Gazdaság- statisztika 4. konzultáció Hipotézisvizsgálatok Árva Gábor PhD Hallgató

Hipotézisvizsgálat célja  Hipotézis: A sokasággal kapcsolatos olyan feltevés, amelynek igazságáról a hipotézisvizsgálat során meggyőződünk. A hipotézisek a sokaság eloszlásának jellegére, vagy az eloszlás egy vagy több paraméterére vonatkozhatnak.  Hipotézisvizsgálat: A hipotézisek helyességének mintavételi eredményekre alapozott vizsgálata. Annak mérlegelése, hogy az adott sokaságra megfogalmazott állítás (nullhipotézis) mennyire hihető a mintavétel eredményének függvényében.

Null- és ellenhipotézis  Nullhipotézis: A sokaságra vonatkozó feltevés, amelynek igazságtartalmáról a hipotézisvizsgálat során közvetlenül meggyőződünk  Minden statisztikai próba rögzített nullhipotézissel rendelkezik  Ellenhipotézis: A nullhipotézissel egymást kizáró állítás, amelynek igazságtartalmáról a próba során közvetetten hozunk döntést.

Próbafüggvény  A mintaelemek egy olyan függvénye, amelynek valószínűség-eloszlása a sokaság ismert tulajdonságait tekintetbe véve, a nullhipotézis igazságát feltételezve pontosan ismert.  A nullhipotézis helyességének vizsgálata  Rögzített nullhipotézis  Egy (pl. nem paraméteres próbák, F-próba) vagy több (pl. kétmintás z-próba) alternatív hipotézis közül választunk EGYET!

Elfogadási és elutasítási tartomány  A próbafüggvény lehetséges értékeit két egymást át nem fedő részre bontjuk.  H 0 fennállása esetén a próbafüggvény előre megadott, nagy 1-α valószínűséggel az elfogadási tartományba esik.  Szignifikancia szint: A kritikus tartományba esés α valószínűsége.  p-érték: Az a legkisebb szignifikancia szint, amelyen H 0 már épp elvethető H 1 -gyel szemben.

Kétoldali kritikus tartomány  A nullhipotézistől való eltérés ténye érdekel bennünket, de közömbös az eltérés iránya.  Pl.: A cukorkák töltőtömege 500 gr? KritikusElfogadási Kritikus érték α/2 1-α Kritikus α/2 Kritikus érték Két oldali kritikus tartomány

Egyoldali kritikus tartomány  Valamilyen feltételezett elméleti állapottól való, adott irányú eltérés tényének vizsgálata. Kritikus Elfogadási Kritikus érték α 1-α Bal oldali kritikus tartomány KritikusElfogadási Kritikus érték α 1-α Jobb oldali kritikus tartomány

A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák H0H0 Döntés H 0 -ról a minta alapján Igaz Nem igaz Igaz Nem igaz

Hipotézisvizsgálat lépései  1) H 0 és H 1 hipotézispár megfogalmazása  2) Próbafüggvény kiválasztása  3) A szignifikancia szint megválasztása, és a próbafüggvény lehetséges érték- tartományának felosztása elfogadási-, és elutasítási tartományra.  4) Mintavétel, a mintavételi adatokból a próbafüggvény értékének meghatározása.  5) Döntés a H 0 hipotézisről a próbafüggvény számított értékének és a kritikus érték(ek)nek egybevetésével.

Statisztikai próbák csoportosítása  Nullhipotézis tárgya:  Paraméteres próba: A nullhipotézis a sokaság valamely paraméter(ei)re irányul  Nemparaméteres próba: A nullhipotézis a sokaság (ismeretlen) eloszlására irányul. Ugyanakkor a nullhipotézisben szükséges lehet a sokaság paraméterekkel (pl.: várható érték és szórás) való megadására!

