Rendszertechnika Fejezetek a Bsc hallgatók számára 2015 1.

Az előadások a következő témára: "Rendszertechnika Fejezetek a Bsc hallgatók számára 2015 1."— Előadás másolata:

1 Rendszertechnika Fejezetek a Bsc hallgatók számára 2015 1

2 A rendszertechnika tananyag elvi célja az, hogy különböző fizikai jelenségeket, műszaki objektumok működését egy egységesített matematikai eszköztárral írja le. A működésbeli hasonlóságok alapján a fizikai jelenségek és a műszaki objektumok a konkrét megjelenésüktől függetlenül kategorizálhatók, és a teljesen eltérő fizikai jelenségeknek, műszaki objektumok működésének akár passzív elemzésekor vagy akár a működés aktív szabályozásakor a konkrét objektumtól független, általános matematikai módszerek lesznek alkalmazhatók. A tárgy nehézségei: a rendszertechnika tantárgy a mérnöki tantárgyak közé tartozik, de közel áll a matematika tantárgyhoz, mivel a legtöbb mérnöki tantárgynál jelentősebb absztrakciót igényel. Egy jelentős szemléletváltásnak lehetünk tanúi. Korábban egy probléma egzakt megoldásának azt tekintettük, ha matematikailag zárt alakú megoldást tudtunk előállítani. Napjainkban a mérnöki területen egyre nagyobb szerepet játszanak a numerikus módszerek és egyre kevésbé törekszünk az analitikus megoldásokra. Egyre inkább elfogadott, hogy egy rendszer működőképességét numerikus szimuláció igazolja. Ma már természetes, hogy egy összetett új berendezés tervezése a szimulációs modell elkészítésével kezdődik. Bármiféle hardver megépítésére csak akkor gondolunk, ha a szimuláció biztató eredményeket mutat. 2

3 Rendszertechnikai alapok (válogatás Pokorádi L. műveiből) Napjaink mérnöki tudományában egyre nagyobb szerepet kap a rendszertechnika alkalmazása, amely bonyolult, integrált rendszerek struktúrájával és a bennük lejátszódó folyamatok többszempontú vizsgálatával foglalkozik. Rendszereket a tudomány jóformán minden területén lehet értelmezni. A bonyolult rendszerekkel kapcsolatos problémák megoldásában nagymértékben segítenek a korszerű rendszerelmélet rendező elvei. A rendszerelmélet – egyes szakemberek szerint, tehát más megfogalmazások mellett –különféle matematikai módszerek gyűjteménye, melyek segítségével a rendszerek elemezhetők. Ezt a gyűjteményt főként a differencia- és differenciálegyenletek, az irányításelmélet, az információelmélet, a matematikai programozás, a dinamikus programozás, a variációszámítás, az alkalmazott mechanika, a dinamikus rendszerek elmélete, a funkcionálanalízis, a valószínűségelmélet, a játékelmélet területéről állították össze, de természetesen más matematikai ágak is helyet kapnak benne. 3

4 ZADEH véleménye szerint a rendszerelmélet, mint tudományág, elvileg két nagyobb részre osztható fel. Az első rész az alap, amely főleg az olyan alapvető fogalmak, mint rendszer, állapot, linearitás, kauzalitás, passzivitás, meghatározottság, ekvivalencia, stabilitás, vezérelhetőség (irányíthatóság), megfigyelhetőség jelentésének definiálásával és az ezekkel kapcsolatos más fogalmakkal, valamint a definiált fogalmak alapvető tulajdonságainak vizsgálatával foglalkozik. 4

5 A második részbe azokat a különböző módszereket, eljárásokat és algoritmusokat sorolja Zadeh, amelyekkel az egyes speciális rendszertípusok, mint: differenciálegyenlettel leírt rendszerek, véges állapotú rendszerek, modulrendszerek, sztochasztikus rendszerek, tanulórendszerek, osztott paraméterű rendszerek, nagyméretű rendszerek viselkedése tanulmányozható. De, mit is értsünk rendszeren? Gyakorlati szempontból egy rendszer lehet egy adott fizikai objektumnak egy lehetséges modellje, amely az úgynevezett fizikai változók segítségével írható le. 5

6 A „fizikai” fogalmán itt a „valóságos”-t értjük. Tartalma lehet a szó szoros értelmében vett fizikai, vagy kémiai, vagy gazdasági, esetleg más jellemző, illetve lehet ezek kombinációja is. Ezen mennyiségek, változók némelyike adottnak tekinthető: ezek lehetnek a bemenetek (bemenő jelek, gerjesztések, „inputok”). A változók másik csoportja, melyeket viselkedését elemzéseink során, a bemenőjelek alkalmazásával meg akarjuk határozni, a kimenetek (kimenőjelek„ outputok”). A változók egy harmadik csoportját pedig azért vezetjük be, hogy le tudjuk írni a be- és kimenőjelek, másként a gerjesztések és válaszok közti kapcsolatot vagy kapcsolatokat. Ez a változó, mint tulajdonság a rendszerre lesz jellemző. A folyamat a rendszeren belül lejátszódó jelenségek térbeli és/vagy időbeli sorozata. 6

7 Pokorádi terminológia-elemzései: ZADEH szerint a rendszert úgy definiálhatjuk, mint olyan objektumok összessége, amelyeket kölcsönhatások és kölcsönös összefüggések kapcsolnak össze. Ebben a megfogalmazásban az is benne rejlik, hogy majdnem minden, ami létezik, valamilyen (adottságú, tulajdonságú) kisebb vagy nagyobb rendszernek tekinthető (pl. fékező jármű, amint az általa is tovább gyűrt aszfalton halad – az útpálya szerkezete is része a jármű-talaj rendszernek). Nem egészen ennyire elterjedt, de ennek ellenére szintén alapvető fogalom a rendszer állapota. Első megközelítésben a rendszer állapota az egy adott időpontban megadott információk összességét jelenti, amely ettől az időponttól kezdve a rendszer viselkedésének meghatározásához szükséges. 7

8 Így például a kinematikában a szilárd test állapotát egyenes vonalú mozgás esetén helyzete és sebessége adja meg. FODOR könyvében úgy fogalmaz, hogy egy rendszer az adott fizikai objektum egy modellje, amely az úgynevezett fizikai változók segítségével írható le. A „fizikai” jelző itt azt jelenti, hogy „valóságos”; a konkrét tartalom lehet fizikai, kémiai, gazdasági, stb. vagy ezek keveréke. Legtöbb rendszervizsgálatban, amelyeknél az egyes rendszerelemeket vagy rész-rendszereket csak matematikailag leírt tulajdonságaikkal jelöljük: a rendszer egy transzformációt jelentő, másként jel-átalakító tulajdonságú valós eszközt leképező elvont fogalom, absztrakció, amely adottnak tekintett bemenőjelekhez, másként gerjesztésekhez meghatározott válaszokat rendel. (56. oldal ábrája) 8

