Manhertz Gábor; Raj Levente Tanársegéd; Tanszéki mérnök Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2. Előadás– Elméleti ismétlés (rendszerek osztályozása, átviteli fv., állapottér modell, zérus pólus, Laplace transzformáció)

 Dr. Bokor József, Dr. Gáspár Péter, Dr. Szabó Zoltán: Irányításelmélet (2014):  ml  Dr. Huba Antal, Dr. Aradi Petra, Czmerk András, Dr. Lakatos Béla, Dr. Chován Tibor, Dr. Varga Tamás: Mechatronikai berendezések tervezése (2014):  esek_tervezese/index.html  Dr. Korondi Péter, Dr. Huba Antal, Graff József, Dr. Aradi Petra, Czmerk András, Bojtos Attila, Dr. Fekete Róbert, Dr. Lakatos Béla: Rendszertechnika (2014):  html 2

 Dinamikus rendszerek osztályozása  A modellezés szerepe a mechatronikai tervezésben  Laplace transzformáció  Átviteli függvény  Állapottér modell 3

 Valós fizikai rendszer egy olyan fizikai objektum, amely mérhető külső kényszer hatására mérhető módon megváltozik.  A valós fizikai rendszerre ható és időben változni képes kényszereket nevezzük fizikai bemeneteknek.  Az absztrakt rendszer egy valós fizikai rendszer valamilyen pontosságú és meghatározott működési tartományra érvényes absztrakt modellje, amely a bemenőjelek és a kimenőjelek között teremt matematikai kapcsolatot 4

 A rendszereket szokás a be- és kimenetek száma szerint csoportosítani 5

 Folytonos idejű rendszerek esetén a be- (u(t)), és a kimenőjel (y(t)) a vizsgált időintervallum minden időpontjában értelmezve van.  Diszkrét idejű rendszerek esetén a be- és a kimenőjel a vizsgált időintervallumon csak diszkrét időpontok sorozatában van értelmezve.  Ha a rendszer jeleinek értéke egy tartományban folytonosan változhat, akkor folytonos értékű rendszerről beszélünk.  Ha a rendszer jelei csak diszkrét értékeket vehetnek fel, akkor diszkrét értékű ( kvantált ) rendszerről beszélünk. 6

 Időinvariáns rendszer esetén, ha a rendszer egy u(t) gerjesztésre adott válasza y(t), akkor az időben eltolt u(t- τ ) gerjesztésre adott y(t- τ ) válasz is egyszerű időbeni eltolással megkapható 7

 A lineáris rendszerek legfontosabb tulajdonsága, amely egyben definícióként is használható, hogy érvényes rájuk a szuperpozíció elve. 8

 Determinisztikus rendszerről akkor beszélünk, ha egy konkrét bemenőjelre a rendszer teljes ismeretében mindig egy konkrét kimenőjel analitikusan kiszámítható.  Sztochasztikus rendszer egy konkrét bemenőjelre adott válaszát nem tudjuk pontosan meghatározni, csak annak a valószínűségi eloszlását.  A rendszer tartalmaz valamilyen véletlenszerűségen alapuló elemet.  Olyan nemlineáris dinamikával rendelkező determinisztikus rendszereket nevezünk kaotikusnak, amelyek hosszú távú viselkedése csak statisztikailag írható le. 9

 Koncentrált paraméterű leírás esetén a vizsgált valós fizikai rendszer összefüggéseit egy adott térrészben „kiátlagoljuk”, és egyetlen egyenlettel helyettesítjük.  Elosztott paraméterű leírás esetén a tér minden pontjában meghatározunk valamilyen matematikai összefüggést, leginkább parciális differenciálegyenletek formájában. 10

 „A műszaki életben, az esetek többségében a szakasz matematikai modellje nem, vagy csak részben áll rendelkezésre.” 11

12

 A mechatronikai tervezésben a dinamikus rendszerek háromféle matematikai modellje használatos:  Differenciálegyenlet  Átviteli függvény  Állapottér modell 13

14

 Az egységugrás Laplace-transzformáltja  Az egységnyi sebességugrás Laplace- transzformáltja 15

 Integrálás az időtartományban  Mivel a differenciálásnak illetve integrálásnak az s-el való szorzás illetve osztás felel meg, a differenciálegyenletek helyébe a transzformált tartományban algebrai egyenletek lépnek. Így a feladatok megoldása lényegesen egyszerűsödik. 16

 Az időtartománybeli konvolúciós integrált helyettesíti.  Csak lineáris rendszer-modellekre alkalmazható.  Definíciója szerint a kimenőjel és bemenőjel Laplace transzformáltjának hányadosa zérus kezdeti feltételekkel  Átviteli függvényt csak egyetlen bemenőjel és egyetlen kimenőjel között írhatunk fel.  Több forrást, gerjesztést tartalmazó rendszer esetén a szuperpozíció szabályát alkalmazhatjuk.  Több gerjesztés és több válasz között pedig az átviteli mátrix segítségével lehet a kapcsolatokat megjeleníteni. 17

18

 Más néven az állapotegyenletek  A fizikai-technikai rendszerek legátfogóbb leírását teszik lehetővé, mind idő, mind pedig operátor tartományban  A modern szabályozások leírásához kifejlesztett modell-forma.  állapotszabályozás, állapot-megfigyelés, adaptív szabályozás  Ezen túlmenően minden, jelenleg ismert digitális számítógépes szimulációs program kiinduló pontja. 19

 Ez a matematikai modell a differenciálegyenlet Cauchy-féle normál alakja  „n” db. független energiatárolót tartalmazó rendszer esetében „n” db. elsőrendű differenciálegyenletből épül fel.  Ezek a differenciálegyenletek lehetnek lineárisak és nemlineárisak is, állandó és változó együtthatósak. 20

 Ha a rendszer lineáris (linearizálható) és a paraméterek invariánsak (állandók): 21

22

23