 A sokaság eloszlásával szemben támasztott feltételek:  Normális eloszlás a tanult paraméteres próbák esetében  Nemparaméteres próbák legfeljebb a sokaság eloszlásának folytonosságát követelik meg  A próbák végrehajtásához szükséges minták száma és nagysága:  Egy-, két-, vagy többmintás próbák  Független vagy páros minta  Kis és nagymintás próbák

Nem- paraméteres próbák

Nemparaméteres próbák  A hipőotézisvizsgálatok azon csoportja, ahol az eloszlás típusa nem ismert, és a H 0 hipotézis magára az eloszlásra vonatkozik.  Típusai:  Illeszkedésvizsgálat  Homogenitásvizsgálat  Függetlenségvizsgálat  Próbafüggvény:  Az elméleti és a tapasztalati gyakoriságok különbségén alapul.

Illeszkedésvizsgálat  Arról döntünk, hogy valamely ξ valószínűségi változó F (tapasztalati) eloszlása leírható-e adott F0 (elméleti) eloszlással.  Tiszta illeszkedésvizsgálat: Csak az eloszlás jellege kérdéses, annak paraméterei ismertek  Becsléses: Az eloszlás paramétereit is a mintából kell megbecsülni.  H 0 : A valószínűségi változó f tapasztalati eloszlása adott F elméleti eloszlást követ  H 1 : A valószínűségi változó f tapasztalati eloszlása nem az adott F elméleti eloszlást követi

Homogenitásvizsgálat  Segítségével eldönthetjük, hogy két valószínűségi változó azonos eloszlásúnak tekinthető-e  A közösnek feltételezett eloszlásfüggvény a próbában nem szerepel, és jellegére semmilyen kikötés nincs  A két sokaságból vett minta lehet eltérő elemszámú, de azonos osztályokat kell képezni mindkét mintában  H 0 : A valószínűségi változó eloszlása a két sokaságban azonos  H 1 : A valószínűségi változó eloszlása a két sokaságban nem azonos

Függetlenségvizsgálat  Annak eldöntésére szolgál, hogy két minőségi ismérv valamely vizsgált sokaságon belül független-e egymástól  H 0 : A két valószínűségi változó független egymástól (nincs közöttük sztochasztikus kapcsolat)  H 1 : A két valószínűségi változó nem független egymástól, közöttük sztochasztikus vagy determinisztikus kapcsolat van.  Kapcsolat szorossága: Cramer-féle asszociációs együttható,

1. Feladat  Egy gimnázium mind a négy évfolyamában megvizsgálták a szemüveget viselő fiúk és lányok számát. Teszteljük 1%-os szignifikancia szinten, hogy azonosnak tekinthető-e a szemüveget viselő diákok számának eloszlása a fiúk és a lányok között? Szemüveget viselők száma ÉvfolyamFiúkLányok

1. Feladat megoldása (1)  H 0 : A fiúk és a lányok körében a szemüveget viselők számának eloszlása azonosnak tekinthető.  H 1 : Nem tekinthető azonosnak a fiúk és a lányok körében a szemüveget viselők számának eloszlása.

1. Feladat megoldása (2)  Kontingenciatáblázat Szemüveget viselők száma Perem- gyakoriság Évf.FiúkLányok P. Gy

1. Feladat megoldása (3)  Számított érték meghatározása  Döntés a nullhipotézsiről:

2. Feladat  Az InterPanter internetszolgáltató felmérést végzett ügyfelei körében a szolgáltatással való elégedettségről. Az ügyfelek egy négyfokozatú skálán (teljesen elégedett, inkább elégedett, inkább elégedetlen, teljesen elégedetlen) értékelték a szolgáltatást. A terület szerint csoportosított adatokat a következő táblázat tartalmazza. A szolgáltató szerint a szolgáltatással való elégedettség függ az ügyfél lakhelyétől. Teszteljük 5%-os szignifikancia szinten a szolgáltató állítását! Milyen szoros a kapcsolat az ügyfél lakhelye és a szolgáltatással való elégedettség között?