9 A fenti megfogalmazásokból talán hiányzik, vagy nem kellő hangsúllyal jelenik meg a technikai rendszerek egyik, talán a legfontosabb eleme - az ember. Egy tisztán technikai rendszer a valóságban többnyire az emberrel együtt működik, így nem volna szabad a teljes ember-gép rendszerből az embert nem megemlíteni. Például a repülőgép-vezetőt a repülésszabályozó (-irányító) rendszer például arányos–differenciáló–holtidős tulajdonságaival leírható tagjaként, rendszer- elemeként is tekinthetjük, és elemzés során meghatározhatjuk a repülésbiztonság szempontjából kritikus paramétereket, melyek a rendszerben a pilóta emberi (fiziológiai) mivoltának következményei – tehát akár az ember is matematikailag követhető része lehet egy rendszernek. 9

10 Ez a rendszerfelépítési mód ugyanakkor lehetőséget adhat a pilóta bármely más emberi tulajdonságának figyelembevételére, amennyiben azoknak hatásai, következményei a felsorolt szabályozási tulajdonságokban számszerűsíthetőek. Például a pilóta, autóvezető stb. bármely ok miatti dekoncentráltsága véletlenszerűen megjelenő figyelemkihagyásokat, reakciókészség-változásokat eredményezhet, amelyek miatt a normális és begyakorolt mozdulatainak időfüggvényei megváltoznak, és megváltoztatják, negatív módon befolyásolják a kormányzási folyamatot. Ezek a változások speciálisan a pilóták esetében jelrögzítésre is kerülnek, és arról könnyen vihetők át egy modellezett vizsgálatra, bemenőjel-függvényként. 10

11 A fenti megfogalmazások, valamint egyéni megfontolások alapján a rendszer egy lehetséges fogalma az alábbiak szerint ( is ) határozható meg: rendszer az anyagi világ vizsgálatunk tárgyát képező része, mely egymással valamilyen kölcsönhatásban lévő elemek (berendezések és személyek) összessége. A rendszer állapota, illetve a benne lejátszódó folyamat a be- és a kimenő, valamint a belső jellemzőkkel írható le. A környezet kölcsönhatásban lehet a rendszerrel és ekkor meghatározza a rendszer működésének peremfeltételeit. (pl. hőmérséklet változás hatása a jármű egységeinek: motor, gumik, lengéscsillapítók működésére, továbbá kapcsolatára a talajjal) 11

12 A JELLEMEZŐK TÉRBELI ÉS IDŐBENI VÁLTOZÁSA A fizikai jellemzők általában — az esetleges különleges tartományoktól eltekintve — a térben folytonosan oszlanak meg. Az ilyen térbeli megoszlásokat gyűjtőnéven fizikai tereknek nevezzük. A fizikai jellemzők részben skaláris (például nyomás), részben vektoriális (például gyorsulás) jellegűek. Jellemzők és jelek A rendszerekben lejátszódó folyamatok mérhető mennyiségeit fizikai mennyiségeknek nevezzük, melyek nemcsak fizikai, hanem kémiai, biológiai, technikai vagy gazdasági folyamatokat is jellemezhetnek. 12

13 A további vizsgálataink során gyakran nem is foglalkozunk a mennyiség valódi, csak annak absztrakt (matematikai) tartalmával. Egy változó valamely fizikai mennyiségnek egy alkalmas mértékegységben kifejezett számértékét jelenti. Egy változó: egy fizikai mennyiség matematikai megjelenítése, leírása. A tulajdonságot kifejező jellemzők általában egyértékűek, idetartoznak a különböző geometriai adatok, valamint az anyagjellemzők, úgy, mint például a viszkozitás, villamos vezetőképesség vagy a fajhő. Fizikai állapoton az anyagi rendszer sajátosságainak – fizikai jellemzőinek – összességét értjük. Két elemi rendszer fizikai állapota azonos, ha a megfelelő fizikai jellemzőik értéke az adott időpillanatban páronként egymással megegyeznek. 13

14 A fentiek alapján kijelenthető, hogy az ilyen fizikai jellemzők értékei - csakis attól az állapottól függenek, amelyben - a vizsgált időpontban - az elemi rendszer található, - és függetlenek attól a folyamattól, amelyen keresztül az elemi rendszer az adott állapotba jutott. Ezért a fizikai jellemzőket állapotjelzőknek is nevezhetjük. Rendszerek hierarchikus felosztása Vizsgálataink során az adott rendszert első lépésben összetevőkre bonthatjuk. Ezeket részrendszereknek vagy alrendszereknek is szokás nevezni. Ezeket az összetevőket tovább bontva jutunk a rendszerelemekhez, melyeket már nem bontunk tovább. Fontos itt megjegyeznünk, hogy vizsgált rendszer összetevői többnyire elemként vagy részrendszerként egyaránt felfoghatók. Mindig a feladat jellege, az elemzés mélysége dönti el, hogy mely összetevőt célszerű elemként, illetve al-, vagy részrendszerként kezelnünk. 14

15 A rendszer egymás utáni, mind mélyebbre haladó felbontása során lényegében az egymást tartalmazó részek szintjeit, azaz a rendszer vertikális tagozódását, hierachiáját határozzuk meg. A hierachia a rendszer vertikális és horizontális tagozódását fejezi ki. A rendszerszintek a vertikális tagozódást jelentik, a rendszer kiterjedése pedig a horizontális elrendeződés szemléltetésére alkalmas. Részrendszer fogalmán a vizsgált rendszer olyan – egymással kapcsolatban álló elemeiből álló, és elhatárolható – részét értjük, amely a vizsgálati cél szempontjából relatíve önálló egészet alkot. Alrendszer fogalmán a rendszer olyan részrendszerét értjük, amely a rendszer egy-egy meghatározott funkciójának vagy funkciótartományának ellátására szolgáló elemeket foglalja magában. 15

16 Egy nagyon összetett rendszer: a Föld körül keringő űrteleszkóp Űrsikló rajza a 18 m-es robotkarral és a 4,4 m átmérőjű és 12 t-ás Hubble űrtávcsővel, annak útrabocsátásakor és javításaikor 16

