Gazdaságstatisztika Hipotézisvizsgálatok általános kérdései Nemparaméteres próbák november 6. és november 13.

Becslés vs hipotézisvizsgálat  Következtető statisztikai eszközök  Egy véletlen minta ismeretében hogyan lehet becslést adni annak a sokaságnak bizonyos jellemzőire, amelyből a minta származik.  Várható érték becslése ismeretlen és ismert sokasági szórás esetén  Sokasági variancia becslése  Sokasági arány becslése  De nem mindig erre van szükség:  el kell döntenünk, hogy a rendelkezésre álló egy vagy több minta származhat-e meghatározott tulajdonságokkal rendelkező egy vagy több sokaságból vagy  összehasonlítási célok  mérlegelni kell, hogy a mintavétel eredménye alátámasztja vagy cáfolja a feltevésünket Kvantitatív módszerek

A hipotézisvizsgálat lényege  A vizsgálandó sokaságra vonatkozó ismereteink gyakran hiányosak és/vagy bizonytalanok  sejtésünket hipotézisként fogalmazzuk meg, amelynek igazságáról meg kell győződni  Hipotézis: sokasággal (!!!) kapcsolatos feltevés, amely vonatkozhat  A sokaság eloszlására  A sokaság eloszlásának egy vagy több paraméterére  Az állítások helyességéről kétféleképpen lehet meggyőződni: Teljes körű adatfelvételt végzünk Mintavétel eredményei alapján következtetünk MINTAVÉTELI INGADOZÁS, MINTAVÉTELI HIBA  Hipotézisvizsgálat: a sokaságra vonatkozó feltevés mintavételi eredményekre támaszkodó vizsgálata. A hipotézisvizsgálat annak mérlegelése, hogy egy sokaságra vonatkozó állítás mennyire hihető a mintavétel eredményeinek tükrében.

 1. lépés: a null- és alternatív hipotézisek megfogalmazása  Nullhipotézis (H 0 ): az a sokaságra vonatkozó feltevés, amelynek igazságáról a hipotézisvizsgálat során közvetlenül meg kívánunk győződni.  Alternatív (vagy ellen-) hipotézis (H 1 ): a nullhipotézissel együtt minden lehetőséget kimerítő, azzal egymást kölcsönösen kizáró hipotézis, amelynek helyességéről közvetetten döntünk a hipotézisvizsgálat során.  A kettő közül azt fogjuk igaznak tekinteni, elfogadni, amelyik a mintavétel eredménye alapján hihetőbbnek tűnik a másiknál  A hipotézisek megfogalmazásának szempontjai: Megválaszolható legyen a bennünket érdeklő kérdés Egymást kizárják Mindig a nullhipotézis helyességéről döntünk, de az arról való döntés egyben közvetett döntés az alternatív hipotézisről. A hipotézisvizsgálat lényeges kérdései

Példa Igaz-e, hogy egy őrölt kávét töltő gép az előírásoknak megfelelően átlagosan 1kg töltősúlyú csomagokat készít?  A sokaság várható értékére vonatkozó feltevést szeretnénk vizsgálni  A töltőtömeg némileg szóródik  A töltés szisztematikusan nem tolódik-e el valamelyik irányba, mert az vagy veszteséget okoz a vállalatnak, vagy a vevőket károsítja meg  A szórásról nem mond semmit!  A nullhipotézis:  H 0 : μ=1kg  A lehetséges ellenhipotézisek:  H 1 : (1) μ≠1kg;  H 1 : (2) μ>1kg;  H 1 : (3) μ<1kg Kvantitatív módszerek

 2. lépés: a próbafüggvény kiválasztása  A hipotézisek vizsgálatára próbafüggvényt használunk: a mintából a sokaságra történő következtetést szolgálja  A mintaelemek egy olyan függvénye, amelynek valószínűségi eloszlása a sokaság ismert tulajdonságait tekintetbe véve, a nullhipotézis igazságát feltételezve pontosan ismert.  A próbafüggvényt eloszlásának ismerete teszi alkalmassá a nullhipotézis helyességének vizsgálatára: sokaság eloszlása, mintavétel módja, minta nagysága  A próbafüggvények értékei mintáról mintára ingadozó jellemzők, azaz statisztikák.  A próbafüggvények konstruálása elvi, matematikai feladat. A hipotézisvizsgálat lényeges kérdései

