Kvantitatív módszerek Hipotézisvizsgálatok Paraméteres próbák

Paraméteres próbák A paraméteres próbák szigorúbb alkalmazási feltételeket igényelnek Arány-, ill. intervallum szintű mérési skáláról származó adatok állnak rendelkezésre Erősségük (a hamis nullhipotézis elutasításának valószínűsége) nagyobb Csoportosításuk: Egymintás, kétmintás, többmintás Független és páros mintás Várható értékre, szórásra, sokasági arányra irányuló

Egymintás próbák Az egymintás próbák mindig egy adott sokaság valamely jellemzőjére vonatkozó feltevések helyességének ellenőrzésére szolgálnak. Ennek érdekében a rendelkezésre álló egyetlen mintából meghatározott jellemzőt (átlag, tapasztalati szórás) valamely feltételezett, vagy kívánatosnak tartott állapothoz viszonyítjuk. Így annak a kérdésnek a megválaszolására alkalmasak, hogy az a sokaság, amelyből a minta származik lehet-e olyan, mint amilyennek mi azt a nullhipotézisben feltételezzük. Tanult próbák: Egymintás várható értékre irányuló próba Egymintás sokasági szórásra irányuló próba Új próba: Egymintás sokasági arányra irányuló próba

Egymintás próbák – sokasági szórásra irányuló próba Alkalmazási feltételek: normális eloszlású alapsokaság Nullhipotézis: Lehetséges ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény χ2 eloszlású (DF=n-1):

Egymintás próbák – várható értékre irányuló próba Az alkalmazási feltételek függvényében kétféle próba: egymintás z-próba ha ismerjük az alapsokasági szórást (0), vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n>30 és a 0-t a korrigált tapasztalati szórással becsüljük) egymintás t-próba ha nem ismerjük az alapsokasági szórást, és kis mintánk van Nullhipotézis: H0: =m0, vagyis a várható érték egy adott m0 értékkel egyenlő. Lehetséges ellenhipotézisek: H1: ≠m0 H1:  > m0 H1:  < m0

Egymintás próbák – egymintás z-próba Alkalmazás feltétele: normális eloszlású alapsokaság Nullhipotézis: Ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény N(0;1) eloszlású: H0: =m0 H1: ≠m0 -z/2 <zsz<z/2 H1:  > m0 zsz<z H1:  < m0 zsz>-z

Egymintás próbák – egymintás t-próba Alkalmazás feltétele: normális eloszlású alapsokaság, ismeretlen alapsokasági szórás (és kis mintaelemszám) Nullhipotézis: Ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény Student eloszlású (DF=n-1): H0: =m0 H1: ≠m0 -t/2 <tsz<t/2 H1:  > m0 tsz<t H1:  < m0 tsz>-t

Tesztelendő paraméter Alkalmazási feltételek Hipotézisek Próbafüggvény Próbafüggvény eloszlása Sokasági várható érték Sokasági eloszlás normális sokasági szórás ismert H0:  = m0 H1: (1)  ≠ m0 (2)  > m0 (3)  < m0 standard normális (z) sokasági szórás nem ismert Student t-eloszlás (DF=n-1) Sokasági variancia (szórás) H0: σ = σ0 (1) σ ≠ σ0 (2) σ > σ0 (3) σ < σ0   χ2-eloszlás

Egymintás próbák – sokasági arányra irányuló próba P: adott tulajdonsággal rendelkező egyedek aránya a sokaságban p=adott tulajdonsággal rendelkező egyedek aránya a mintában Nullhipotézis: H0: P=P0 Lehetséges ellenhipotézisek: H1: P ≠ P0 H1: P > P0 H1: P < P0 Alkalmazás feltétele: nagy minta A próbafüggvény N(0,1) eloszlású:

Példa Mivel a számított érték kisebb, mint a kritikus érték (vagyis elutasítási tartományba esik), a nullhipotézist elutasítjuk, vagyis 5%-os szignifikancia szinten visszautasítható az a feltételezés, hogy a szavazatok 30%-át megkapják. Egy diákszervezet feltételezi, hogy a következő diáktanács-választáson a szavazatok legalább 30%-át biztosan megkapják. Visszautasítható-e ez a feltételezés 5%-os szignifikancia szinten úgy, hogy egy 65 elemű mintában 12-en szavaztak erre a szervezetre? Megoldás: H0: P=0,3 H1: P < 0,3 Elég nagy-e a minta? A kritikus érték: zα=-1,64.

