Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 1 ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A.

Az előadások a következő témára: "Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 1 ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A."— Előadás másolata:

1 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 1 ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A DERIVE: Nélküle? Vele? (heé, hé, bra, emo, der,1xű) 1.) BME, angol képzés (siker) 2.) BGF, TASSO1: lineáris algebrai feladatok megoldása („első BT-m”) 3.) BGF, TASSO2: GázMat tanulást segítő program fejlesztés: „Elég 1 perc a kudarchoz”, lásd az alantast: HéMaxAlak.dfw beolvasása után #28 Határérték(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1]) #29 Extrémum(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1], []) #30 Konvexitás(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1], []) 3)Érintő PINT HINT ÖDE HÉ EX KV 2) So_Sajat.mth LinearAlgebra.Mth LinaSom.dfw LinaGaussJordan1.dfw LinaTransz1.dfw LinaTransz2.dfw

2 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 2 ÉLŐJÁTÉK/2: ÉN + az EXCELTRANSZ: a „győztes” transzformációs eszköz, l. www.zweigmedia.com 14. sor SorMűveletek 10R1→ Sorműveletek elvégzése → 14. sort szorozza 10-el. 14. sor SorMűveletek R2, 15. sor SorMűveletek R1→ Sorműveletek elvégzése → 14.sor és 15.sor felcserélődik. 15. sor SorMűveletek R2-3R1 → Sorműveletek elvégzése → 15. sorhoz a 14. sor (-3)szorosa adódik. Mj. Hasonló sorműveletek szimultán is végezhetőek.

3 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 33 Logisztikusan a „káoszig”, valamint Barreto „kitűnőségéről” Diaszámok alakulása: 40 ↓ 26 ↑ 26+2 ↑ 26+2+7=33. A teljes helye: www.tasso.hu KKK? a DERIVE a TIÉD! DERIVE program+Kézikönyv+egyebek Letöltési helye: www.bgf.hu / KKK / Bejelentkezés: kkfk \ felhasználó jelszó SZERVEZETI EGYSÉGEK / OKTATÁSI SZERVEZETI EGYSÉGEK / MÓDSZERTANI INTÉZETI TANSZÉKI OSZTÁLY / DOKUMENTUMTÁR / DERIVE stb.

4 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 44 #55: InputMode := Word {menüről} {ODE1Simple.mth beolvasása menüről } > ODE1(x’ = kx(a - x), t = t0, y = x0) {parancssorból egyszerűsítéssel} 1) Folytonos idejű logisztikus egyenlet(ek) és megoldás(uk) (1.1), d.e. folytonos idejű logisztikus egyenlet, k.é.p. problémájának megoldása logisztikus függvény, ahol Kézzel? F1), megoldása DERIVE 6.1-el: {Megoldás menüről x-re nézve:} {utóbbit -vel osztva:}, megoldása, ahol

5 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 55 F2) A,,, megoldása MapleV.5-tel: Mo: > de:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(a-x(t)); > dsolve(de,x(t)); dsolve({de,x(t0)=x0},x(t)); > simplify(%,exp); # a simplify(%,exp) exponenciális típusú egyszerűsítést végez, ahol _C1=c tetsz. k.é.p. megoldása,,

6 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 66 F4) k=0.5, a=4 -re, x(0) = 1, 2.5, 6, 0, 4 grafikus megoldása > restart: a:=4: k:=0.5: with(DEtools): Eq:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(a-x(t)); # egy. > Points:={[0,1],[0,2.5],[0,6],[0,0],[0,4]}: # k.f. > DEplot(Eq,x(t),t=0..2.5,Points,x=-1..6, arrows=slim,linecolour=blue); #mo., ábra Az x(t)=a e.h. aszimptotikusan stabilis az x(t)=0 e.h. helyzet instabilis. - stab. -, úgy a.st. DEplot összevetése dsolve és display-el.

7 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 77 F4) Igazoljuk „elemi módon”, hogy a kezdeti érték probléma rögzített tetszőleges értékére egyértelműen megoldható megfelelő intervallumon és a megoldás: ahol Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az -n a következő esetekben: (x(t) a logisztikus függvény), (e.h.), (e.h.) F5) logisztikus függvény ábrája:

8 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 88 Mivel és, így -ben -nek maximuma van. Állítás. Ha tetszőleges, akkor egyetlen Inflexiós pontja: ahol és Ugyanakkor -nek a helyen abszolút maximuma van és ez Igazoljuk előző állításainkat a Maple program felhasználásával. > restart: x:=a*x0/(x0+(a-x0)*exp(-k*a*(t-t0))): xd:=diff(x,t): # > xdd:=diff(x,t,t): xddd:=diff(x,t,t,t): solve(xdd=0,t): tinf:=expand(%); # > xinf:=subs(t=tinf,x):xinf:=simplify(xinf,ln); # > simplify(subs(t=tinf,xddd)); # > subst(t=tinf,xd); # Mivel és, így valóban inflexiós pont.

