 0,3) = 166,7 év λ = 0,006 Példa: Határozzuk meg a villámvédelemre fordítandó összeg maximális értékét. Tételezzük fel, hogy egy villámbecsapódás 80 mFt kárt okoz. Meteorológiai adatok alapján tudjuk, hogy üzemünk környékén a villámbecsapódás várható értéke 10év/km2. Üzemünk veszélyeztetett területe 200x300m. Mekkora a villámvédelemre költendő összeg ésszerű felső határa, ha r=12%, és a villámbecsapódás exponenciális eloszlással írható le. F = 80 mFt r = 12 % T1 =1/λ = 10 / (0,2 x 0,3) = 166,7 év λ = 0,006 Megjegyzés:

Példa: Egy távközlési átjátszó berendezés üzemeltetése évi 4,8mFt nettó pénzáramlást termel. Érdemes-e beruházni egy ilyen berendezésbe 40mFt-ot, ha élettartama – amely az első villámbecsapódásig tart – 25 év várható értékű exponenciális eloszlással jellemezhető? r=10% T1 =1/λ = 25 év λ = 0,04

Példa: Egy szállítószalag hajtómotorjának váratlan meghibásodásai véletlenszerűen követik egymást. Minden váratlan meghibásodás 120 ezer forintos helyreállítási költséggel jár. Minden meghibásodásig eltelt idő olyan normális valószínűségi eloszlással jellemezhető, melynek várható értéke 0,5 év, szórása 0,1 év. Mekkora a hajtómotor helyreállításainak várható jelenértéke, ha r=15%?

Példa: Egy erőmű egy blokkjának működése olyan bevételt termel, amely egy 12000 Ft/óra nagyságú, egyenletes pozitív pénzáramlásnak felel meg. E pénzáramlás időtartama azonban bizonytalan, addig áll fenn, amíg az erőmű szóban forgó blokkja működőképes állapotban van. A blokk meghibásodása esetén, annak helyreállítása szintén bizonytalan ideig tart, s a helyreállítás ideje alatt 1100 Ft/óra nagyságú, egyenletes negatív pénzáramlás jelentkezik. Tapasztalatok alapján az erőművi blokk hibamentes működési ideje egy 7200 óra várható értékű, 360 óra szórású normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, míg helyreállítási ideje szintén egy normális eloszlású valószínűségi változóval írható le, melynek várható értéke 96 óra, szórása pedig 26,4 óra. Adjuk meg az erőművi blokk üzemeléséből adódó pénzáramlások várható jelenértékét, ha a kamatláb 10%!

Működés: Javítás: A kamatláb éves, a pénzáramlások viszont óránként jelentkez(het)nek.