 3. lépés: elfogadási és elutasítási (kritikus) tartomány kijelölése  a próbafüggvény lehetséges értékeinek teljes tartományát két egymást át nem fedő részre bontjuk kritikus érték(ek) segítségével: elfogadási és elutasítási (kritikus) tartományra.  A határt (a kritikus értékeket) úgy választjuk meg, hogy a próbafüggvény a nullhipotézis fennállása esetén előre megadott nagy ε valószínűséggel az elfogadási tartományba essen.  Ha a próbafüggvénynek a rendelkezésünkre álló egy – esetleg több – minta adataiból számított értéke az elfogadási tartományba esik, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ellenkező esetben elvetjük azt.  A kritikus tartományba esés α valószínűségét szignifikancia szintnek nevezzük (1%-10% között) A hipotézisvizsgálat lényeges kérdései

 Kritikus értékek:  Az elfogadási és elutasítási tartományt egymástól elhatároló c a és c f értékeket alsó és felső kritikus értéknek szokás nevezni.  A kritikus értékeket mindig a kritikus tartomány részének tekintjük.  A kritikus tartomány kijelölésére kétoldali kritikus tartomány használata esetén két kritikus értékre, egyoldali kritikus tartomány esetén pedig egy kritikus értékre van szükség.  A kritikus értékek a szignifikancia szint és a próbafüggvény eloszlásának ismeretében egyértelműen meghatározhatóak  Speciális táblázatok Gazdaságstatisztika

Egyoldali kritikus tartomány Kritikus Elfogadási Kritikus érték α 1-α Bal oldali kritikus tartomány KritikusElfogadási Kritikus érték α 1-α Jobb oldali kritikus tartomány  Bal vagy jobboldali kritikus tartomány kijelölése:  eleve arra számítunk, hogy a valóság meghatározott irányú eltérést mutat egy általunk feltételezett helyzettől.  ha csak valamilyen feltételezett vagy előírt állapottól való adott irányú eltérés igazán fontos a számunkra.  A próbafüggvény mintából nyert értéke elég kicsi-e (elég nagy-e) ahhoz, hogy a nullhipotézis helyett az alternatív hipotézis fennállását legyen indokolt feltételezni.  A teljes kritikus tartományt a próbafüggvény eloszlásának vagy csak a bal, vagy csak a jobb szélére tesszük.

 Kétoldali kritikus tartomány kijelölése:  csak a nullhipotézisben feltételezett helyzettől való eltérés ténye érdekel bennünket, és közömbös az eltérés iránya.  A próbafüggvény értéke akár kisebb, akár nagyobb lehet, mint a nullhipotézis fennállásakor  A kritikus tartományba esés teljes valószínűségét egyenlő arányban szokás megosztani a kritikus tartomány két része között. Kétoldali kritikus tartomány KritikusElfogadási Kritikus érték α/2 1-α Kritikus α/2 Kritikus érték Két oldali kritikus tartomány

1. A null- (H 0 ) és alternatív (H 1 ) hipotézisek megfogalmazása 2. Olyan próbafüggvény keresése, amelynek eloszlása a nullhipotézis helyességét feltételezve és a próba alkalmazási feltételeit figyelembe véve egyértelműen meghatározható. 3. A szignifikancia szint (α) megválasztása, és a próbafüggvény lehetséges értéktartományának felosztása elfogadási és elutasítási tartományra. 4. Mintavétel, ez alapján a próbafüggvény, mint valószínűségi változó számszerű értékének meghatározása. 5. Döntés a hipotézisek helyességéről:  ha a próbafüggvény értéke az előre kijelölt elfogadási tartományba esik, akkor elfogadjuk a nullhipotézist,  Ha a próbafüggvény értéke az elutasítási tartományba esik, akkor elutasítjuk a nullhipotézist. A hipotézisvizsgálat lépései