9 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 99 2) Diffúziós modell, mint speciális folytonos idejű logisztikus egyenlet A tipikus diffúziós modell (2.1) ahol ─ N(t) a t időpontig egy innovációt ténylegesen elfogadók száma ─ m a potenciális elfogadók maximális száma ─ g(t) a diffúziós együttható ─ dN(t)/dt a a diffúzió terjedési sebessége Szokásos feltétel: Könnyen igazolható, hogy a (2.1) diffúziós modell az (2.2) alakba írható át, ahol F(t)=N(t)/m, a>0, b>0, m>0 és (2.2) az (1.1) szerint vizsgálható, továbbá eredményei visszaszállnak (2.1)-re: N’(t) (penetrációs ráta) maximuma N’(tinf)=(a+b)2m/ (4ab), 0 tinf-re konkáv;

10 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 10 Egyváltozós fázisgörbe

11 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 11 3.) A folytonos idejű logisztikus egyenlet alkalmazása népesség becslésére egy populációs modellben UK népessége 1781-től 1931-ig (millió fő ) Malthus modell: dp/dt=a*p, p(0)=13 Logisztikus növekedési modell: (4.1) (4.2)

12 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 12 > eq1:=24.135=13*a/(13*b+(a-13*b)*exp(-50*a)): > eq2:=34.934=13*a/(13*b+(a-13*b)*exp(-100*a)): > fsolve({eq1,eq2},{a,b},{a=0.02..0.03,b=0.0004..0.0005}); {a =.02038301946, b =.0004360453198}

13 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 13 Ezek szerint az UK népessége 1781-től 1931-ben (millió főben )

14 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 14 4/I. Diszkrét dinamikus rendszerekről. Stabilitás, pókháló diagram, stb. 1. def. elsőrendű diszkrét autonóm dinamikus rendszer 2. def. Ha akkor egyensúlyi helyzet. 3.-5. def. Az egyensúlyi helyzet lehet stabilis, taszító, aszimptotikusan stabilis, ha..

15 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 15 4/II. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal vonzó e.h. taszító e.h.

16 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 16 4/III. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal

17 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 17 megoldása: 4/IV. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal Néhány egyszerű elsőrendű differencia-egyenlet analitikus megoldása: Az és -re az egyetlen egyensúlyi pont. az egyetlen egyensúlyi pont.

18 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 18 4/V. A logisztikus egyenlet diszkrét változata ábrázolása táblázatkezelővel mo. ábrája, ha ábrája ellenében y 0 ↔ $C$7 :0.01, 0.2, 0.3 a ↔ $C$5 b ↔ $C$6 értékeit változtatva a logisztikus görbe di- namikusan változik. ↔

19 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 19 4/VI. Lineáris rekurzív egyenlet megoldásának ábrázolása Maple-lel megoldása -ra a cobweb eljárással: > f:=y->4.5-0.625*y; Egyensúlyi helyzet: > cobweb(f,1,20,0,5);

20 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 20 4/VII. Diszkrét logisztikus egyenlet megoldásának ábrázolása Maple-lel megoldása -ra a definíció alapján: > restart: > t:='t': y:='y': Digits:=4: # Változók törlése, pontosság 4 jegyre állítása > y:=proc(t) option remember; 4.5-0.625*y(t-1) end: # y(t) definiálása > y(0):=1: # y 0 megadása > data:=[seq([t,y(t)],t=0..20)]:# (t,y(t)) pontpárok előáll. > plot(data,colour=black,thickness=2); # ábrázolás > data; [[0, 1], [ 1, 3.875], [ 2, 2.078], [ 3, 3.201], [ 4, 2.499], [ 5, 2.938], [ 6, 2.664], [ 7, 2.835], [ 8, 2.728], [ 9, 2.795], [10, 2.753], [11, 2.779], [12, 2.763], [13, 2.773], [14, 2.767], [15, 2.771], [16, 2.768], [17, 2.770], [18, 2.769], [19, 2.769], [20, 2.769]] Egyensúlyi helyzet:

21 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 21 4/VIII Elaydi a diszkrét dinamikai rendszer egyensúlyi helyzetei stabilitásáról Stabilitási tétel: Jelölje az (6.1) dinamikai rendszer egy egyensúlyi pontját, ahol az f folytonosan differenciálható -ban. Ekkor ÁI. Ha akkor aszimptotikusan stabilis (vonzó) fixpont. (6.2) ÁII. Ha akkor instabilis és taszító fixpont. (6.3) ÁIII.-IV. -re további 5 i=1,2,3 -tól függő elégséges feltételt ad. Feladat. Vizsgáljuk Elaydi-val az alábbi diszkrét logisztikus rendszer stabilitását! (6.4) Az megoldásai az egyensúlyi helyzetek. Instabilis, taszító fixpont; a. stabilis, vonzó fixpont.

