Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2005. Információelmélet Nagy Szilvia 7. Lineáris blokk-kódok.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2005. Információelmélet Nagy Szilvia 7. Lineáris blokk-kódok."— Előadás másolata:

1 2005. Információelmélet Nagy Szilvia 7. Lineáris blokk-kódok

2 Széchenyi István Egyetem 2 Blokk-kódok : a tömörített üzenet k hosszúságú blokkjaihoz rendelnek egy- egy n hosszúságú kódszót. (n>k) Lineáris blokk-kódok olyan blokk-kódok, melyekre a kódszavak halmaza lineáris tér: K altere C n -nek. Ha K lineáris tér (k dimenziós), akkor  { g 0, g 1, …, g k  1 } bázisrendszere, és minden c i kódszó kifejthető e bázisrendszer szerint: Lineáris blokk-kódok Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

3 Széchenyi István Egyetem 3 Minden c i kódszó kifejthető a bázisrendszer szerint: Ha a g j -k adottak, akkor a c i -ket jól leírják a kifejtési együtthatóikból álló sorvektorok: A bázisrendszer választása még adott K mellett sem egyértelmű. Más-más bázisrendszerhez más és más együtthatók tartoznak. Lineáris blokk-kódok Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

4 Széchenyi István Egyetem 4 Minden K kódra van egy olyan bázisrendszer, amelyben a b i =(b i0, b i1, …, b i k−1 ) üzenetekhez rendelt kódszó: Példa: legyen a kódszavak K tere az ötdimenziós térnek egy háromdimenziós altere, amelyet a g 0 =( ) g 1 =( ) g 2 =( ) vektorok határoznak meg. Adjuk meg a b =(0 1 1) üzenethez rendelt kódszót. Lineáris blokk-kódok Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

5 Széchenyi István Egyetem 5 g 0 =( ), g 1 =( ), g 2 =( ) A b =(0 1 1) üzenethez rendelt kódszó: Lineáris blokk-kódok Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

6 Széchenyi István Egyetem 6 Generátormátrix A { g 0, g 1, …, g k  1 } bázisvektorokból az alábbi szabály szerint épített G mátrix a kód generátormátrix a: Az üzenet együtthatóiból a G mátrix segítségével megkapható a kódszó: Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

7 Széchenyi István Egyetem 7 Egy sorvektor és egy oszlopvektor skaláris szorzata : A mátrixszorzás: legyen az A mátrixnak ugyanannyi oszlopa, mint amennyi sora van B -nek (j+1 db): Matematikai kitérő – Mátrixszorzásról Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

8 Széchenyi István Egyetem 8 Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok Az A mátrixnak a B -vel vett szorzata: Az A ∙ B m-edik sorának n-edik eleme az A m-edik sorvektorának és B n-edik oszlopvektorának a skalárszorzata. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Matematikai kitérő – Mátrixszorzásról

9 Széchenyi István Egyetem 9 Ha A sorainak a száma nem azonos B oszlopainak a számával, akkor B ∙ A nem értelmezett. Ha B ∙ A értelmezett, többnyire akkor is A ∙ B ≠ B ∙ A. A mátrixszorzás nem kommutatív – nem felcserélhető. Megjegyzés: diadikus szorzat: a b oszlopvektor és a sorvektor diadikus szorzata egy j × j -s mátrix: Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok Matematikai kitérő – Mátrixszorzásról

10 Széchenyi István Egyetem 10 a diagonálisban 1-esek vannak, mindenhol máshol 0-k Egységmátrix : minden A -ra I ∙ A = A ∙ I = A Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok Matematikai kitérő – Mátrixszorzásról

11 Széchenyi István Egyetem 11 Generátormátrix A K kód G generátormátrix a: Összesen k darab bázisvektort választottunk ( g 0, g 1, …, g k  1 -et), ezek jelölik ki a K alteret a C n téren belül: G generálja a kódszavak alterét. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

12 Széchenyi István Egyetem 12 Generátormátrix A k darab választott bázisvektor mindegyike n hosszúságú, ugyanakkor egy k- dimenziós teret írnak le (ehhez k komponens is elég lenne): n−k szimbólum felesleges, redundáns. Ezek a szimbólumok nem tartalmaznak új információt, őket használjuk fel arra, hogy a kódszavak Hamming-távolsága nagy legyen, ők teszik lehetővé a hibajelzést és -javítást. Csatornakódolás során az entrópia csökken. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

13 Széchenyi István Egyetem 13 Példa: legyen a kódszavak K tere az ötdimenziós térnek egy háromdimenziós altere, amelyet a g 0 =( ); g 1 =( ) és g 2 =( ) vektorok határoznak meg. Adjuk meg a generátormátrixsszal a b =(0 1 1) üzenethez rendelt kódszót. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok Generátormátrix

