Paraméteres próbák- konzultáció október 21.

Paraméteres próbák és zh  Egymintás aránypróba  Kétmintás aránypróba  Welch-próba  Cochran próba  Varianciaanalízis Kvantitatív módszerek

Példa Feladatgyűjtemény Kínai és japán turisták körében végeztek felmérést a fényképezési szokásaikról. A japán turisták egy nap alatt átlagosan 106 képet készítettek, 38,4 kép szórással. A kínai turisták 94 képet csináltak, 16,4 kép szórással. A vizsgálat során 61 japán és 41 kínai látogatót figyeltek meg. A készített képek eloszlása normális. 5%-os szignifikancia szinten feltehető-e, hogy a japán és a kínai turisták ugyanannyit fényképeznek? Megoldás: sokasági várható értékek összehasonlítása F-próba a sokasági szórások egyezésére: DF japán =60, DF kínai =40, F krit =1,64 Kvantitatív módszerek 5% szignifikancia szinten el kell utasítanunk a nullhipotézist, az ismeretlen alapsokasági szórások nem egyenlők. Ezért a két mintás t- próba helyett a Welch próbát fogjuk használni a két várható érték összehasonlítására.

Példa folytatása  A Welch próba próbafüggvénye: Kvantitatív módszerek DF=87 5%-os szignifikancia szinten elvetjük a nullhipotézist, így tehát nem állítható, hogy ugyanannyit fényképeznek

Példa Feladatgyűjtemény A Felvillanyozzuk Kft. villanyégőket gyárt. A vevője akkor veszi át a beszállított tételt, ha a hibaarány nem nagyobb, mint 1%. A napi termeléséből vett n = 2000 elemű mintában a hibás égők száma 24 db. A kivett minta alapján döntsük el, hogy 99%-os megbízhatósággal a vevő átveszi-e a tételt! Megoldás: egymintás aránypróba H 0 : P=0,01 H 1 : P>0,01 Elég nagy-e a minta? α=1%, z 0,99 =2,34 Kvantitatív módszerek Mivel a számított érték az elfogadási tartományba esik, így 99%-os megbízhatósággal lehet a tétel elfogadására számítani.

Példa Feladatgyűjtemény Egy befektető a portfóliójában 2000 darab értékpapírt tart. Januárban 1120 darab, februárban 1200 darab értékpapíron tudott pozitív hozamot realizálni. 1%-os szignifikancia szinten igaz-e az az állítás, hogy januárról februárra nőtt a befektető portfóliójában azon értékpapírok aránya, amelyeken pozitív hozamot realizálhatott. Megoldás: kétmintás aránypróba H 0 : P jan =P febr H 1 : P jan <P febr Kvantitatív módszerek az elfogadási tartomány: z sz >z krit 1%-os szignifikancia szinten elutasítjuk a nullhipotézist, azaz az alternatív hipotézis elfogadása mellett azt állíthatjuk, hogy januárról februárra valóban nőtt a befektető portfóliójában a pozitív hozamú értékpapírok aránya

Példa Feladatgyűjtemény Egy gyorséttermi akció célja, hogy hatására a vásárlók 20%-a vásárolja meg az adott terméket. 350 vásárlót tartalmazó véletlen mintában 65-en megvásárolták a szóban forgó terméket. Ellenőrizzük, hogy sikeresnek tekinthető-e az akció 5%-os szignifikancia szinten! Megoldás: egymintás aránypróba: α=0,05  z α = –1,64  elfogadási tartomány: z sz >z α Kvantitatív módszerek Mivel a számított érték nagyobb, mint a kritikus érték, így a nullhipotézist elfogadjuk, vagyis sikeresnek tekinthető az akció.

Példa Feladatgyűjtemény Egy plázából kifelé jövet véletlenszerűen megkérdeztek 500 főt, akik közül 347 nő volt és 153 férfi, hogy vásároltak-e. A nők közül 198-an, a férfiak közül 62-en válaszoltak igennel. 5%-os szignifikancia szinten állítható-e, hogy a nők nagyobb arányban vásárolnak, mint a férfiak? Megoldás: kétmintás aránypróba H 0 : P nő =P férfi H 1 : P nő >P férfi  =0,05 z  = 1,645 Elfogadási tartomány: z sz <1,645 Kvantitatív módszerek Mivel z sz >1,645, ezért a H 0 hipotézist 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk, vagyis állítható, hogy a nők nagyobb arányban vásárolnak.