17 The Hubble Space Telescope: An Overview An orbiting telescope that collects light from celestial objects in visible, ultraviolet, and near-infrared wavelengths Launched 24 April 1990 aboard the Space Shuttle Discovery Dimensions: Cylindrical 24,500 lb (11,110-kg), 43 ft long (13.1 m ) and 14.1 ft (4.3m) wide Orbital period: 96 minutes Primarily powered by the sunlight collected by its two solar arrays The telescope’s primary mirror is 2.4 m (8 ft) in diameter Was created by NASA with substantial and continuing participation by ESA Operated by the Space Telescope Science Institute (STSI) in Baltimore, MD Named for Edwin Powell Hubble Reference: Image and data: STSI (www.hubblesite.org) "The Hubble Space Telescope is the most productive telescope since Galileo's" - Robert Kirshner, President of the American Astronomical Society

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

25 A major problem for NASA and its contractors was the means to guide and stabilize the telescope. If the completed telescope was to perform to the negotiated requirements, it would have to be capable of being aimed at an astronomical target with a pointing stability of 0.005 seconds of arc, an angle on the sky about 360,000 times smaller than the angle that is subtended by the diameter of the full moon. So taxing was this requirement that it was widely viewed in NASA and outside as the most difficult technical challenge the designers and builders had to overcome. The telescope not only had to be pointed extremely accurately, means also had to be devised to keep it locked on its astronomical targets. This task was crucial because there would inevitably be tiny disturbances that would act to move the spacecraft away from its targets, disturbances known as "jitter". Jitter might arise from the motions of the gyroscopes in pointing, for example. Should the entire spacecraft be moved if small corrections in its position were needed (a method known as body pointing)? Or should the secondary mirror of the Large Space Telescope be shifted to compensate for the spacecraft's minor motions (a method known as image motion compensation)? Hubble Technology The Most Difficult Technical Challenge – Pointing Control System The Problem:

26 26 Lendkerék-motor. 4 db. Reakciónyomatékukkal fordítják el és fékezik le az űrtávcsövet, bonyolult szoftveres irányítással

27 Reaction Wheel Actuators (4) The reaction wheels work by rotating a large flywheel up to 3000 rpm or braking it to exchange momentum with the spacecraft which will make Hubble turn. Magnetic Torquers (4) The torquers are used primarily to manage reaction wheel speed. Reacting against Earth's magnetic field, the torquers reduce the reaction wheel speed, thus managing angular momentum. (Ezek itt nincsenek ábrázolva) Hubble Technology Actuators

28 Hubble Technology Actuators

29 The Pointing Control System (PCS) aligns Hubble so that the telescope points to and remains locked on a target. The PCS is designed for pointing to within.01 arcsec and is capable of holding a target for up to 24 hours while Hubble continues to orbit the Earth at 17,500 mph. If the telescope were in Los Angeles, it could hold a beam of light on a dime in San Francisco without the beam straying from the coin's diameter. Hubble Technology Pointing Control System

30 30

31 31

32 32

33 33

34 Toyota Prius hajtásrendszerének Matlab-modellje és rész-modelljei 34

35 A villamos (-gépek és akkumulátor) alrendszer 35

36 Az energiairányítás modellje 36

37 Az ún. hibrid menedzsment feladatai 37

38 Az akkutelep által fogadható teljesítmény irányítási modellje 38

39 A belsőégésű motor irányítási modellje 39

40 Alacsonyabb fokú rendszer fogalmán a rendszer olyan részrendszerét értjük, amely a rendszer feladatainak ellátásában működésterületileg elhatároltan vesz részt. Rendszer egy elemén az elemzett rendszer olyan részét értjük, melyet – adott vizsgálatunk során – már nem bontunk tovább. Fontos megjegyeznünk, hogy amennyiben egy adott rendszer valamely alrendszere kiesik, akkorjellemzően a hozzá rendelhető valamennyi alacsonyabb fokú rendszer is működésképtelenné válik. Megfordítva ez nem igaz, tehát egyes alacsonyabb fokú rendszerek kiesése nem feltétlenül vonja maga után a kapcsolódó alrendszerek működésképtelenségét. Valós fizikai rendszer fogalma: Valós fizikai rendszer egy olyan fizikai objektum, amely mérhető külső kényszer hatására mérhető módon megváltozik. 40

41 Számos esetben találkozunk olyan műszaki problémával, ahol van valamilyen külső kényszer és ennek hatására valami megváltozik. A későbbi szóhasználat egyszerűsítésére bevezetjük a „valós fizikai rendszer” fogalmát: ez egy olyan fizikai objektum, amely mérhető külső kényszer hatására mérhető módon megváltozik : E tananyag fókuszában tulajdonképpen az áll, hogy miként is lehet a valós fizikai rendszereket matematikailag leírni. 41

42 A műszaki életben előforduló valós fizikai rendszereket többféle szempont szerint lehet kategóriákba sorolni, és egy valós fizikai rendszernek többféle matematikai leírása is létezhet. A megfelelő leírási mód nemcsak magán a valós fizikai rendszeren múlik, hanem függ a vizsgálat tárgyától is. Például nem mindegy, hogy a valós fizikai rendszer változási folyamataira (tranziens viselkedésére) vagy csak a végállapotára (állandósult állapotára) vagyunk-e kíváncsiak. Ugyanazon valós fizikai rendszer esetén más-más matematikai eszközt használhatunk e két különböző vizsgálatra. Ezért nagyon fontos, hogy a mérnöki munkában először a vizsgálat tárgyát és célját pontosan definiáljuk, és csak utána válasszunk (alkalmasnak látszó) matematikai eszközt a probléma elemzésére és megoldására. 42

43 A JEL A jel egy változó fizikai mennyiségnek az absztrakt információ tartalma. A jel, mint egy változó fizikai mennyiség absztrakt információtartalma, jellemzően egy időfüggvény. A be- és kimenetek fogalma A valós fizikai rendszerre ható és időben változni képes kényszerítő hatásokat nevezzük fizikai bemeneteknek. A fizikai bemenetekhez tartozó jelet (a bemenőjelet) gerjesztésnek is nevezzük. Az előbbi felosztásnak megfelelően a gerjesztéseken belül megkülönböztethetünk beavatkozó és zavaró jelet. Ez utóbbiról sokszor nincs pontos információnk, de valós fizikai rendszereknél ezzel mindig számolni kell. A valós fizikai rendszernek a fizikai kényszerek hatására bekövetkező bármely mérhető változása lehet fizikai kimenet, ezek közül azt tekintjük fizikai kimenetnek, amelyet az adott vizsgálatban közvetlenül vagy közvetve mérünk. 43

