Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Mintavételi gyakoriság megválasztása Ha a cél: Átlag (középérték) meghatározása Trend detektálása Folytonos idősor visszaállítása.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Mintavételi gyakoriság megválasztása Ha a cél: Átlag (középérték) meghatározása Trend detektálása Folytonos idősor visszaállítása."— Előadás másolata:

1 Mintavételi gyakoriság megválasztása Ha a cél: Átlag (középérték) meghatározása Trend detektálása Folytonos idősor visszaállítása

2 Átlag becslése Mintanagyság meghatározása átlagbecsléshez egyszerű véletlen mintánál: N = a sokaság elemszáma n = a minta elemszáma σ = sokasági szórás  : a maximális hiba (hibahatár) vagy Autokorrelált (nem független) mintáknál: N → N* és σ → σ*

3 Autokorreláció Általános (k lépés): Autokorrelációs tényező ( x(t) idősor, várható érték): Egy idősor jelenlegi és későbbi értékei közötti kapcsolat mértékét fejezi ki, Idősoron belüli kapcsolat szorosságát jellemzi, Egy idősor autokorreláció függvénye a  = 0.. n értékekhez tartozó r  autokorreláció tényezőkből áll. Autokorrelációs függvény:

4 Tipikus autokorreláció függvények Véletlenszerű (normális eloszlású független sorozat) Autokorrelált (véletlen sorozat mozgóátlaga) Periodikus (szinusz függvény, zajmentes)

5 Fehér zaj autokorreláció függvénye: Egy x t gaussi fehérzaj folyamat autokorreláció függvénye a Dirac- féle egységugrás függvény. if(t==0) r[t]=1; else r[t]=0; Egy valós fehérzaj folyamat autokorreláció függvénye csak a 0 helyen lép ki az Anderson-féle konfidencia intervallumból. Fehérzaj: Az x t stacionárius sztochasztikus folyamat gaussi fehérzaj, ha minden t-re standard normális eloszlású. Az x t sztochasztikus folyamat akkor stacionárius, ha az x t ( t  [ t 1 ; t 2 ]  T ) eloszlása független a [ t 1 ; t 2 ] kiválasztásától.

6 Autokorrelációs függvény

7 Autokorrelációs függvény

8 Autokorreláció figyelembe vétele a mintavételezésnél Az idősor elemei nem függetlenek Az észlelési adatok száma (elemszám, N) helyettesítendő N*-gal: ahol r(t) a t eltolású autokorrelációs tényező A szórás számítása: Vagyis, az effektív mintaszám egymástól nem független megfigyelési adatok esetén (Bayley & Hammersley, 1946): N* = N σ / σ*

9 Lettenmaier (1976) egylépéses autoregresszív modellel meghatározta az n és n* közötti összefüggést: Ahol: n a mintaszám, k a mintavételek közti intervallum, ρ az autokorrelációs tényező nkρ= 0,9ρ= 0,7ρ= 0,5ρ= 0,3ρ= 0, Effektív mintaszám (n*) az autokorrelációtól függően: n* < n

10 ρ =0 ρ =0.3 ρ =0.5 ρ =0.7 nS n /S 1 n*S n /S 1 n*S n /S 1 n*S n /S ,01971,01221,0651,0 1831,41531,11101,1631,0 1221,71161,3951,1601,0 912,0901,5801,2561,1 732,2731,6691,3521,1 612,4611,8591,4481,2 522,6521,9511,5441,2 263,7262,8262,2261,6 125,5124,1123,2122,3 Éves átlag becslésére vonatkozó standard hiba változása az effektív mintaszámtól függően, független és autokorrelált adatsor esetén n - mintaszám, n* - effektív mintaszám, ρ - autokorrelációs tényező, S 1 – éves átlag standard hibája n=365 mérési adatból, S n – éves átlag standard hibája n (n*) mérési adatból

11 Trend detektálásához szükséges adatszám Lettenmaier (1976), Somlyódy et al. (1986) t r = N*t 0 lépésköz, illetve lineáris trendnél a növekmény: A trend detektálásának erőssége: szórás