Példa Feladatgyűjtemény Az újságolvasási szokásokat vizsgálták a felsőfokú végzettséggel rendelkezők, illetve nem rendelkezők között, mindkét csoportból elemű mintát véve. A felsőfokú végzettséggel rendelkezők napi átlag 24 percet töltöttek újságolvasással, 4 perc szórással. A felsőfokú végzettséggel nem rendelkezők naponta átlagosan 23 percet töltöttek újságolvasással, 9 perc szórással. Mindkét csoportban azt találták, hogy az újságolvasással töltött idő normális eloszlást követ. 1 %-os szignifikancia szinten feltehető-e, hogy a két csoportban azonos az újságolvasásra fordított idő? Megoldás: sokasági várható értékek egyezésének vizsgálata, kétmintás próba Az egyes csoport a felsőfokú végzettséggel rendelkezők, kettes csoport az ezzel nem rendelkezők csoportja Kvantitatív módszerek

Példa folytatása Először F-próbát kell végeznünk: DF 1 =24, DF 2 =24, F krit =2,66 Welch-próba: t krit =2,724 (DF=33, α=1%) Kvantitatív módszerek 1%-os szignifikancia szinten a két alapsokasági szórás egyezése nem tételezhető fel az elfogadási tartomány: -2,724<t szám <2,724 1 % szignifikancia szinten nincs okunk a nullhipotézist elutasítani, azaz a felsőfokú végzetséggel rendelkezők és a felsőfokú végzetséggel nem rendelkezők körében az újságolvasására fordított idő egyenlő.

Példa Négy, közkedvelt üdítőital töltési térfogatát vizsgáltuk. A megfigyelések eredményei: Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a töltési térfogatok várható értéke egyenlő-e! (feltételezzük a töltési térfogatok normalitását, valamint, hogy a szórások egyeznek) Kvantitatív módszerek ÜdítőEllenőrzött palackok száma Töltési térfogat [ml] Almás6498, 504, 506, 502, 498, 498 Barackos4500, 502, 504, 494 Citromos6504, 498, 502, 500, 499, 503 Dinnyés8495, 503, 496, 500, 504, 501, 502, 499

Példa folytatása Kvantitatív módszerek ÜdítőEllenőrzött palackok száma Töltési térfogat [ml] Almás6498, 504, 506, 502, 498, 498 Barackos4500, 502, 504, 494 Citromos6504, 498, 502, 500, 499, 503 Dinnyés8495, 503, 496, 500, 504, 501, 502, 499

Példa folytatása Megoldás: varianciaanalízis Kvantitatív módszerek ÜdítőEllenőrzött palackok száma Töltési térfogat [ml] Almás6498, 504, 506, 502, 498, 498 Barackos4500, 502, 504, 494 Citromos6504, 498, 502, 500, 499, 503 Dinnyés8495, 503, 496, 500, 504, 501, 502, 499 H 1 : Bármely két várható érték nem egyezik

Példa folytatása  Külső eltérés-négyzetösszeg:  Belső eltérés-négyzetösszeg (a szórások felhasználásával):  Teljes eltérés-négyzetösszeg: Kvantitatív módszerek A töltési térfogat szóródásának 2,68%-át magyarázza az, hogy milyen ízű.

Példa folytatása Négyzetösszeg neve Négyzet- összegek Szabad- ságfok Szórás becslése F érték Csoportok közötti * 63s k 2 =20,1835 Csoporton belüli ** 217,98220s b 2 =10,8991- Teljes223, Kvantitatív módszerek 5%-os szignifikancia szinten elfogadható, hogy a töltési térfogatok várható értéke egyenlő (vagyis nincs kapcsolat a töltési térfogat és az íz között).

Példa Három vérnyomáscsökkentő gyógyszer hatását vizsgálták. A különböző gyógyszerrel kezelt betegek vérnyomását egy héten keresztül minden nap megmérték. 1%-os szignifikancia szinten van-e különbség a gyógyszerek hatásossága között? Megoldás: Varianciaanalízis, előtte Cochran-próba Kvantitatív módszerek GyógyszerHKSZeCSPSZoVÁtlagKorr. tap. szórás A ,4162 B ,6771 C ,416

Példa folytatása Cochran próba: r=3, a DF szabadságfok 7-1=6 g krit =0,77 g szám <g krit, így a nullhipotézis elfogadható, a sokasági szórások egyeznek. Kvantitatív módszerek H 1 : A legnagyobb szórású különbözik GyógyszerHKSZeCSPSZoVÁtlagKorr. tap. szórás A ,4162 B ,6771 C ,416

Példa folytatása  Varianciaanalízis H 1 : bármelyik két várható érték nem egyenlő Kvantitatív módszerek GyógyszerHKSZeCSPSZoVÁtlagKorr. tap. szórás A ,4162 B ,6771 C ,416 A vérnyomás szóródásának 9,9%-át magyarázza az, hogy melyik gyógyszer esetén mérik.

Példa folytatása Négyzetösszeg neve Négyzet- összegek Szabad- ságfok Szórás becslése F érték Csoportok közötti 130,66r-1=3-1=265,330,9766 Csoporton belüli 1190n-r= 21-3=18 66,111- Teljes1320,66n-1= 21-1=20 -- Kvantitatív módszerek 5%-os szignifikancia szinten elfogadható, hogy nincs különbség a gyógyszerek hatásossága között.