44 Szokásosan a bemenő jelet az u, míg a zavaró jelet (az angol disturbance után) a d betű jelöli. A fizikai be- és kimenetek meghatározása nem mindig triviális, ezért bármilyen vizsgálatot ezek pontos elemzésével illetve definiálásával kell kezdeni. A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy milyen matematikai kapcsolat adható meg a bemenetek és a kimenetek között. A rendszer általános grafikai jele 44

45 A rendszereket szokás a be- és kimenetek száma szerint csoportosítani. A klasszikus szabályozástechnikában elsősorban egy bemenetű, egy kimenetű rendszerekkel (angolul Single Input Single Output SISO) találkozunk. A modern irányítás- (szabályozás-) elmélet foglalkozik több bemenetű több kimenetű rendszerekkel (angolul Multiple Input Multiple Output MIMO). Természetesen beszélhetünk egy bemenetű több kimenetű (SIMO), és több bemenetű egy kimenetű (MISO) rendszerekről is. 45

46 Lineáris és nemlineáris rendszerek fogalma A lineáris rendszerek egyik, talán legfontosabb tulajdonsága, amely egyben definícióként is használható, hogy érvényes rájuk a szuperpozíció elve. Általánosan, egy tetszőleges rendszerre vonatkozóan a linearitás annyit jelent, hogy ha kétszerezzük a rendszerre ható gerjesztést, pl. λ 1 =2, akkor a rendszernek a gerjesztésre adott válaszjele is kétszereződik. Másképpen fogalmazva, ha két gerjesztés egyszerre hat, akkor a rendszernek az ezekre adott eredő válasza egyenlő az egy-egy gerjesztésre külön-külön adott válaszok összegével. 46

47 A lineáris rendszerek matematikailag sokkal könnyebben kezelhetők, mint a nemlineáris rendszerek. Kézenfekvő, hogy a lineáris rendszereket lineáris egyenletekkel (algebrai, közönséges- és parciális differenciálegyenletekkel) írhatjuk le. Pl. ha egy csavarrugót megterhelünk húzóerővel, és az erőt felére vagy kétszeresére változtatjuk, akkor a rugó megnyúlása is a fele, illetve a kétszerese, azaz arányos, lineáris kapcsolattal leírható lesz, két határ között. Gyakori, hogy egy rendszer csak egy adott működési tartományban lineáris (csak egy adott működési tartományban érvényes rá a szuperpozíció elve.) Pl. ha a rugót teljesen összenyomtuk, vagy teljesen kinyújtottuk, akkor az erő további növelése nem okoz változást, megszűnik a linearitás. Belátható, hogy két lineáris rendszer soros vagy párhuzamos kapcsolásából, pl. rugókból keletkező eredő rendszer is lineáris. Ezt a tulajdonságot is gyakran felhasználjuk. Mechanikai, de nemlineáris rendszereknél, általában az egyensúlyi helyzetet keressük meg, és e pont körüli kis tartományban linearizálunk. 47

48 Néhány gyakori oka a nemlineáris viselkedésnek: mágneses köröknél a telítődés és a hiszterézis jelensége, mechanikai rendszereknél a változó szöghelyzetű karáttételekkel épült rugózó kapcsolatokban a rugóirányú összetevő szögfüggő lesz, de a súrlódás, a kotyogás, és a mozgás korlátozása is speciális nemlineáris jelenségek, teljesítményelektronikai berendezések esetén a kapcsoló üzemmód nem- folytonos jellege, elektronikai áramkörökben az eltolódás, offszet, Valamint, bármely reverzibilis vagy akár irreverzibilis változás. Determinisztikus és sztochasztikus rendszerek fogalma Determinisztikus a rendszer: ha egy konkrét bemenőjelre a rendszer teljes ismeretében egy konkrét kimenőjel mindig analitikusan kiszámítható. Lineáris rendszerek esetén a szuperpozíció elvéből következően, a bemenőjel megváltoztatásával arányos lesz a kimenőjel megváltozása. Egy periodikusan működő nemlineáris rendszer esetén is tetszőleges időtávra pontosan meg tudjuk mondani a kimenőjel értékét, azaz a rendszer determinisztikus. 48

49 Sztochasztikus rendszerek mások: tartalmaznak valamilyen véletlenszerűségen alapuló elemet, és emiatt egy konkrét bemenőjelre adott válaszát nem tudjuk pontosan meghatározni, csak annak a valószínűségi eloszlását. Az ilyen folyamatok kísérleteit megismételve nem kapunk azonos kimenőjel- függvényt. Valós fizikai rendszerek esetén mindig szükség van mérésre és a méréshez mindig társul zaj. Tipikusan a zajok és azok hatásai tekinthetők sztochasztikusaknak. Sok esetben a determinisztikus és sztochasztikus jel együtt jelenik meg. Fontos feladat ezek szétválasztása. Ennek egyik módja a jel szűrése. A szűrést elvégző szűrőre úgy tekinthetünk, mint matematikai eljárást megvalósító rendszerre, ahol a bemenet a zajos jel, a kimenet a szűrt jel. Kauzalitás fogalma Egy rendszert akkor nevezünk kauzálisnak, ha a rendszer kimenőjele bármely időpillanatban független az adott időpont utáni bemenőjelektől (gerjesztésektől), vagyis a jövőbeni események nem hatnak a jelen kimenőjelre. 49

50 A jelekről: Egy jel a változó azon részének matematikai leírása, amely a vizsgálataink számára lényeges információt hordozza. Például egy rezgés valamely jellemző függvényének, út-, vagy sebesség-, vagy gyorsulásjelének alakja, és/vagy leírása. A jelek alapvető típusai Egy f(τ ) jel folytonos idejű jel (FI jel), ha az a τ idő minden valós értékére értelmezett. Egy f jel folytonos értékkészletű, ha annak értéke — esetleg bizonyos megszorításokkal — bármilyen valós vagy komplex szám lehet. Ilyen megszorítás lehet, hogy f csak valós és pozitív értékű lehet, vagy nem lehet nagyobb egy felső, illetve kisebb egy alsó korlátnál. 50