2. Feladat LakhelyTeljesen elégedett Inkább elégedett Inkább elégedetlen Teljesen elég- edetlen Nagyváros Kisváros Vidék

2. Feladat megoldása (1)  H 0 : Az ügyfél lakhelye és a szolgáltatással való elégedettség független egymástól  H 1 : Az ügyfél lakhelye és a szolgáltatással való elégedettség nem független egymástól.  Kritikus érték meghatározása

2. Feladat megoldása (2) Teljesen elégedett Inkább elégedett Inkább elégedet- len Teljesen eléged- etlen Perem- gyak. Nagy- város Kisváros Vidék Per.gy

2. Feladat megoldása (3)  Számított érték  Döntés a nullhipotézisről:

2. Feladat megoldása (4)  Kapcsolat szorossága

3. Feladat  Egy vasútvonalon egy hétig minden vonaton feljegyezeték az utasok számát. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. Leírható-e a vonaton utazók száma 5%-os szignifikancia szinten normális eloszlással? Utasok számaVonatok száma 0≤x<306 30≤x< ≤x< ≤x< ≤x< ≤x<1808

3. Feladat megoldása (1)  H 0 : A vonaton utazók száma N(93,6; 38,56) eloszlást követ  H 1 : A vonaton utazók száma nem N(93,6; 38,56) eloszlást követ  Emlékeztető:

3. Feladat megoldása (2)  Elméleti gyakoriságok (p i ) meghatározása

3. Feladat megoldása (3)  3-4 osztály

3. Feladat megoldása (4)  5-6 osztály

3. Feladat megoldása (5) Utasok száma fPF 0≤x<3060,0424,2 30≤x<60120,14214,2 60≤x<90280,27227,2 90≤x<120300,28828,8 120≤x<150160,17617,6 150≤x<18080,0595,9

3. Feladat megoldása (6)  Számított érték meghatározása

Paraméteres próbák

 Paraméteres próba: A nullhipotézis a sokaság valamely paraméter(ei)re irányul  Szigorúbb alkalmazási feltételek, a tanult próbák megkövetelik az alapsokasági eloszlás normalitását. Ha ebben bizonytalanok vagyunk, illeszkedésvizsgálatot kell végezni!

Egymintás próbák  Az egymintás próbák egy adott sokaság valamely jellemzőjére vonatkozó feltevések helyességének ellenőrzésre szolgálnak. A rendelkezésre álló egyetlen mintából számított jellemzőt ennek érdekében egy feltételezett, vagy kívánatos állapothoz viszonyítjuk.

Egymintás szóráspróba  Kizárólag normális eloszlású alapsokaságból származó minta esetén alkalmazható.

Várható értékre irányuló egymintás próbák (z-, t-próba)  A nullhipotézis minden esetben, hogy a sokaság várható értéke egy adott m értékkel egyenlő.  Ha nem ismert az alapsokasági szórás, azaz a mintából korrigált tapasztalati szórást számolunk, és kis mintánk van (n<30), egymintás t-próbát alkalmazunk  Ha az alapsokasági szórás ismert, vagy ugyan nem ismert (a mintából a korrigált tapasztalati szórással becsüljük), de nagy minta (n>30) áll rendelkezésre, egymintás z-próbát alkamazunk.

Várható értékre irányuló egymintás próbák (z-, t-próba)

4. Feladat  Egy gyógyszer –normális eloszlásúnak tekinthető- hatóanyag-tartalmának az előírások szerint 5 grammnak kell lennie, legfeljebb 0,025 gramm szórással. A gyártásközi ellenőrzés során kivett 60 elemű minta átlagos-hatóanyag tartalma 4,995 gramm, a hatóanyag-tartalom korrigált tapasztalati szórása 0,027 grammra adódott. A minta adatai alapján megfelelőnek minősíthető-e a gyártási folyamat? Legyen a szignifikancia szint 5%.

4. Feladat megoldás (1)  Teszteljük a szórást!

4. Feladat megoldás (2)  A várható érték tesztelése: Bár az alapsokasági szórás nem ismert, de nagy mintánk van, így egymintás z-próbával számolhatunk.