Példa Egy olvadó biztosítékokat gyártó cég feltételezi, hogy a működésképtelen biztosítékok aránya legfeljebb 10%. Ezt a feltevést egy 144 elemű mintán vizsgáljuk 5%-os szignifikancia szinten. A mintában talált selejtes termékek száma 25. H0: P=0,1 H1: P>0,1 Mivel a számított érték nagyobb, mint a kritikus érték (vagyis elutasítási tartományba esik), a nullhipotézist elutasítjuk, vagyis 5%-os szignifikancia szinten nem fogadható el, hogy a selejtarány legfeljebb 10%. A kritikus érték: zα=1,64.

Kétmintás próbák A kétmintás próbák – ideértve a speciális páros mintás próbákat is – annak a kérdésnek a vizsgálatára használhatók, hogy két meghatározott szempontból eltérő (pl. különböző műszakok, gépek stb.) sokaságban a vizsgált paraméterek (várható értékek, szórások) is különböznek-e egymástól. A kétmintás próbák két sokaság egymással való összehasonlítását szolgálják. A sokaságok időben, térben vagy bármilyen más tekintetben különbözhetnek egymástól. Tanult próbák: Kétmintás, a sokasági varianciák egyezésére irányuló próba Páros mintás, a várható értékek különbségére irányuló próba Két, független mintás, várható értékek egyezésére irányuló z-, ill. t- próba, Welch-próba Új próba: Kétmintás, a sokasági arányok egyezésére irányuló próba

Kétmintás próbák – a sokasági szórások összehasonlítására irányuló próba Alkalmazási feltétel: normális eloszlású, független alapsokaságok Nullhipotézis: Ellenhipotézis: H1: 12>22 A próbafüggvény F-eloszlású (DF1, DF2, DF1,2=n1,2 -1) Táblázataink is egyoldali próbára vonatkoznak (mégpedig F, DF1, DF2) kritikus értékeit adják meg. A két alapeloszlásból vett n1 és n2 elemű minták korrigált tapasztalati szórásai torzítatlan becslései az alapsokasági szórásoknak. ahol s1*2>s2*2

Kétmintás próbák – a sokasági várható értékek összehasonlítására irányuló próbák PÁROS MINTÁK Páros mintáknál az egyik minta elemeinek kiválasztása maga után vonja a másik minta elemeinek kiválasztását. n=n1=n2 a két páros minta összetartozó elemeinek di=yi-xi különbségeit képezzük  egy n elemű minta Nullhipotézis: H0: μ1=μ2 vagy H0: μd=δ0 Ellenhipotézis: egyoldali vagy kétoldali Próbafüggvény Student eloszlást követ (DF=n-1):

Kétmintás próbák – a sokasági várható értékek összehasonlítására irányuló próbák FÜGGETLEN MINTÁK Az alkalmazási feltételek függvényében kétféle próba: kétmintás z-próba ha ismerjük az alapsokasági szórásokat (1 és 2), vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n1,2>30 és az ismeretlen alapsokasági szórásokat a korrigált tapasztalati szórásokkal becsüljük) kétmintás t-próba ha nem ismerjük az alapsokasági szórásokat, és kis mintáink van Nullhipotézis: H0: 1=2 (vagyis a két sokasági várható érték egyenlő) Lehetséges ellenhipotézisek: H1: 1 ≠ μ2 H1: 1 > μ2 H1: 1 < μ2

Kétmintás próbák – a sokasági várható értékek összehasonlítására irányuló próbák Kétmintás z-próba Alkalmazás feltétele: normális eloszlású alapsokaságok, ismert alapsokasági varianciák Nullhipotézis: H0: 1=2 Lehetséges ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény N(0,1) eloszlású: H1: 1 ≠ 2 -z/2 <zsz<z/2 H1: 1 > 2 zsz<z H1: 1 < 2 zsz>-z

Kétmintás próbák – a sokasági várható értékek összehasonlítására irányuló próbák Kétmintás t-próba Alkalmazás feltétele: normális eloszlású alapsokaságok, ismeretlen alapsokasági varianciák kis minták esetén akkor kezelhető, ha az ismeretlen szórásokról tudjuk, hogy azok egyenlőek (F-PRÓBA) Nullhipotézis: H0: 1=2 Lehetséges ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény Student eloszlású (DF=n1+n2-2): H1: 1 ≠ 2 -t/2 <tsz<t/2 H1: 1 > 2 tsz<t H1: 1 < 2 tsz>-t