Kvantitatív módszerek Statisztikai próbák elve f(  2 ) 22 DF   2 krit  2 szám  =1-  P(  2 szám <  2 krit (  )|H 0 igaz) = 1-  =  DF 2

Kvantitatív módszerek A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák Mintából következtetünk !!! Elsőfajú hiba (  ) Másodfajú hiba (  ) Minta-2 Minta-1 Minta-3 Hibát követhetünk el !!! H0H0 Döntés H 0 -ról a minta alapján Igaz Nem igaz Igaz Nem igaz Nincs hiba  e Elsőfajú hiba  A H 0 téves elvetése Másodfajú hiba  A H 0 téves elfogadása  Cél: a másodfajú hiba valószínűségének csökkentése (adott α mellett) Adott n mellett: ha α ↑  β ↓ ha α ↓ ↑  β ↑ Adott α mellett: ha n ↑  β ↓ ha próbafüggvény szórása ↓  β ↓

P-érték  Az a legkisebb szignifikancia szint, amelyen a nullhipotézis épp elvethető az ellenhipotézissel szemben  A próbafüggvény mintából nyert értékéhez tartozó szignifikancia szint.  Ho-t elvetjük, ha a p≤α  Ho-t elfogadjuk, ha a p>α Kvantitatív módszerek

Példa Kávétöltési példa: a töltőgép normális eloszlás szerint tölti a csomagokat  H 0 : μ=1kg  H 1 : μ≠1kg Legyen egy n=16 elemű mintánk Gazdaságstatisztika

A próbák osztályozása  Mi a nullhipotézisük tárgya:  Paraméterre és eloszlásra irányuló próbák  Milyen jellegűek a sokaság eloszlásával szemben támasztott alkalmazási feltételek:  A paraméteres próbák alkalmazási feltételei között szerepelnek a sokasági eloszlás típusára, egyes paramétereire vonatkozó elvárások  A nemparaméteres próbák alkalmazása legfeljebb a sokaság eloszlásának folytonosságát követeli meg  Hány és mekkora minta szükséges a végrehajtásukhoz  Egy, két vagy többmintás próbák  Független és páros mintás próbák  Kis- és nagymintás próbák (határ n=30)

Illeszkedésvizsgálat  Arról döntünk, hogy valamely  valószínűségi változó F (tapasztalati) eloszlása lehet-e adott F 0 (elméleti) eloszlásfüggvénnyel jellemzett eloszlás  Minták száma: egymintás  Alkalmazás feltétele: nagymintás, diszkrét és folytonos eloszlásokra egyaránt  Hipotézisek:  H 0 : F = F 0  H 1 : F ≠ F 0  A próbafüggvény:  A próbafüggvény eloszlása: χ 2 eloszlás, DF=r-l-1  Típusai: tiszta és becsléses illeszkedésvizsgálat 17

Példa – diszkrét eloszlása A Tiszán egy adott időszakban levonuló árhullámok számát vizsgálva az elmúlt 68 év során az alábbi eredményeket kapták: 30 év volt, amikor nem volt árhullám, 25 olyan év volt, amikor 1 árhullám vonult le az adott időszakban, 9 év volt, amikor 2 és 4 olyan év volt, amikor 3 vagy több árhullám következett be. Feltehető-e, hogy a folyón levonuló árhullámok száma modellezhető Poisson-eloszlással? =? nem ismerjük  a mintából kell becsülnünk Poisson-eloszlás esetén: M(  )= (számtani átlaggal becsülhető) Mivel az elmúlt 68 év során a kérdéses időszakban összesen 55 árhullám volt:  55/68  0,8 Gazdaságstatisztika árhullámok száma 0123 v. több gyakoriság [db]302594