22 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 22 4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán, ahol és {1. példa} (4.1) Azt a paraméterértéket, amelyben egy nemlineáris rendszer viselkedése radikáli- san megváltozik, bifurkációs értéknek hívják. A viselkedés aperiodikus, kaotikus. Megjegyzés1. A lineáris rendszer nem kaotikus. Megjegyzés2 ahol m=0,1,2,… tetszőleges.a) Legyen Ekkor a (4.1)-beli ábrája -ra: A)Ábra. A megoldás pályája nagyon gyorsan beáll egy 2 periódusú pályára.

23 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 23 Ha akkor kezdetben van ugyan némi kaotikus viselkedés, de utána a rendszer egy 3 periódusú pályára áll. (Átmeneti káosz.) 4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán, ahol és {2. példa} (4.1) Hommes példája tranziens káoszra:

24 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 24 Egyáltalán nem mutat periodikus jelleget, más szóval aperiodikus vagy kaotikus egyensúlyi helyzetei 4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán, ahol és {3. példa} (4.1)

25 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 25 4/XI logisztikus egyenlet összefoglaló táblázata: Le í r á s é rt é keMegjegyz é sek Stabilit á s v á lt á s 1 Első bifurk á ci ó s pont Az egyens ú lyi pont instabill á v á lik (2- ciklus l é p be) 3 M á sodik bifurk á ci ó s pont pl. 2-ciklus instabill á lesz (4-ciklus l é p fel) 3.44949 4-ciklus instabill á lesz (8-ciklus l é p fel) 3.54409 A 2-ciklusok felső hat á ra (k á osz indul) 3.57 Az első p á ratlan-ciklus megjelen é se 3.6786 3-peri ó dus ú ciklus megjelen é se 3.8284 Kaotikus tartom á ny v é ge 4

26 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 26 4/XII Példák logisztikus egyenlet pókháló diagramjaira 2-ciklus stabil 3-ciklus korlátos befedés „teljes” befedés

27 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 27 4/XIII További példák log. egyenlet kaotikus viselkedésére A -nél valamivel nagyobb értékre a rendszer kaotikus viselkedést mutat: nincsenek szabályos ciklusok és egymáshoz közel induló megoldások is divergálnak egymástól mintegy tíz periódus után.

28 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 28 4/XIV További példák log. egyenlet kaotikus viselkedésére Baumol és Benhabib (1989-es) példája: A rendszer kaotikus, de nem teljesen random, hirtelen változások jellemzik, és bár majdnem vízszintes lesz, utána újra oszcillálni kezd.

29 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 29 +/1 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o./57m.f. / 123lap)

30 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 30 +/2 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. / 57mf / 123lap) Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xls Bevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázá / Szubvenciók / Kérdés&Válasz

31 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 31 +/3 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. / 57mf / 123lap) Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xls Bevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázá / Szubvenciók / Kérdés&Válasz

32 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 32 +/4 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. /57mf / 123 lap) Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xls Bevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázás / Szubvenciók / Kérdés&Válasz

33 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 33 +/5 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600.o. / 57mf/ 123lap) Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xls Bevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázás / Szubvenciók / Kérdés&Válasz

34 Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14. 34 Irodalomjegyzék: 1) Ronald Shone: An Introduction to Economic Dynamics, 2001, Cambridge University Press. (237 oldal fejezetenként 5 gyakorló feladattal és a web-en fejezetenként 10 feladat a diákoknak, további tíz az oktatóknak, összesen mintegy 250 feladat és a megoldásuk is meg van adva Microsoft Excelben is.) 2) Л. С. Понтрягин: Обыкновенные дифференциалъные уравнения, 1965, Издателъство Наука, Москва 3) Ronald Shone: Economic Dynamics Phase Diagrams and Their Economic Application, second edition, 2002, (724 oldal, a Maple 6 és Mathematica 4 alkalmazások forrásszinten elérhetők a web-en.) 4) Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Microsoft Excel, 2009, Cambridge University Press. (594 oldal, az Excel fájlok elérhetőek a Web-en.) 5) Kurt Jechlitschka, Dieter Kirschke and Gerald Schwarz: Microeconomics using Excel: Integrating Economic Theory, Policy Analysis and Spreadsheet Modelling, 2007, Routledge (240 oldal) Gracias Humberto (nacido en Cuba); thanks Ronald Shone; спасибо С.А.Ломов; danke Kurt Jechlitschka; köszönet Kary Atida magát tartó Köszönöm megtisztelő figyelmüket!