5. Feladat  Egy vállalatnál véletlenszerűen kiválasztva 15 dolgozót, azt találták, hogy normális eloszlásúnak tekinthető fizetésük átlagosan Ft, Ft szórással. A vállalat szerint a munkatársak megtartásának kulcskérdése az iparági átlagnál, Ft-nál magasabb fizetés. Teljesíti-e a vállalat az elvárást?

5. Feladat megoldás  Egymintás t-próba, mert kis mintánk van  Mivel a számított érték az elfogadási tartományba esik, 1%-os szignifikancia szinten elfogadjuk a nullhipotézist, a fizetések várható értéke Ft.

Kétmintás próbák  Kétmintás próbák során arról döntünk, hogy két, meghatározott szempontból eltérő sokaságban a vizsgált paraméterek (szórás és/vagy várható érték) is eltérnek- e egymástól.  A paramétereket egymáshoz, és nem egy feltételezett vagy kívánatos értékhez hasonlítjuk

Két sokaság szórásának összehasonlítása – F-próba  Normális eloszlású, független sokaságok  Kétmintás t-próba esetén a próba alkalmazásának feltétele az ismeretlen alapsokasági szórások egyezősége, azaz kétmintás t-próba előtt mindig F-próbát végzünk.

Két független sokaság várható értékének összehasonlítása – kétmintás z- és t-próba  Független minta: Az egyik sokaságban egy mintaelem kiválasztása semmilyen módon nem befolyásolja a másik minta elemeinek kiválasztását.  Normális eloszlású alapsokaság  Nullhipotézisünk mindig az, hogy a két sokasági várható érték megegyezik.

6. Feladat  Egy vállalat a reklámarcok hatékonyságát vizsgálja. Két, hasonló új termék közül az A terméket egy híres TV-s személyiséggel, a B terméket egy babával reklámozzák. A reklámkampány után 20 hétig vizsgálva a heti eladási adatokat, a következő adatok adódtak:  Az eladások eloszlása normális. 5%-os szignifikancia szinten egyenlőnek tekinthető-e a két reklámkampány hatásossága?

6. Feladat megoldás (1)  Kis minta van, n<30, kétmintás t-próba. Ennek alkalmazási feltétele, hogy az ismeretlen alapsokasági szórások egyelőek legyenek, előbb F-próbával ezt teszteljük.

6. Feladat megoldás (2)  Várható értékek egyezőségének vizsgálata kétmintás t-próbával

6. Feladat megoldás (3)  Mivel a számított érték a kritikus (elutasítási tartományba) esik 5%-os szignifikancia szinten az ellenhipotézist fogadjuk el, azaz a baba hatékonyabb reklámarcnak tekinthető.

7. Feladat  Két gombaölő szer hatásosságát vizsgálják. Az „A” szerrel kezelt 120 tenyészetben az átlagos pusztulási arány 56% volt, 22%-os szórással. A „B” szerrel kezelt 100 tenyészet pusztulásának arányát a következő táblázat tartalmazza. A tenyészetek pusztulásának száma normális eloszlású valószínűségi változó. 1%-os szignifikancia szinte igazolható-e, hogy valamely gombaölő szer hatásosabb a másiknál? Pusztulás arányaMinták száma 0≤x<206 20≤x< ≤x< ≤x< ≤x<10014

7. Feladat megoldás (1)  Bár nem ismeretesek az alapsokasági szórások, nagy mintánk van, így kétmintás z-próbával dolgozunk, az alapsokasági szórásra pedig torzítatlan becslést ad a minta korrigált tapasztalati szórása.

7. Feladat megoldás (2)  A minták adatai:

Páros minták  Az egyik minta elemeinek kiválasztása maga után vonja a másik minta elemeinek kiválasztását, azaz a két minta elemei kölcsönösen és egyértelműen megfeleltethetőek egymásnak.  A páros minta két mintájának nagysága mindig egyforma  A két minta különbségének eloszlását vizsgáljuk.