Kétmintás próbák – a sokasági várható értékek összehasonlítására irányuló próbák Welch próba Alkalmazási feltétele: normális eloszlású alapsokaságok, ismeretlen alapsokasági varianciák, nem tételezhető fel a szórások egyezése Nullhipotézis: H0: 1=2 Lehetséges ellenhipotézisek és elfogadási tartományok (DF=f): Próbafüggvény Student eloszlású (DF=f): H1: 1 ≠ 2 -t/2 <tsz<t/2 H1: 1 > 2 tsz<t H1: 1 < 2 tsz>-t

Utazással töltött idő (perc) Példa – Welch próba A naponta utazással töltött időt vizsgálták középiskolások és egyetemisták körében. A középiskolások utazással töltött ideje egy 60 elemű minta alapján átlagosan 83 perc, a szórása 17 perc. Ugyanez az egyetemistáknál a következőképpen alakult: 5%-os szignifikancia szinten vizsgálva megegyezik-e a két csoportban az utazási idők várható értéke és szórása? Utazással töltött idő (perc) Válaszolók száma -50 12 50-100 36 100-150 24 150- 8

Utazással töltött idő (perc) Példa – Welch próba Az egyetemisták átlagos utazási ideje és szórása: A középiskolások átlagos utazási ideje és szórása: F-próba: Mivel a számított érték nagyobb, mint a kritikus érték, így a sokasági szórások egyezése 5%-os szignifikancia szinten nem tehető fel. Utazással töltött idő (perc) Válaszolók száma -50 12 50-100 36 100-150 24 150- 8 α=5% DF1=79, DF2=59 Fkrit=1,53

Példa – Welch próba Welch-próba: H0: 1=2 H1: 1 > 2 Mivel a számított érték nagyobb, mint a kritikus érték, így a nullhipotézist elutasítjuk, nem tehető fel a középiskolások és egyetemisták csoportjában az utazási idők várható értékének az egyezése 5%-os szignifikancia szinten Welch-próba: H0: 1=2 H1: 1 > 2 A próbafüggvény értéke: A kritikus érték 5%-os szignifikancia szint és DF=84 mellett: tα=1,658

Tesztelendő paraméter Alkalmazási feltételek Hipotézisek Próbafüggvény Próbafüggvény eloszlása Sokasági várható érték mindkét sokaság normális eloszlású, 1 és 2 ismert v. n1 és n2>30, a minták függetlenek H0: 1=2 H1: (1) 1 ≠ 2 (2) 1 > 2 (3) 1 < 2 standard normális (z) mindkét sokaság normális eloszlású, 1 és 2 nem ismert v. n1 és n2<30 1=2, a minták függetlenek   Student t-eloszlás (DF=n1+n2-2) a sokaság normális eloszlású, páros minta (H0: μd=δ0) (1) 1 ≠ 2 (μd ≠ δ0) (μd > δ0) (μd < δ0) (DF=n-1) Sokasági variancia Mindkét sokasági eloszlás normális , ahol s1*2 > s2*2  F-eloszlás (DF1=n1-1; DF2=n2-1)

Kétmintás aránypróba Alkalmazási feltétele: nagy minták Nullhipotézis: H0: P1=P2 Lehetséges ellenhipotézisek és elfogadási tartományok: A próbafüggvény N(0,1) eloszlású: H1: P1 ≠ P2 -z/2 <zsz<z/2 H1: P1 > P2 zsz<z H1: P1 < P2 zsz>-z

Példa Egy közvélemény-kutató cég 1000 elemű, állítása szerint az ország teljes felnőtt lakosságát reprezentáló FAE mintákkal dolgozik. Két – időben egymást két hónappal követő – közvélemény-kutatás eredménye szerint az egyik politikust a lakosság 62, ill. 68%-a tartotta rokonszenvesnek. 5%-os szignifikancia szinten állítható-e, hogy a lakosság rokonszenve növekedett az adott politikus iránt? Megoldás: H0: P1=P2 H1: P1<P2 z= –1,645 Mivel zsz<–1,645, ezért a H0 hipotézist 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk, vagyis a lakosság rokonszenve az adott politikus iránt növekedett.