51 Egy f jel diszkrét, tehát nem folytonos értékkészletű, más néven kvantált, ha csak bizonyos a0; a1;a2;... valós vagy komplex értékeket vehet fel. Itt i a sorszám. Itt az ai értékek lehetnek tetszőlegesek vagy követhetnek bizonyos szabályszerűséget. Bizonyos mennyiségek eleve diszkrét értékűek (például darabszám), másokat folytonos értékűnek, értékkészletűeknek tekintünk (sebesség, hőmérséklet stb). Mind a folytonos értékű, mind a diszkrét értékű jel lehet folytonos idejű (folyamatos) vagy diszkrét idejű. A folytonos idejű (folyamatos) és egyúttal folytonos értékű jeleket szokásos analóg jeleknek, a diszkrét idejű és diszkrét értékű jeleket a mai jel-előállítási és -feldolgozási gyakorlatból szokás digitális jeleknek nevezni. 51

52 Egy jelet determinisztikus jelnek nevezünk, ha értéke a vizsgálat során minden időpontban ismert vagy meghatározható, azaz a jel tulajdonképpen egy (kielégítő pontossággal) megismételhető folyamatot ír le. Egy rendszert determinisztikusnak nevezünk, ha minden egyes u(τ) bemenőjelhez egy meghatározott y(τ) kimenőjel tartozik. Ezzel szemben a rendszert sztochasztikusnak nevezzük, ha egy adott bemenőjelhez több kimenőjel is tartozhat, mégpedig mindegyik bizonyos bekövetkezési valószínűséggel (Ha nem tudjuk a jelet megismételni, mert az azonosnak tűnő eljárás egyértelműen különböző eredményekre vezet, akkor a jelet sztochasztikus jelnek nevezzük.) A sztochasztikus jelek leírására a valószínűségszámítás fogalmait és egyenleteit, köztük elsősorban a valószínűség-sűrűségfüggvényeket alkalmazzuk. (A sztochasztikus jelek vizsgálata külön tudományterület, lásd Nagy V.: Gépészeti rendszertechnika.) A mérnöki gyakorlatban egy adott jel sok esetben determinisztikus és sztochasztikus jelek összege. Tipikus eset, amikor a hasznos jelet determinisztikusnak, a hozzá adódódó zajt viszont sztochasztikus jelként írjuk le. 52

53 A VIZSGÁLÓJELEK A vizsgáló jeleket a determinisztikus rendszereknek determinisztikus jelekkel történő vizsgálata érdekében alakították ki. Ezek a jelek egyértelműek, viszonylag könnyen előállíthatók, és jól reprodukálhatóak. Egységugrás függvény (A t és a τ is használatos.) Az egyik leggyakrabban használt vizsgáló jel. Elsősorban elméleti tulajdonsága fontos. 53

54 Gyakorlatban, fizikailag nem valósítható meg maradéktalanul, hiszen a jel értékét zérus idő alatt kellene egységnyi értékűre növelni, ami az egységnyire növelés idejét zérusról egy bármilyen kicsi, de már nem zérus, hanem véges értékre változtatja. A rendszer egységugrás-alakú bemenetre adott válaszát átmeneti függvénynek nevezzük, és általában v (τ)-val, vagy v(t)-vel jelöljük. Egységimpulzus-függvény vagy más néven DIRAC-delta. Jele: δ(τ). Ez a rendszert érő „lökés”-jellegű, azaz egy, elvben végtelen rövid idő alatt beavatkozó vizsgáló jel: 54

55 Fizikailag megvalósítható rendszerekre minden további nélkül alkalmazható vizsgáló jelként. Az I.7.a ábrán szemléltetett egységimpulzus-függvény származtatását az I.7.b ábra szemlélteti. Az egységimpulzus tulajdonképpen egy Δτ szélességű és 1/ Δτ amplitúdójú négyszögimpulzusnak a határesete, ha Δτ a zérushoz tart. A szabályzástechnikai elemzések során a rendszernek az egységimpulzus- bemenetre adott válaszát súlyfüggvénynek nevezzük, jele általában w(τ). A súlyfüggvény előnye, hogy úgy mutatja meg a rendszer tulajdonságait, hogy ekkor a mozgását kizárólag saját felépítése és jellemzői befolyásolják. 55

56 Az egységsebesség-függvény. Jele: τ1(τ). 56

57 Az egységgyorsulás-függvény Ennél a függvénynél a bemeneti jel értéke egy állandó és egységnyi gyorsulással növekszik 57

58 RENDSZEREK OSZTÁLYOZÁSA GERJESZTÉSEK ÉS VÁLASZOK SZÁMA Az egyváltozós (egy-bemenetű, és egy-válaszú) rendszer (SISO —„single input single output”) egy kapcsolatot jelent, amely az adott u(τ), illetve u(τi) gerjesztéshez egy y(τ) illetve y(τi) választ rendel. 58

59 A gerjesztés-válasz kapcsolat azt jelenti, hogy ha az u gerjesztés ismert, akkor az y válasz meghatározható. A mérnöki gyakorlatban gyakran találkozunk azzal a problémával, hogy a gerjesztés-válasz kapcsolat explicit alakja nem ismert. Ekkor a feladatunk éppen az, hogy — ismerve a rendszer valamilyen leírását — meghatározzuk a gerjesztés-válasz kapcsolat explicit alakját. Lineáris rendszer esetén az |u| =0 gerjesztéshez |y| = 0 válasz tartozik. Egy rendszer időben invariáns (időfüggetlen), ha a gerjesztés időbeli eltolása csak egy ugyanekkora időbeli eltolást okoz a válaszban is. Gyakorlatban a technikai objektumok, rendszerek csak nagyon ritkán invariánsak, mert fennállnak az öregedés, a környezeti paraméteringadozások és hasonló hatások. 59

60 Időinvariáns egyváltozós rendszer bemenőjele és válasza: 60

61 DINAMIKUS ÉS MEMÓRIAMENTES RENDSZEREK Egy rendszer akkor memóriamentes, ha bármelyik τ, illetve τi időpontban adott válasza csak a gerjesztésnek ugyanezen τ, illetve τi időpontbeli értékétől függ. Ellenkező esetben a rendszer dinamikus (nem-memóriamentes, „emlékező” tulajdonságú, másként a válaszjelre a bemenőjel időfüggvényének előzetes változásai kihatnak, pl. az ún. integráló tagoknál). 61

62 A modellek Napjainkban a modell szónak két jelentése is használatos. A modell szóval jelöljük a valamely meghatározott jelenséghez hasonlót megvalósító berendezést, egyes termékek mintáit (ruhamodell, gépmodell), technikai eszközök kicsinyített, működőképes formáját. A fogyasztói termékek és építmények külső képét tükröző, geometriailag kisebbített mását is (amelyek rendszerint szemléltető célt szolgálnak, és amelyeket — helyesen — megkülönböztetésül egyre gyakrabban makettnek neveznek. Modellezésen értjük a valóságos rendszer lényegi tulajdonságainak felismerését, és azok valamilyen formájú leképezését. Egy adott rendszer korszerű, tudományos igényű vizsgálatának feltétele a rendszermodell megalkotása. 62