14 Széchenyi István Egyetem 14 Szisztematikus kódok generátormátrixa A szisztematikus kód olyan (n,k) paraméterű kód, amelynek minden kódszavának az első k karaktere megegyezik az üzenettel. A szisztematikus kódok generátormátrixa: üzenetszegmensparitásszegmens Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

15 Széchenyi István Egyetem 15 Paritásmátrix, szindróma A csatorna kimenetén kapott v vektorról el kell dönteni, hogy kódszó-e. Ha a v vektor paritásellenőrző H T mátrixszal (paritásmátrixszal) vett szorzata 0, akkor v kódszó, ha nem, akkor v  K. A v vektor H T paritásmátrixszal vett szorzata a vektor szindrómá ja: A kódszavakra tehát: így Ezt használják fel H T előállítására. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

16 Széchenyi István Egyetem 16 Szisztematikus kódok paritásmátrixa Belátható, hogy P =  P ’: i-edik sorának j-edik eleme: G i-edik sorának első k ele- me I -ből származik, így közülük az i-edik elem 1, a többi 0. Ez a szakasz P ’ j-edik oszlopával szorzódik, az eredmény P’ ij. Paritásmátrixuk szintén egyszerű és a G mátrixból könnyen előállítható: A szisztematikus kódok generátormátrixa egyszerű szerkezetű: Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

17 Széchenyi István Egyetem 17 Szisztematikus kódok paritásmátrixa G i-edik sorának utolsó n  k eleme a H T egy- ségmátrix-részével szorzódik, ahonnan csak a j-edik elem 1, a többi nulla- az eredmény P ij. A teljes eredmény P’ ij + P ij, ami 0, így P’ ij =  P ij Paritásmátrixuk szintén egyszerű és a G mátrixból könnyen előállítható: A szisztematikus kódok generátormátrixa egyszerű szerkezetű: Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

18 Széchenyi István Egyetem 18 Hibavektorok és mellékosztályaik Legyen a vett v vektorunk ahol Δ c a hibavektor. A v szindrómája ekkor ami pont a Δ c szindrómája. A Δ c i hibavektor által a K kódból generált M i mellékosztály azon v k vektorok halmaza, amelyek a c k  K kódszavakból jönnek létre. Az M i mellékosztály összes elemének a szindrómája azonos: megegyezik Δ c i szindrómájával. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok

19 Széchenyi István Egyetem 19 A Δ c i hibavektorok egy része előáll egy másik Δ c j hibavektorból egy kódszó hozzáadásával: Ezeknek a szindrómája és egyben a mellékosztálya azonos lesz. Mivel a mellékosztályok elemei egy hibavektorból a kódszavak hozzáadásával állnak elő, a mellékosztályok tartalmazzák az összes azonos szindrómájú hibamintázatot. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok Hibavektorok és mellékosztályaik

20 Széchenyi István Egyetem 20 A mellékosztályok tartalmazzák az összes azonos szindrómájú hibamintázatot. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok Hibavektorok és mellékosztályaik

21 Széchenyi István Egyetem 21 A v vektorok tehát több Δ c ij -ből is előállnak, más és más c j kódszóból. (Mindig csak egy mellékosztály Δ c ij -iből! A szindróma azonos.) El kell dönteni, melyik kódszóba javítsuk őket. Abba a kódszóba javítjuk v -t, amelyiktől a legkisebb a Hamming- távolsága. Egy a =(a 0, a 1, …, a n  1 ) vektor w( a ) súlya a nem nulla a i komponenseinek a száma. A legkisebb súlyú Δ c ij hibamintázat eredményezi az eredeti c vektortól a legkisebb Hamming-távolságbeli eltérést. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok Hibavektorok és mellékosztályaik

22 Széchenyi István Egyetem 22 A legkisebb súlyú Δ c ij hibamintázat eredményezi az eredeti c vektortól a legkisebb Hamming-távolságbeli eltérést. A v vektor szindrómájához tartozó mellékosztályból a legkisebb súlyút, Δ c ij0 t, vesszük hibavektornak, ezzel javítjuk ki v -t: c becsült = v  Δ c ij0 A mellékosztályok legkisebb súlyú elemeit a mellékosztályok vezető elemei nek nevezik. Információelmélet – Lineáris blokk-kódok Lineáris blokk- kódok Definíció Generátor- mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – H T Mellék- osztályok Hibavektorok és mellékosztályaik


Letölteni ppt "2005. Információelmélet Nagy Szilvia 7. Lineáris blokk-kódok."

Hasonló előadás


Google Hirdetések