 Nullhipotézis és alternatív hipotézis felállítása: H 0 = az árhullámok száma =0,8 paraméterű Poisson-eloszlású H 1 : az árhullámok száma nem =0,8 paraméterű Poisson-eloszlású  Mintavétel, adatok feldolgozása, kritikus érték (elfogadási és elutasítási tartomány) meghatározása  Poisson eloszlás táblázat =0,8 k=0  p 0 =0, 4493 k=1  p 1 =0,3595 k=2  p 2 =0,1438 k= 3 vagy annál több  1-(p 0 + p 1 + p 2 )=0,0474 Gazdaságstatisztika Példa – diszkrét eloszlása kf(k)pkpk 0300, , , v. több40,0474  681

Példa – diszkrét eloszlás Elméleti gyakoriságok meghatározása Kritikus érték: DF=r-l-1=4-1-1=2  =5%  táblázatból:  2 elm. =5,99 Gazdaságstatisztika kf(k)pkpk 0300, , , v. több40,0474  681 kf(k)pkpk F(k) 0300,449330, ,359524,45 290,14389,78 3 v. több40,04743,22  681

Példa – diszkrét eloszlás  Számított érték:  A számított és a kritikus érték összehasonlítása:  2 elm. =5,99 >>  2 sz =0,27  Döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték az elfogadási tartományba esik –, ezért 95%-os megbízhatósági elfogadjuk a H 0 -t: a folyón levonuló árhullámok száma modellezhető =0,8 paraméterű Poisson-eloszlással. Gazdaságstatisztika kf(k)pkpk F(k) 0300,449330, ,359524,45 290,14389,78 3 v. több40,04743,22  681

Példa – folytonos eloszlás A légi közlekedésben fontos figyelemmel kísérni az utasok átlagos testsúlyát, hogy egyrészt ne terheljék túl a gépet, másrészt ne utazzon a gép fölös kapacitással. Ezért időről időre ellenőrzik, hogy a felnőtt utasok testsúlya nem tér-e el a feltételezettől. A légitársaság a terhelést a 78kg-os átlagos testsúlyra és 11kg-os szórásra tervezi. A feltételezés ellenőrzése céljából megmérték 100 véletlenszerűen kiválasztott utas súlyát, akik között 44 nő volt. A mérés eredménye látható a következő táblázatban. 5%-os szignifikancia szint mellett teszteljük, hogy az utasok testsúlya normális eloszlású változó! A mintából kiszámított jellemzők: Megoldás: Becsléses illeszkedésvizsgálat Gazdaságstatisztika Testsúly (kg) Ügyfelek száma (fő) Összesen100

Példa – folytonos eloszlás  Hipotézisek: H 0 : az utasok tömege N(78,6;12,187) normális eloszlású H 1 : az utasok tömege nem N(78,6;12,187) normális eloszlású  Mintavétel, adatok feldolgozása Gazdaságstatisztika Testsúly (kg) Ügyfelek száma (fő) - f i PiPi FiFi Összesen100

Példa – folytonos eloszlás  A P i valószínűségi értékek meghatározása Gazdaságstatisztika Testsúly (kg) Ügyfelek száma (fő) - f i PiPi FiFi Összesen100 0, ,1746 0,305 0,2826 0,1344 0,04 1

Példa – folytonos eloszlás  Elméleti gyakoriságok meghatározása Gazdaságstatisztika Testsúly (kg) Ügyfelek száma (fő) - f i PiPi FiFi , , , , , ,04 Összesen100 ~1 6, ,46 30,5 28,26 13,

Példa – folytonos eloszlás  A próbafüggvény értékének meghatározása: Gazdaságstatisztika Testsúly (kg) Ügyfelek száma (fő) - f i PiPi FiFi -6070, , ,174617, ,30530, ,282628, ,134413, ,044 Összesen100~1~100 0,0911 0,122 0,074 0,0024 0, ,3038

Példa – folytonos eloszlás  A kritikus érték meghatározása: DF=r-l-1=6-2-1=3 χ 2 krit =7,815  Számított és kritikus érték összevetése, döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték (0,3038) kisebb, mint a kritikus érték (7,815), így a nullhipotézist 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk, azaz az utasok tömege N(78,6;12,187) normális eloszlású. Gazdaságstatisztika