Példa Egy multinacionális vállalatnál az ügyfélszolgálaton dolgozók prémiumának egy részét a szolgáltatások elégedettség vizsgálatához kötik. Minden hónapban véletlenszerűen kiválasztott 1500 ügyfelet hív fel egy automata, kérdéseket tesz fel, a válaszokat rögzítik, és összesítik. Az egyik hónapban 75%-os, a rákövetkezőben pedig 78%-os volt az elégedettség, ezért a prémium összegét növelték. Jogos volt-e ez a lépés 5%-os szignifikancia szinten? Megoldás: H0: P1=P2 H1: P1<P2 Elfogadási tartomány: zsz > –1,64 Mivel zsz>–1,64, ezért a H0 hipotézist 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk, vagyis a vevők elégedettsége növekedett, így jogos a prémium összegének növelése.

Többmintás próbák A többmintás próbák annak a kérdésnek a vizsgálatára használhatók, hogy több – meghatározott szempontból eltérő (pl. különböző műszakok, gépek stb.) – sokaságban a vizsgált paraméterek (várható értékek, szórások) is különböznek-e egymástól. A többmintás próbák kettőnél több sokaság egymással való összehasonlítására szolgálnak. Több sokasági szórás (variancia) összehasonlítása Több sokaság várható értékének összehasonlítása (varianciaanalízis)

Többmintás próbák – több sokasági szórás összehasonlítása Cochran próba: azt dönthetjük el, hogy a szórások között talált legnagyobb érték tekinthető-e a többivel azonos eloszlásból származónak. Alkalmazási feltétel: normális eloszlású alapsokaságok, azonos n elemszámú minták (r db sokaságból r db mintánk van) Nullhipotézis: Ellenhipotézis: H1: nem minden variancia egyenlő A próbafüggvény: DF=n-1 Elfogadási tartomány: gsz < gkrit

H1: nem minden variancia egyenlő Példa – Cochran próba Egy egészségügyi kutatóközpont öt különböző fogyókúra eljárást kíván összehasonlítani. A vizsgálatra 25 túlsúlyos személyt kértek fel, akiket 5 csoportba soroltak be. Egy hónapon keresztül alkalmazták az egyes eljárásokat. Feltételezve a súlycsökkenés normális eloszlását vizsgáljuk meg, hogy van-e különbség a fogyókúrás terápiák által eredményezett súlycsökkenések varianciája között (α=5%)! Megoldás: Eljárás Súlyveszteség (kg) A 13 16 15 B 7 4 8 9 C 12 6 10 D 5 E 11 H1: nem minden variancia egyenlő

Példa – Cochran próba Minden fogyókúrás eljárásra ki kell számolnunk a súlycsökkenések átlagát és korrigált tapasztalati szórását: Eljárás Súlyveszteség (kg) A 13 16 15 B 7 4 8 9 C 12 6 10 D 5 E 11 5%-os szignifikancia szinten a különböző fogyókúrás eljárások eredményeként előálló súlycsökkenések varianciája között nincs különbség, mivel a számított érték kisebb, mint a kritikus. Kritikus érték: α=5%, r=5, DF=n-1=4, gkrit=0,56

Többmintás próbák – több sokasági szórás összehasonlítása Bartlett próba Alkalmazási feltétel: normális eloszlású alapsokaságok, nem egyforma elemszámú minták állnak rendelkezésre a sokaságokból Nullhipotézis: H0: Ellenhipotézis: H1: nem minden variancia egyenlő r db minta, az elemszámok: n1, n2, ...., nr, a j-edik minta átlaga korrigált tapasztalati szórásnégyzete A próbafüggvény (DF=r-1):

Példa – Bartlett próba Egy élelmiszerbolt tulajdonosa feltételezi, hogy a hétfői és szombati napokon nem ugyanannyi sajt fogy, mint a hét más napjain. Ezért a sajt rendelésének jobb megalapozása céljából 6-6 egymástól függetlenül és véletlenszerűen kiválasztott hétfői és szombati napon, valamint 10 ugyancsak véletlenszerűen kiválasztott egyéb napon gondosan feljegyzi, hogy mennyi sajtot adott el. A megfigyelés kg-ra kerekített eredményét az alábbi táblázat tartalmazza. Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten azt a nullhipotézist, hogy a napi sajtforgalom szórása a hét háromféle napján egyforma! Nap Megfigyelt napok száma Eladott sajtmennyiség Az eladott mennyiség átlaga Az eladott mennyiség varianciája Hétfő 6 30,40,54,34,44,50 42 84,8 Egyéb hétköznap 10 49,43,30,59,35, 46,42,35,36,43 41,8 70,4 Szombat 52,58,57,70,54,53 57,33 43,87 Összesen 22   46,09 110,47

