Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Bevezetés a matematikába I Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.hu  A tanszék munkatársai  Farkas Gábor  Segédanyagok e-mail:

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Bevezetés a matematikába I Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.hu  A tanszék munkatársai  Farkas Gábor  Segédanyagok e-mail:"— Előadás másolata:

1 Bevezetés a matematikába I Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.hu  A tanszék munkatársai  Farkas Gábor  Segédanyagok Budapest ősz Előadó 1

2 Ajánlott irodalom Bevezetés a matematikába szerkesztette: Járai Antal szerzők: Farkas Gábor, Fülöp Ágnes, Gonda János Járai Antal, Kovács Attila, Láng Csabáné Székely Jenő ELTE Eötvös Kiadó ISBN

3 1.1 Logikai alapok Alapfogalmak: kijelentés (ítélet)igazságérték (i, h) predikátum (logikai változót tartalmazó definiálatlan alapfogalom) logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok) logikai jelek (műveletek) (precedencia) ¬, , , ,  elemi formula Hogyan definiálhatnánk a formulákat? 3 kvantorok: , 

4 4 Igazságtáblázat A AA ih hi AB ABAB iii ihh hih hhh AB ABAB iii ihi hii hhh AB ABAB iii ihh hii hhi AB ABAB iii ihh hih hhi

5 5 kvantor hatásköre Def. (logikai formulák (logikai kifejezések, mondatok)) Ha A, B formula, akkor ¬A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B), továbbá (  xA) és (  xA) formulák. kötött és szabad előfordulás szabad változó (  szabad előfordulása) Formulán belül: zárt formula: nincs benne szabad előfordulás (kül. nyílt formula)

6 6 alkalmas helyettesítéssel adhat igaz értéket tétel (tautológia) : kielégíthető formula: mindig igaz értéket adó formulák 1. A  ¬A (kizárt harmadik) 2. ¬(A  ¬A) (ellentmondás) 3. ¬(¬A)  A (kettős tagadás) 4. ¬(A  B)  ¬A  ¬B (De Morgan) 6. A  B  ¬B  ¬A (kontrapozíció) 7. A  (A  B)  B (modus ponens) 5. ¬(A  B)  ¬A  ¬B (De Morgan)

7 7 8. ¬  x P(x)   x ¬P(x) 9. ¬  x P(x)   x ¬P(x)11.  x  y P(x,y)   y  x P(x,y) 10.  x  y P(x,y)   y  x P(x,y) axiómák bizonyítás (levezetés) ellentmondásmentesség teljesség (  tétel levezethető axiómákból) függetlenség (axiómák nem vezethetők le egymásból) direkt, indirekt bizonyítás ellenpélda szükséges, elégséges feltételteljes indukció

8 8 Példa x pont z egyenes x illeszkedik z -re

9 Példa 9 N(x) : x nő G(x,y) : x gyereke y -nak definíció új predikátum axióma tételek predikátum (*) unoka

10 10 tétel, bizonyítása indirekt módon Tfh  xU(x, x)   z(G(x, z)  G(z, x)) (*) Bizonyítsuk be, hogy nem lehet senki a saját unokája.

11 1.2 Halmazelméleti alapfogalmak 11 A halmazelmélet predikátumai: „halmaznak lenni” és „eleme”. A:= { felsorolás} A:= { x  B | F(x) }A:= { x  B : F(x) } Naív és axiomatikus halmazelmélet

12 12 Jelölés! részhalmaz , valódi részhalmaz  (vagy részhalmaz , valódi részhalmaz  ) A  B   x (x  A  x  B) A  B   x (x  A  x  B)   y (y  A  y  B)

13 13 Miért van szükség a részhalmaz axiómára? Legyen A tetszőleges halmaz és B  A   B  A Russel-paradoxon Az üres halmaz létezését is axióma biztosítja. Jel: 

14 14 Def.(Metszetképzés) Def. (Unióképzés)

15 15

16 16 Különbség A \ B = { x  A | x  B } Szimmetrikus differencia A Δ B = { x | x  A \ B  x  B \ A }= ={ x  A  B | x  A  B } Ha X halmaz és A  X, akkor A halmaz X –re vonatkozó komplementere A’ = X \ A

17

18 18 Def. Ha A halmaz, akkor azt a halmazt, amelynek elemei A részhalmazai, A hatványhalmazának nevezzük


Letölteni ppt "Bevezetés a matematikába I Farkas Gábor ELTE IK Komputeralgebra Tanszék compalg.inf.elte.hu  A tanszék munkatársai  Farkas Gábor  Segédanyagok e-mail:"

Hasonló előadás


Google Hirdetések