63 63

64 AZ ANYAGI MODELLEK Az anyagi modellek saját, objektív törvényeik szerint működnek. Az anyagi modelleket, mivel lényegében a vizsgált rendszernek vagy folyamatnak az absztrakció eszközeivel előállított képei, absztrahált modelleknek is szokás nevezni. Ez egyszerűsített, de a jelenség szubsztanciális (anyagi) tulajdonságait figyelembe vevő kép, amely a jelenség meghatározott célú vizsgálata szempontjából annak lényegi tulajdonságait emeli ki. Csak a működés feltételeit választhatjuk meg, de a belső törvényszerűségeket egy adott modellnél nem tudjuk irányítani. Az anyagi modelleket — realizálási módjuk szerint — csoportosíthatjuk, úgymint: homológ, vagy más néven geometriai; analóg, azaz fizikai; matematikai modell. 64

65 A homológ modell geometriailag hasonló az eredeti rendszerhez, körülötte (vagy benne) hasonló vagy az adott vizsgálat szempontjából ugyanolyan fizikai jelenségek játszódnak le. A műszaki életben a geometriai modelleket elsősorban a tervezés során használjuk fel. A gyakorlati aerodinamikában — a repülőgépek, épületek, hidak vagy gépkocsik tervezése, fejlesztése során — homológ modelleket alkalmaznak szélcsatorna kísérletekben. Fizikai modell — vagy más néven analóg modell — esetén az eredetivel megegyező fizikai természetű, tulajdonságú modellen tanulmányozzuk a rendszerben lejátszódó jelenséget. Az eredeti és a modell hasonlóságának feltétele, hogy mindkettő matematikai leírása (azaz matematikai modellje) megegyezzék. Az analóg modell az eredeti rendszerhez viszonyítva hasonló behatásra hasonló módon válaszol. A fizikai modell semmilyen szemléletes kapcsolatban nem kell, hogy álljon az eredeti jelenséggel, csak az input-ok és az output-ok közötti kapcsolatot adja vissza hűen. 65

66 A matematikai modell a matematika szimbólum rendszerén keresztül teremt kapcsolatot a vizsgált rendszer be- és kimenő jellemzői, illetve az elemzett folyamat paraméterei között. A modellek közül a mérnöki gyakorlatban legelterjedtebb a matematikai modell. A matematikai modell valamilyen vizsgált rendszerben lejátszódó jelenségnek, folyamatnak vagy tevékenységnek a vizsgálat szempontjából lényeges tulajdonságai közötti összefüggések matematikai megfogalmazása. A matematikai modell egyrészt (absztrakt, szimbolikus) matematikai objektumokból (például számokból, vektorokból) áll, másrészt az objektumok közötti relációkból. Az ismeretlen kimenő jellemzők meghatározhatók az ismert bemenő, és belső jellemzők birtokában. A matematikai modell kellően definiált kezdő és peremfeltételekkel együtt egyben az adott jelenség algoritmusát is szolgáltathatja. 66

67 STATIKUS ÉS DINAMIKUS MODELLEK A statikus modell egy időben nem változó állapotot ír le. Matematikailag megfogalmazva, ilyenkor a rendszer állapota algebrai egyenletekkel, vagy idő szerinti deriváltakat nem tartalmazó differenciálegyenletekkel írható le. Jellemzésére elterjedt még a stacionárius (vagy stacioner), állandósult, illetve egyensúlyi modell kifejezés is. A dinamikus modellek a vizsgált rendszer, folyamat jellemzőinek időbeni változását írják le. Megjelenési formájuk közönséges vagy parciális differenciálegyenlet, vagy egyenletrendszer. Lehetséges, hogy a tárgyalás nem az idő-, hanem valamely célszerűen megválasztott, majd transzformált tartományban valósul meg. 67

68 LINEÁRIS ÉS NEMLINEÁRIS MODELLEK A lineáris modellekben csak a változók és deriváltjaik szerepelhetnek, általában állandó együtthatókkal szorozva. Egy matematikai modell akkor, és csak akkor lineáris, ha a folyamatot leíró egyenletrendszer kielégíti a szuperpozíció elvét. A szuperpozicíó elvéből következik, hogy lineáris matematikai modellek alakja csak a homogén, lineáris egyenlet, illetve egyenletrendszer lehet. A nemlineáris modellek az előző kötöttségektől mentesek. Az adott rendszerben lejátszódó folyamatot leíró egyenletek legalább egyike nemlineáris, azaz valamilyen hatvány -, szög-, vagy egyéb más függvényt is tartalmaz. A nemlineáris modellek — az egyszerűbb vizsgálat érdekében —valamilyen linearizálási módon alakíthatók át lineáris modellekké. 68

69 FOLYTONOS IDEJŰ ÉS DISZKRÉT IDEJŰ MODELLEK A folytonos idejű (FI) modellek esetén a modellezett rendszert vagy folyamatot leíró jellemzők, független és függő változók a vizsgált idő alatt bármelyik pillanatban vehetnek fel valamilyen értéket. Azaz, a folytonos idejű modellek inputjai és outputjai egyaránt folytonos idejű, FI jelek. Diszkrét idejű modell esetében a jellemzők csak adott, konkrét időpillanatokban vehetnek fel értékeket. Más megfogalmazásban, a diszkrétidejű modell független és függő változói diszkrét idejű, (DI) jelek lehetnek. Ha a modellezett folyamatot egy időben folytonos egyenlettel vagy egyenlet- rendszerrel írunk le, akkor az egy folytonos idejű modellt jelent. Az eredeti folytonos idejű modellt diszkrét idejűvé alakíthatjuk át. Például, ha a modell egy időszerinti differenciálegyenlet, akkor azt átalakítjuk differencia- egyenletté. 69