Homogenitásvizsgálat  Homogenitásvizsgálat segítségével eldönthetjük, hogy két valószínűségi változó azonos eloszlásúnak tekinthető-e.  Minták száma: kétmintás  Alkalmazás feltétele: nagymintás, a közösnek feltételezett eloszlásfüggvényre nincs kikötés  Hipotézisek:  H 0 : a vizsgált valószínűségi változók két sokaságon belüli eloszlása azonos  H 1 : a vizsgált valószínűségi változók két sokaságon belüli eloszlása nem azonos  A próbafüggvény:  A próbafüggvény eloszlása: χ 2 eloszlás, DF=r-1  Eszköze: kontingencia táblázat

Kontingencia táblázat 29

Példa A személysérüléssel járó közúti balesetekre vonatkoznak az alábbi, mintavételből származó adatok 2003-ban. Hasonlítsuk össze a Budapesten és az ország többi részén történt balesetek idősávok szerinti eloszlását (α=1%)! Gazdaságstatisztika A baleset ideje a nap órái szerint Balesetek száma Budapesten Balesetek száma az ország többi részén Összesen100200

Példa  Hipotézisek felállítása: H 0 : A balesetek idősávok szerinti eloszlása Budapesten és az ország többi részén megegyezik (H 0 : F BP = G egyéb ) H 1 : A balesetek idősávok szerinti eloszlása Budapesten és az ország többi részén nem egyezik (H 1 : F BP  G egyéb )  Mintavétel, adatok feldolgozása:  Kontingencia táblázat:  Sor- és oszlopösszegek kiszámítása  Elméleti gyakoriságok meghatározása  Számított érték meghatározása Gazdaságstatisztika

Példa – kontingencia tábla A baleset ideje a nap órái szerint Balesetek száma Budapesten Balesetek száma az ország többi részén Peremgyakoriság (sorösszegek) Peremgyakoriság (oszlopösszegek) Gazdaságstatisztika ,67 19,67 17,67 23,33 25,67 27,34 39,34 35,34 46,66 51,34

Példa  Kritikus érték meghatározása: DF=r-1=5-1=4 α=1% χ 2 krit =13,277  Döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték (0,29656) kisebb, mint a kritikus érték (13,277), így a nullhipotézist elfogadjuk, azaz 1%-os szignifikancia szinten elfogadható, hogy a balesetek óránkénti eloszlása Budapesten és az ország többi részén megegyezik. Gazdaságstatisztika

Függetlenségvizsgálat  Két minőségi ismérv valamely adott sokaságon belül független-e egymástól.  A minták száma: egymintás  Alkalmazás feltétele: a kontingencia táblázat méretétől függően nagy minta  Hipotézisek:  H 0 : a két valószínűségi változó független egymástól (nincs sztochasztikus kapcsolat)  H 1 : a két valószínűségi nem független egymástól (közöttük sztochasztikus vagy függvénykapcsolat van)  A próbafüggvény:  A próbafüggvény eloszlása: χ 2 eloszlás, DF=(r-1)(s-1) 34

Kontingencia táblázat 35

A minőségi ismérvek között kapcsolat szorossága a minőségi ismérvek közötti asszociációval vizsgálható Cramer-féle asszociációs együttható  0 és 1 közötti értéket vesz fel.  Minél közelebb esik 1-hez, annál szorosabb a kapcsolat Minőségi ismérvek asszociációja q = min(r,s) 36

Példa Egy közvéleménykutatás során egyik gazdasági témájú TV- műsorról a következő kép alakult ki a diplomások körében: Tesztelje 5%-os szignifikancia szinten a foglalkozás jellege és a TV-műsor minősítése közötti kapcsolatot! Határozzuk meg az asszociációs együtthatót is, jellemezzük a kapcsolat szorosságát! Gazdaságstatisztika A nyilatkozó foglalkozása A műsor megítélése jómegfelelőrossz közgazdász jogász egyéb diplomás

