Kontinuum modellek 1.  Bevezetés a kontinuum modellekbe  Numerikus számolás alapjai

Bevezetés a kontinuum modellekbe A módszer lényege  Analitikus egyenletek, egyenletrendszerek (rendszerint közönséges vagy parciális differenciálegyenletek, egyenletrendszerek) közelítő megoldása számítógépen futtatható algoritmusok segítségével (numerikus módszerekkel). Előnyei  Analitikusan nem (vagy csak nehezen, illetve korlátozott feltételek mellett) megoldható problémák is kezelhetők. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 2

Bevezetés a kontinuum modellekbe  Általában viszonylag gyors a megoldás (számításigénye relatíve kicsi).  Nagyon nagy méret, illetve időskálát átfoghat a szimuláció.  Egyszerre sok jelenség belefoglalható a modellekbe (pl. transzport, feszültségek, elektromos és mágneses kölcsönhatás, stb.)  Jól megalapozott és bevált algoritmusok léteznek. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 3

Bevezetés a kontinuum modellekbe  Az egyszerűbb algoritmusok is gyakran megfelelő eredményt hoznak, ezek implementációja (algoritmus programozása) relatíve egyszerű.  Stb. Hátrányai, korlátai  Az analitikus modellek nem adnak információt részletekről, „elkenik” azokat. Pl. atomi mechanizmusokról, stb., csak a globális rendszerviselkedést írják le. Megjegyzés: sokszor ez elegendő is, sőt, a részletek nem is kívánatosak. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 4

Bevezetés a kontinuum modellekbe  Korlátozott, illetve kérdéses a kontinuum modellek alkalmazhatósága azokon a méretskálákon ahol az anyag szerkezeti részletei már karakterisztikussá válnak. Ez épp a napjainkban divatos és fontos (anyagtudományi) területen, a „nano”-ban már fontos és gondosan mérlegelendő kérdés az adott probléma vizsgálatakor.  A megoldási algoritmusok stabilitása „gondokat” okozhat. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 5

A NUMERIKUS SZÁMOLÁS ALAPJAI Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 6

Egyváltozós függvény deriváltja „Definíció”: egy y = f(x) függvény deriváltja Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 7

Egyváltozós függvény deriváltja Geometriai jelentés: Egy függvény adott pontban vett deriváltja, az ebben a pontban a függvényhez húzott érintő meredekségét adja. (h  0  szelő  érintő) Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 8 x y y = f(x) a f(a) a+h f(a+h) h=0

Egyváltozós függvény integrálja „Definíció”: a deriválás inverze: ahol Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 9

Egyváltozós függvény integrálja Határozott integrál: az [a, b] intervallumot n elemi intervallumra osztjuk a tetszőlegesen választott a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b ponttal. Választunk egy  i pontot minden részinter- vallumban vagy annak a szélén (  i Є [x i-1, x i ]). Ebben az esetben az f(x) függvény [a, b] intervallumon vett határozott integrálja: ahol  x i = x i - x i-1. Dr. Erdélyi Zoltán Numerikus számolás alapjai 10

Egyváltozós függvény integrálja Határozott integrál: az [a, b] intervallumot n elemi intervallumra osztjuk a tetszőlegesen választott a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b ponttal. Választunk egy  i pontot minden részinter-vallumban vagy annak a szélén (  i Є [x i-1, x i ]). Ebben az esetben az f(x) függvény [a, b] intervallumon vett határozott integrálja: ahol  x i = x i - x i-1. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 11 x y a=x 0 x 1 x 2 x i-1 x i x n-1 b=x n ii f(  i ) y = f(x) x y a b

Egyváltozós függvény integrálja Geometriai jelentés: Ha f(x) előjele nem változik az [a, b] intervallumon, I az x-tengely és a görbe közötti területet adja. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 12 x y a=x 0 b=x n y = f(x) I

Numerikus deriválás és integrálás A valóságban (pl. kísérleti) adatok sohasem folytonosak. f ismert  bizonyos számú pontja (pl. kísérlet)  (vagy analitikusan) f deriváltját szeretnénk meghatározni  az ismert pontokban  analitikus számítás nélkül (algoritmusok). f integrálját meghatározni  a primitív függvény meghatározása nélkül (van, hogy ez nem is lehetséges) Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 13

Numerikus deriválás Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 14 x f(x) xixi x i+1 f(x i+1 ) f(x i ) x i+1/2

Numerikus deriválás Centrális differencia módszer Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 15 x f(x) x i-1 x i+1 f(x i+1 ) f(x i-1 ) xixi

Numerikus deriválás Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 16

Numerikus deriválás magasabb rendű deriváltak kiszámítása:  1.  2.  3. Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 17

Numerikus integrálás Polinomiális módszer  n pontban ismerjük a függvényt  2 megoldás : 1. n-1-ed rendű interpolációs polinom számítása: P n-1 (x) az n-1-ed rendű polinom integráljának számítása  probléma: a magas fokszámú polinomok nagyon oszcillálnak Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 18

Numerikus integrálás 2. az n pontot p számú pontot tartalmazó alcsoportokra osztjuk ( p<n ) a p-1 -ed rendű polinomok integráljának számítása az alintervallumok integráljainak összegzése Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 19

Numerikus integrálás Trapéz módszer : p+1=2 pont  interpolációs polinom=egyenes  A i =  legyen h = x i+1 - x i Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 20 x y A xixi x i+1 yiyi y i+1

Numerikus integrálás Simpson módszer: p+1=3 pont  másodfokú interpolációs polinom i 0-tól n-2 -ig megy 2-es lépésekkel Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 21 x y A

Numerikus integrálás Általános Newton-Cotes módszer: p+1 pont  p-ed rendű polinom illesztése: P p (x)  az 1. p számú adatot tartalmazó csoportra Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 22 x y A

Numerikus integrálás Dr. Erdélyi Zoltán Számítógépes modellezés 23 A1A1 A3A3 A4A4 A5A5 A6A6 A2A2 I=A 1 +A 2 +A 3 +A 4 +A 5 +A 6 numerikus integrálás