H1: nem minden variancia egyenlő Példa – Bartlett próba Mivel a számított érték kisebb, mint a kritikus, így a sokasági varianciák egyezőségére vonatkozó feltételezés elfogadható 5%-os szignifikancia szinten. H1: nem minden variancia egyenlő 5%-os szignifikancia szinten a kritikus érték r-1=3-1=2 szabadságfok mellett: 5,99

H1: nem minden variancia egyenlő Példa – Bartlett próba Egy egészséges életmóddal foglalkozó kutatóintézet olyan személyeket vizsgált, akik egyszer le-, majd visszaszoktak a dohányzásra. Egyszerű véletlen mintákat vettek az erősen stresszes, közepesen stresszes és nyugodt körülmények között dolgozók közül, és azt vizsgálták, hogy ki hány hónapig bírta ki cigaretta nélkül. A mintaelemszámok 4, 6 és 5, az eloszlások normalitása feltételezhető. Vizsgáljuk meg 5%-os szignifikancia szinten, hogy van-e különbség a cigaretta nélkül töltött idők szórása között! Munkahely Meddig bírta ki cigaretta nélkül (hónap) Erősen stresszes 7, 9, 10, 14 Közepesen stresszes 6, 8, 10, 11, 14, 17 Nyugodt 6, 14, 20, 24, 26 H1: nem minden variancia egyenlő

Példa – Bartlett próba Döntés a nullhipotézisről: mivel a számított érték nagyobb, mint a kritikus érték, így 5%-os szignifikancia szinten nem tehető fel a sokasági varianciák egyezése. 5%-os szignifikancia szinten a kritikus érték r-1=3-1=2 szabadságfok mellett: 5,99

Több sokaság várható értékének összehasonlítása - varianciaanalízis Alkalmazási feltétel: független minta, normális eloszlású alapsokaságok, a sokasági szórások egyezése feltételezhető (lásd Cochran v. Bartlett próba) Nullhipotézis: a nullhipotézis fennállása azt jelenti, hogy nincs kapcsolat az X mennyiségi ismérv és a sokaságokat megkülönböztető minőségi ismérv között a próba a vegyes kapcsolat tesztelésének is tekinthető, a nullhipotézis elfogadás esetén a minőségi ismérv nem befolyásolja a mennyiségi ismérv alakulását, a két ismérv független egymástól Ellenhipotézis: H1: bármely két várható érték nem egyenlő egymással H1 fennállása azt jelenti, hogy van kapcsolat az adott két ismérv között A szórásnégyzet-felbontás módszerére épül (lásd heterogén sokaság vizsgálata)

Több sokaság várható értékének összehasonlítása - varianciaanalízis Menete: Főátlag számítása: Teljes négyzetösszeg: Csoportok közötti négyzetösszeg: a csoportok közti eltéréseket magyarázza, méri Csoportokon belüli négyzetösszeg: a csoportokon belüli eltéréseket, a véletlen hatásokat mutatja

Több sokaság várható értékének összehasonlítása - varianciaanalízis SST = SSK + SSB SSK: a csoportosítás hatása a szóródásra Varianciahányados: H2=SSK/SST SSB: a szóródás azon része, amelyet a csoportosítás nem magyaráz a csoportosító ismérven kívül egyéb tényezők magyaráznak A varianciaanalízis éppen arra keresi a választ, hogy a csoportosító ismérvnek köszönhető eltérésnégyzet-összeg (SSK) szignifikáns nagyságrendű-e.