70 FOLYTONOS PARAMÉTERŰ ÉS DISZKRÉT PARAMÉTERŰ MODELLEK A folytonos paraméterű (vagy folytonos állapotterű) modellekben a változók egy adott tartományon, értékhatáron belül bármilyen értéket felvehetnek, azaz folytonos paraméterű jelek. Diszkrét paraméterű (vagy diszkrét állapotterű) modellek esetén a változók csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel. Azaz a diszkrét paraméterű modellek inputjai és outputjai egyaránt diszkrét paraméterű jelek. MODELLEZÉS, MODELLALKOTÁS, SZIMULÁCIÓ A matematikai modellalkotás lényegében a következőket jelenti: az adott rendszert leíró egyenletek és a kezdeti- és peremfeltételek, valamint a kapcsolódó adatrendszer felállítását, illetve a megoldó algoritmus elkészítését. Ez meghatározza a megoldás pontosságát, így a modell alkalmazhatóságát. 70

71 Irányítástechnika Vezérléstechnika: úgy irányítunk egy berendezést, hogy annak hatásait és lezajlását esetleg nem is vizsgáljuk, tulajdonképpen csak elindítjuk, kezdeményezzük. A mai vezérlések gyakran tartalmaznak szabályozott részfolyamatokat ( pl. mosógép programozott vezérlésében hőfokszabályozási feladatot, melynek a továbblépéshez teljesülnie kell ) Szabályozástechnika: állandóan érzékeljük az irányított jellemző értékét, és eltérés esetén megfelelő módon beavatkozunk, zárt körben 71

72 72 Vezérlés Nyílt hatásláncú irányítás, ahol az irányított jellemző nincs (közvetlen) hatással az irányítási folyamatra. Példák Időtervvezérlés A vezetőjel egy – az időtől függő, előzetesen megtervezett program szerint alakul. Példa: Kapcsolóórával vezérelt közvilágítás Programtárcsás mosógép (vízbeengedés, mosószer beengedés…..stb) Lefutóvezérlés Ezen vezérlés esetén a vezetőjel a vezérelt folyamat állapotától ( és esetleg külső érzékelt jelektől) függ. A vezérelt folyamat lépésekre bontható, az egyik lépésről a következő lépésre történő továbbhaladás feltételek teljesüléséhez kötött. Példa: 1. lépés: Ha az alkatrész megérkezett: fúrógép bekapcsolása. 2. lépés: Ha a fúrógép elérte üzemi fordulatszámát – fúrószár süllyesztése. 3. lépés: Ha elértük a furatmélységet a fúrószár kiemelése. 4. lépés: Ha a fúrószár elhagyta a munkadarabot a fúrógép leállítása. (Ennél a tipikus vezérlési példánál nem is definiálható az irányított jellemző fogalma)

73 73

74 74

75 75

76 76

77 77

78 78

79 79

80 80

81 81

82 82

83 83

84 84

85 85

86 86

87 87

88 88

89 89

90 90

91 91

92 92

93 93

94 94

95 95

96 96

97 97

98 98

99 99

100 100

101 Határozzuk meg az ábrán látható négyszögjel Fourier sorát: 101

102 102

103 A jel szimmetriájából következik, hogy a Fourier-sor csak páratlan szinuszos tagokat tartalmaz, a periódusidő és az alapharmonikus értéke 103

104 104

105 105 (az alábbi jegyzetből átvéve.: )

106 106

107 107

108 108

109 109

110 110

111 111

112 112

113 113

114 114

115 115

116 116

117 117

118 118

119 119

120 Ideális alaptagok 120

121 121

122 122

123 123

124 124

125 125 Vezérlőtolattyúval irányított mozgású dugattyú: hidraulikus szervomotor, illetve hidraulikus integráló tag

126 126 vezérlőtolattyúval irányított mozgású dugattyú: hidraulikus integráló tag

127 127 A dugattyú mozgása az idő függvényében különböző időfüggvényű bemenőjelekre A függőleges szerkesztő vonalak az 1 értékű pillanatnyi tolattyú-nyitáshoz tartozó, azonos iránytangensű görbéket jelölik lent, azonos sebesség-értékekre utalva. A színuszos bemenőjelhez nagyobb meredekségű, sebességű út-idő görbe tartozik, középen Ha az 1cm nyitáshoz tartozó folyadékáram egy adott kivitelnél és nyomásszinten pl. 100 cm 3 /s, valamint a dugattyú felülete 10 cm 2, akkor a haladási sebesség 10 cm/s értékre adódik.

128 Sebességugrás bemenőjelnél (az ábrán szaggatott vonal, hosszabb vonalszakaszokkal) esetünkben 1s ideig folyamatosan növekedik a nyitás mértéke, 2 egységnyi értékig, vele a térfogatáram, és a dugattyú sebessége is. Ez utóbbi zérusról indul, és ennek az út-idő ábrában zérus meredekségű iránytangens felel meg. A legnagyobb sebesség elérésekor a meredekség az előző, egységugrás bemenőjelű esethez tartozó értéknek kétszeresét éri el. A befutott út most is 10 cm. Alakja x 2 /2 parabola. Szinuszos bemenőjel esetén az út-idő ábra, mint kimenőjel most is zérus iránytangenssel indul, amely félideig folytonosan növekszik, majd a tolattyú zárásakor – ez itt már nem rajzolt- az iránytangens ismét zérussá válik. Az elért úthossz 10 cm. A függvény alakja: -cosx. Szinuszos bemenőjel villamos motorral hajtott excenterrel is előállítható. Itt amplitúdója 1,41 cm, periódusideje T=2s. 128

129 129

130 130

131 131

132 132

133 133

134 134

135 135

136 136

137 137

138 138

139 139

140 140

141 141

142 142

143 143 A felső ábra ugrásfv-re, az alsó színuszos gerjesztéssel vizsgál. A T=1 és ξ =1 esetére látjuk a beírt nevezőt. A futtatási görbékből néhány következik:

144 144 Ugrásfv-re, ξ=1 esetére látjuk a még aperiodikus beállású görbét

145 145 Ugrásfv-re, ξ=0.4 esetére látjuk a már részben lengő görbét

146 146 Ugrásfv-re, ξ=0.1 esetére látjuk a már 6-7 lengést teljesítő görbét

147 147 Ugrásfv-re, ξ=0.01 esetére látjuk a hosszú ideig lengő görbét

148 148 Színuszos jellel gerjesztve, ξ=0.2 esetére látjuk az 5 lengés után állandósuló lengő görbét. A jel a törtben látható 1/0.4 = 2.5 értékhez tart, és meghaladja az ugrásfv-re elérhető 2 max. amplitúdót, mert a folytonosan lengő bemenőjel pótolja az elvesző energiát.

149 149 Színuszos jellel gerjesztve, ξ=0.2 esetére látjuk a kb. 10 lengés után állandósuló görbét. Mivel a gerjesztő frekvencia 5x nagyobb, mint előbb, nincs elég idő az energiaközlésre, és az elért amplitúdó erősen lecsökkent, kb. 0,05 értékre.