Példa  Hipotézisek felállítása: H 0 : A foglalkozás jellege és a TV-műsor minősítése független egymástól. H 1 : A foglalkozás jellege és a TV-műsor minősítése nem független egymástól.  Mintavétel, adatfeldolgozás:  Kontingencia táblázat elkészítése: Sor-, és oszlop peremgyakoriságok meghatározása Elméleti gyakoriságok kiszámítása Számított érték meghatározása Gazdaságstatisztika

Példa Gazdaságstatisztika A nyilatkozó foglalkozása A műsor megítélésePeremgyakori ságok (sorösszegek) jómegfelelőrossz közgazdász jogász egyéb diplomás Peremgyakoriságok (oszlopösszegek)

Példa  Kritikus érték meghatározása: DF=(r-1)(s-1)=2∙2=4 α=5% χ 2 krit =9,488  Döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték 55,53 nagyobb, mint a kritikus érték (9,488), így a nullhipotézist elutasítjuk, a foglalkozás és a TV műsor minősítése nem független egymástól. Gazdaságstatisztika

Példa  Asszociációs együttható: n=800  2 szám =55,53 r=s=3  q=3 A diploma típusa és a TV-műsor megítélése, mint két minőségi ismérv között gyenge az asszociációs kapcsolat. Gazdaságstatisztika

Gyakorló példa – Feladatgyűjtemény (23.) Egy termelési folyamatban 4 gép működik 3 műszakban. Véletlen mintát véve a hibás termékekből, gépek és műszakok szerint csoportosították azokat. Az eredményt az alábbi táblázat mutatja. Van-e kapcsolat a selejt nagysága szerint a gépek és műszakok között? (α=10%) Gazdaságstatisztika Műszak Gépek ABCD I II III

Megoldás  Hipotézisek felállítása: H 0 : független egymástól a selejt nagysága szerint a gép és a műszak H 1 : nem független egymástól a selejt nagysága szerint a gép és a műszak  Mintavétel, adatok feldolgozása:  Kontingencia táblázat elkészítése Sor és oszlopösszegek (peremgyakoriságok számítása) Elméleti gyakoriságok számítása A próbafüggvény értékének kiszámítása Gazdaságstatisztika

Megoldás Gazdaságstatisztika Műszak Gépek Peremgyakoriság (sorösszeg) ABCD I II III Perem- gyakoriságok (oszlopösszeg) ,023 14,21 12,76 8,41 10,85 9,74 11,76 13,1 10,15 10,85 9,74 8,41 χ 2 sz =0,095+0,7976+0,455+0,0414+0,2255+0,315+0, , ,0453+0, ,4267+0,05622=2,517

Megoldás  Kritikus érték meghatározása: DF=(3-1)(4-1)=2∙3=6 α=10% χ 2 krit =10,645  Döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték (2,517) kisebb, mint a kritikus érték (10,645), így a nullhipotézist elfogadjuk, a selejt nagysága szerint nincs kapcsolat a gép és a műszak között. Gazdaságstatisztika

Példa – Feladatgyűjtemény (24.) A Matematika I. és II. tárgyakból a zárthelyi dolgozatokban elért pontszámok eloszlását reprezentálja az alábbi minta: Hasonlítsuk össze 10%-os szignifikancia szinten a két tantárgy pontszám szerinti eloszlását! Gazdaságstatisztika PontszámokHallgatók száma (fő) Matematika I. Matematika II Összesen110

Megoldás  Hipotézisek: H 0 : a két tantárgy esetében elért pontszámok eloszlása azonos H 1 : a két tantárgy esetében elért pontszámok eloszlása nem azonos  Mintavétel, adatok feldolgozása:  Kontingencia táblázat elkészítése Sor és oszlopösszegek (peremgyakoriságok számítása) Elméleti gyakoriságok számítása A próbafüggvény értékének kiszámítása Gazdaságstatisztika

Megoldás Gazdaságstatisztika PontszámokHallgatók száma (fő) Perem- gyakoriság Matematika I. Matematika II Perem- gyakoriság