Több sokaság várható értékének összehasonlítása - varianciaanalízis Ha H0 igaz: a csoporton belüli négyzetösszeg (SSB) 2-eloszlású n-r szabadságfokkal a csoportok közötti négyzetösszeg (SSK) 2-eloszlású r-1 szabadságfokkal a négyzetösszegek és a megfelelő szabadságfokok hányadosából képzett ún. külső (sk2), ill. belső (sb2) szórásnégyzetek egymástól függetlenek a közös várható értékük az ismeretlen, de egyenlő alapsokasági szórás: M(sk2)=M(sb2)=. A két szórás egyezésének vizsgálatával így ellenőrizhetjük eredeti hipotézisünket: a várható értékek azonosságát A próbastatisztika (r-1, n-r) paraméterű F-eloszlású:

Több sokaság várható értékének összehasonlítása - varianciaanalízis ANOVA tábla Négyzetösszeg neve Négyzetösszegek Szabadságfok Szórás becslése F érték p-érték Csoportok közötti * r-1 sk2 sk2/sb2 p Csoporton belüli ** n-r sb2 - Teljes n-1

Példa Bartlett próbával már beláttuk, hogy az eladott sajtmennyiség a hét háromféle napján azonos szórású normális eloszlást követ. Most ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten azt a nullhipotézist, hogy a hét elején, közben és a hét végén eladott mennyiség várható értéke azonos! Nap Megfigyelt napok száma Eladott sajtmennyiség Az eladott mennyiség átlaga Az eladott mennyiség varianciája Hétfő 6 30,40,54,34,44,50 42 84,8 Egyéb hétköznap 10 49,43,30,59,35, 46,42,35,36,43 41,8 70,4 Szombat 52,58,57,70,54,53 57,33 43,87 Összesen 22   46,09 110,47

Példa Nap Megfigyelt napok száma Eladott sajtmennyiség H1: bármely két várható érték nem egyenlő egymással Nap Megfigyelt napok száma Eladott sajtmennyiség Az eladott mennyiség átlaga Az eladott mennyiség varianciája Hétfő 6 30,40,54,34,44,50 42 84,8 Egyéb hétköznap 10 49,43,30,59,35, 46,42,35,36,43 41,8 70,4 Szombat 52,58,57,70,54,53 57,33 43,87 Összesen 22   46,09 110,47

Példa α=5%, DF1=2, DF2=19 Fkrit=3,52 Mivel a számított érték nagyobb, mint a kritikus érték, ezért a nullhipotézist elutasítjuk 5%-os szignifikancia szinten. A hét vizsgált típusú napjain tehát valószínűleg nem egyforma az eladott sajtmennyiség várható értéke. A szóródás oka Négyzet-összegek Szabad-ságfok Szórás becslése F érték milyen nap 1042,92 2 521,46 7,76 hiba 1276,95 19 67,21 - teljes 2319,87 21

Példa A Cochran-próbával is tesztelt fogyókúrás eljárásokat nézzük újra, és ellenőrizzük, hogy van-e különbség az egyes eljárások között a hatékonyság szempontjából 5%-os szignifikancia szinten! (vagyis van-e olyan, amelyik nagyobb átlagos súlycsökkenéssel jár, mint a többi?) Tegyük fel, hogy feltételezhető az eljárások okozta súlyveszteségek varianciájának azonossága, így folytathatjuk a várható értékek egyezésének vizsgálatával. Eljárás Súlyveszteség (kg) átlagok szórások A 13 16 15 1,22 B 7 4 8 9 1,87 C 12 6 10 2,36 D 5 E 11 1,41

H1: bármely két várható érték nem egyenlő egymással Példa Mivel a számított érték nagyobb, mint a kritikus érték, így a nullhipotézist elutasítjuk. 5%-os szignifikancia szinten van különbség az egyes fogyókúrás eljárások által eredményezett súlycsökkenések várható értéke között, azaz valószínűleg van olyan, amelyik hatásosabb a másiknál. H1: bármely két várható érték nem egyenlő egymással Főátlag: α=5% DF1=4 DF2=20 Fkrit=2,87 Eljárás Súlyveszteség (kg) átlagok szórások A 13 16 15 1,22 B 7 4 8 9 1,87 C 12 6 10 2,36 D 5 E 11 1,41

Összefoglalás A zárthelyin számonkérésére kerülő próbák Nemparaméteres próbák: Illeszkedésvizsgálat Kolmogorov próbával Sorozatpróba Rangösszegpróba Paraméteres próbák: Egymintás Sokasági aránypróba Kétmintás Kétmintás sokasági aránypróba Welch-próba Többmintás Cochran próba Bartlett próba Varianciaanalízis