12 Nyquist intervallum: Maximális időintervallum, mely esetén egyenlő időközönkénti mintavétellel a jel meghatározható. A mintában szereplő jel legmagasabb frekvenciájú összetevője kétszeresének a reciproka. folytonos jel, a jel Fourier transzformáltja: A jel sávszélessége (B), ahol Mintavételi frekvencia (határfrekvencia): Mintavételi időköz: Nyquist tétele: Egy adott, frekvenciakorlátos spektrumú, folytonos idősor, amely az fk határfrekvencián túl nem tartalmaz spekrtális összetevőket, egyértelműen visszaállítható a  t=fk/2 intervallumnál kisebb mintavételezési idejű diszkrét idősorból (Szőlősi-Nagy, 1976). A határfrekvencia (spektrumfüggvény) az idősor autokorreláció függvényének Fourier transzformáltjából állítható elő. Folytonos idősor előállítása diszkrét észlelésekből

13 Trend detektálásához szükséges adatszám ( független minták száma az N 0 időtartam alatt) lépésköz (intervallum) autokorrelációs tényező Lettenmaier (1976), Somlyódy et al. (1986) szórás

14 Idősorok elemzése Determinisztikus és sztochasztikus komponensek, előrejelzés autoregresszív modellel Forrás: Hidrológia II HEFOP oktatási segédanyag (www.vit.bme.hu)

15 Y(i) = T(i) + P(i) + A(i) Idősorok felbontása: T(i) trend komponens P(i)periodikus tag A(i)maradéktag determinisztikus sztochasztikus (autoregresszív és véletlen)

16 Lineáris: T(i)=a 0 + a 1 i Nem lineáris: T(i)=a 0 + a 1 i + a 2 i 2 + … + a n i n Trendszámítás Lineáris trend:

17

18 A trendvonal egyenlete: Példa: vízminőségi trend számítás Évszámc [mg/l]t [év]c i -c átlag t i -t átlag (c i -c átlag ) 2 (t i -t átlag ) 2 (c i -c átlag )  (t i -t átlag ) … ,3 12,7 …. 1 2 …. 10 +/- értékeket kapunk +/- értékeket kapunk c átlag =t átlag =  = =  = =  = = Segédtáblázat:

19 A trend mértéke: P < 3 %/évkismértékű 3 < P < 7 %/évnagymértékű 7 < P < 15 %/évigen nagymértékű P > 15 %/évrendkívül nagymértékű -1.8 % /év+1.6 % /év

20 Reziduális szórás (abszolút hiba) kifejezi, hogy a regressziós becslések átlagosan mennyivel térnek el az y megfigyelt értékeitől. Relatív szórás (relatív hiba) kifejezi, hogy a regressziós becslések átlagosan hány %-al térnek el az y megfigyelt értékeitől. Pearson-féle lineáris korrelációs együttható: Kovariancia Determinációs együttható: Ellenőrzés (regresszió számításból):

21 A trend mértéke: P < 3 %/évkismértékű 3 < P < 7 %/évnagymértékű 7 < P < 15 %/évigen nagymértékű P > 15 %/évrendkívül nagymértékű -1.8 % /év → dC = / 10év+1.6 % /év → dC = 0.1 / 10év D = r 2 = 0.25, S e = 0.46(dC = -0.82)D = r 2 = 0.12, S e = 0.16 (dC = 0.1)

22 Power trend Általános formula: Linearizált: Szórás (hiba):

23 Periodikus komponens meghatározása

24

25 Sztochasztikus összetevők Autoregresszív komponens Véletlen tag (zaj)

26 Egylépéses autokorrelációs tényező Egylépéses AR modell: Kétlépéses AR modell:

27 ARMA ( p, q ) : AR ( p ) : MA ( q ) : AR, MA és ARMA modellek Stacionárius folyamat (kritériumok: állandó átlag és szórás) leírására szolgálnak. Az idősor z t aktuális eleme az előző elemek (AR) illetve az a normális eloszlású véletlen sorozat előző tagjainak (MA) lineáris kombinációjaként számítható ki. Az AR(0) modellt fehér zaj modellnek is nevezik :

28 Előrejelzés idősor modellekkel

29 Thomas-Fiering modell (Balaton természetes vízkészlet változásának előrejelzése)


Letölteni ppt "Mintavételi gyakoriság megválasztása Ha a cél: Átlag (középérték) meghatározása Trend detektálása Folytonos idősor visszaállítása."

Hasonló előadás


Google Hirdetések