Páros minták  Próbastatisztika:  DF=n-1 szabadságfokú Student-eloszlás

8. Feladat  Egy vállalat a munkatársainak nyelvtanfolyamot szervezett. Véletlenszerűen kiválasztva 8 munkatársat, mind a tanfolyam előtt, mind a tanfolyam után e 8 munkatárs egy 100 pontos tesztet töltött ki, amelynek eredményeit a következő táblázat tartalmazza. 1%-os szignifikancia szinten javult-e a munkatársak nyelvtudása a tanfolyam után? Munka- vállaló Pontszám a tanfolyam előtt Pontszám a tanfolyam után Anna7066 Boglárka9095 Cecil3042 Dorottya6886 Emese1225 Fruzsina80100 Gabriella72 Hédi7078

8. Feladat megoldás (1)  Mivel ugyanazon munkavállalók tudását vizsgáljuk, páros minta Munka- vállaló Pont tf. előttPont tf. utánKülönbség Anna70664 Boglárka Cecil Dorottya Emese Fruzsina Gabriella72 0 Hédi7078-8

8. Feladat megoldás (2)  Számolás….  Döntés: Mivel a számított érték az elutasítási tartományba esik, 1%-os szignifikancia szinten elutasítjuk a nullhipotézist, a nyelvi teszten elért pontszám valóban nőtt a tanfolyam után.

Többmintás próbák  Több, valamilyen szempontból különböző vizsgált sokaságban a paraméterek is eltérnek-e egymástól. A többmintás próbák tehát több sokaság egymással való összehasonlítására szolgálnak.  Cochran próba és variancia analízis (ANOVA)  Feltételek: normális eloszlású valószínűségi változók, és azonos elemszámú sokaságok

Cochran-próba  Több sokasági variancia egyezőségét vizsgáljuk, a próbafüggvény DF=n-1, r paraméterű, ahol n az azonos mintaelem- szám, r a képzett osztályok száma

Variancia-analízis  A vizsgált r darab sokaság várható értékének összehasonlítása  Arra keressük a választ, hogy a csoportképző ismérvnek tulajdonítható SSK négyzetösszeg szignifikáns nagyságrendű-e  Ha a nullhipotézis igaz, az SSK/SSB-ből becsült szórásnégyzetek egymástól függetlenek, és közös várható értékük az ismeretlen, de egyező alapsokasági szórás.

ANOVA tábla Az F(r-1; n-r szabadságfokú) számított értéket teszteljük!

9. Feladat  Egy kisváros vasútállomásáról 4 irányba indulnak vonatok, Annahegyre (A), Boglárkavárra (B), Csengevölgybe (C) és Dórafalvára (D). Egy nap kiválasztva a délutáni csúcsidőszakban minden irányba 5-5 vonatot, megszámolták azon az utasokat. Tegyük fel, hogy az utazók száma normális eloszlást követ. 5%-os szignifikancia szinten van-e különbség a különböző irányba induló vonatokon utazók száma között? Cél állo más Utasok számaÁtlagS* A ,071 B ,649 C ,674 D

9. Feladat megoldás (1)  D célállomás csoportjának átlaga és korrigált tapasztalati szórása:

9. Feladat megoldás (2)  A várható értékek összehasonlítását ANOVA- próbával végezzük majd, ennek azonban feltétele az ismeretlen alapsokasági szórások egyezősége. Így először Cochran-próbával ezt vizsgáljuk

9. Feladat megoldás (3)  Variancia-analízis: H 0 :  A =  B =  C =  D H 1 : bármelyik kettő nem egyenlő  Főátlag:

9. Feladat megoldás (4)  SSK, SSB meghatározása  Szórásbecslés

9. Feladat megoldás (5) Négyzet -összeg neve Négyzet -összeg Szabad- ságfok Szórás- becslés F-értékP-érték SSK633,753211,253,135 SSB1077,961667,3725 SST1711,7119

Köszönöm a figyelmet! ZH: december 8.