Megoldás  Kritikus érték: DF=5-1=4 α=10% χ 2 krit =7,78  Döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték (7,066) kisebb, mint a kritikus érték (7,78), így a nullhipotézist elfogadjuk, azonos a pontszámok eloszlása a két tárgy esetében. Gazdaságstatisztika

Példa – Feladatgyűjtemény (25.) Egy település rendőrkapitánya azt állítja, hogy az éjszakai betörések száma egyenletesen oszlik meg a hét napjain. Egyheti megfigyelés alapján a betörések száma az egyes napokon az alábbi volt: Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy elfogadható-e a rendőrkapitány állítása! Gazdaságstatisztika Nap Betörések száma Hétfő6 Kedd8 Szerda5 Csütörtök7 Péntek12 Szombat17 Vasárnap15 Összesen70

Megoldás  Hipotézisek felállítása: H 0 : A betörések száma diszkrét egyenletes eloszlású H 1 : A betörések száma nem diszkrét egyenletes eloszlású  Mintavétel, adatfeldolgozás:  Elméleti gyakoriságok meghatározása  Számított érték meghatározása Gazdaságstatisztika

Megoldás Nap Betörések száma (f i ) Elméleti gyakoriság (F i ) Hétfő6 Kedd8 Szerda5 Csütörtök7 Péntek12 Szombat17 Vasárnap15 Összesen70 Gazdaságstatisztika ,6 0,4 2,5 0,9 0,4 4,9 2,5 13,2

Megoldás  Kritikus érték: DF=7-1=6 α=5% χ 2 krit =12,592  Döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték (13,2) nagyobb, mint a kritikus érték (12,592), így a nullhipotézist elutasítjuk, a betörések száma nem diszkrét egyenletes eloszlású. Gazdaságstatisztika

Példa – Feladatgyűjtemény (21.) Egy vállalatnál az átlagos heti túlóra-kifizetéseket vizsgálták. 80 véletlenszerűen kiválasztott dolgozó adatai alapján az átlagos túlóra-kifizetés az alábbi eloszlást mutatja: Leírhatók-e a heti túlóra-kifizetések normális eloszlással? (Legyen a szignifikancia szint 10%) Gazdaságstatisztika Heti túlórabér [font] munkások száma T <  T <  T <  T < < T3

Megoldás  Illeszkedésvizsgálat  Hipotézisek felállítása  H 0 : normális eloszlás N(?;?)  H 1 : nem normális eloszlás  Normális eloszlás paramétereinek becslése: H 0 : a heti túlóra kifizetés N(3,0;2,98) eloszlású H 1 : a heti túlóra kifizetés nem N(3,0;2,98) eloszlású Gazdaságstatisztika Heti túlórabér [font] munkások száma T <  T <  T <  T < < T3 s*=2,98

Megoldás  Kritikus érték meghatározása A becsült paraméterek száma: 2  =0,10DF=r-1-2=5-3=2  2 kr =4,61  Mintavétel, adatfeldolgozás  Elméleti gyakoriságok meghatározása  A próbafüggvény értékének meghatározása Gazdaságstatisztika Heti túlórabér [font] munkások száma (f i ) pipi Elméleti gyakoriságok (F i ) T <  T <  T <  T < < T3

Megoldás Gazdaságstatisztika Heti túlórabér [font] munkások száma (f i ) pipi Elméleti gyakoriságok (F i ) T <  T <  T <  T < < T3 0, ,1155 0,3816 0,2423 0, ,114 9,24 30,53 19,384 0,7312

Megoldás Gazdaságstatisztika Heti túlórabér [font] munkások száma (f i ) pipi Elméleti gyakoriságok (F i ) T <  T <  T <  T < < T3 0, ,1155 0,3816 0,2423 0, ,114 9,24 30,53 19,384 0,7312 0, ,26 6 1,3 Mivel a számított érték (49,622) nagyobb, mint a kritikus érték (4,91), így a nullhipotézist 10%-os szignifikancia szinten elutasítjuk, azaz a túlóra kifizetések nem írhatóak le N(3;2.98) paraméterű normális eloszlással.