150 150

151 151

152 152

153 153

154 154

155 155

156 156

157 157

158 158

159 159

160 160

161 161

162 Zárt szabályozások Zárt szabályozási kör tagok egymás utáni kapcsolataiból épül fel, és e kapcsolatok tipikusan soros szorzatként számolható eredőt képeznek – kivétel a különbségképzés, amely matematikailag is ezt jelenti. A zárt szabályozások felépítését és tulajdonságait elsősorban az határozza meg, hány integráló tagot tartalmaznak, ez adja a kör típusszámát: 0, 1, 2. Így az ún. arányos vagy P-szabályozás egyet sem, pontosabban visszacsatolatlan I-tagot nem tartalmaz. Az integráló vagy I-szabályozások 1, legfeljebb 2 I-tagot tartalmaznak. Tulajdonságaik nagymértékben különbözőek, főként az alapjel követésének képességében, valamint az ún. maradó szabályozási eltérés, másként az állandósult szabályozási hiba nagyságában. Ez utóbbi általában az 1/(1+K) összefüggéssel számolható, ahol K az ún. körerősítés, az egymás utáni tagok átviteli tényezőinek szorzata, a kör képzelt felvágásával a különbségképző előtt (ún. felnyitott körben). K növelésével nő a lengésre való hajlam, azaz a stabilitás romlása, amelyet a kör időállandói és holtidői okoznak. A 2 típusú szabályozások strukturálisan instabilak, emiatt különös gondossággal tervezendőek, illetve állítandó be a körerősítésük. 162

163 163

164 164

165 165

166 166

167 167 A kis körerősítésű, aperiodikus beállású szabályozások kimenő jelei (1) egységugrás alakú alapjel-növelésre túllendülés nélkül állnak be állandósult értékükre. K növelésével a beállási idő csökkenthető, majd megszűnik az aperiodikus jelleg, és további növelésével már növekvő túllendüléssel állnak be (2, 3). Ezek rövidebb beállási időt jelentenek, de pl. pozíciószabályozásban, robotirányításban, szerszámgépekben stb. nem használhatóak, nem megengedettek.

168 168 Zárt szabályozások Matlab-példái Az ábrán 3 db egytárolós tagból épült zárt szabályozási kör látható, a beírt erősítésekkel a számlálókban, és a Ts+1 alakú nevezőkkel. Ha T eltér 1sec-tól, akkor kírja a számot, lent 0.01. Jobb oldalt ugrásfv alakú, jellemzően 1 értékű zavarójelet adhatunk a kimenőjel elé, az oda tett összegzővel. A jobboldali táblázat a tagok átviteli függvénye számlálóit, azaz az erősítéseit, és az 1/(1+K) értékű maradó hiba százalékot mutatja, öt esetre, 1 értékű zavarást beadva.

169 169 Itt 4, 4, és 0.9375 az egyes erősítések értékei, és 5 értékű ugrásfv-re kapott válaszát látjuk: közel 7 értékig lendül túl az 5 előírt helyett. A +1 értékű zavarás miatt kb 4 %-al feljebb állandósul.

170 170 0 zavaró jelnél a görbe az előírt 5 értéken fut a tranziens után. ( ha azonban 5 helyett más alapjelet írunk be, azt is 1/1+K-val fogja teljesíteni! Ez a P szabályozás másik hátránya.)

171 171 Kisebb erősítések kisebb túllendülést és nagyobb maradó hibát okoznak, de itt zavarójel nincs, a kör tagjainak értékét 0 hiba melletti 5 értéket eredményezőre állítottuk be itt is.

172 172 Zavarójel 1 értéke mellett annak nagy %-a az állandósult hiba:

173 173 Mint előbb, de a 3. tag időállandóját 1-ről 0,1 s-ra vettük. Zavarójel 1 értéke mellett annak ugyanakkora %-a az állandósult hiba, de a beállási folyamat alig tartalmaz túllendülést:

174 174 Zavarás nélkül még jobban látható a kedvező, majdnem aperiodikus beállási folyamat: ( ezek mind arányos szabályozások voltak)

175 175 Követő szabályozások példái, arányos szabályozásra, színuszos alakú alapjellel, melynek frekvenciája változtatható. A követési adottságok növekvő jel-változási sebességnél romlanak. Az egyes tagok értékei és a kör adottságai nem változtak.

176 176 Zavarjel:0, csak követés a feladat, amit a kezdeti tranziens után 4-5 % hibával teljesít a legnagyobb körerősítésű példa. Az alapjel amplitúdója 1, a többi esetben is.

177 177 Zavarjel: 1. csak követés a feladat, amit a kezdeti, durvább tranziens után 4-5 % hibával teljesít a legnagyobb körerősítésű példa.

178 178 Zavarjel: 1, de annak megjelenési időpontja most a 10. s, és mert nem a kezdettől indultak együtt, most igen nagy tranzienst okozott:

179 179 Mint előbb, de itt az alapjel körfrekvenciája 10 rad/s, 10x nagyobb, emiatt kevésbé képes követni, csak kb. 0,3 értéket tud átvinni. Ez a 10. s után a hibával feljebb tolódik.

180 180

181 181 A beállási görbe jellemző elnevezései, az előző oldalról:

182 182

183 Stabilitásvizsgálati módszerek Analitikusan: Routh séma és Hutwitz determináns Frekvenciatartományban: Nyquist és Bode diagramok Operátor tartományban: gyökhelygörbe-módszer Egyéb eljárások, nemlineáris szabályozásokra A következőkben: - stabilitásvizsgálat a Nyquist diagramban, itt legegyszerűbben 3 tárolós arányos tagokból épült szabályozási körre. - stabilitásvizsgálat a Bode diagramban 183

184 184

185 185 A K növelésével K1 helyett nagyobb valós értékű kezdőpontból indul a görbe (K2 stb.), és ha a kör időállandói nem változnak, az 1 sugarú kört rendre később metszi, csökkenő fázis- tartalékkal. A -1, j0 pontban minden valós értékű amplitúdó ellenkező előjelűre vált, ezért nem csillapodó lengést okoz.

186 A stabilitás megítélése a BODE diagramból A fázistöbblet és az erősítési tartalék a felnyitott L (jco) rendszernek a BODE diagramjából is leolvasható. Az vágási körfrekvenciánál a frekvenciafüggvény abszolút értéke egységnyi. A BODE amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbe ennél a frekvenciánál metszi a vízszintes, nulla dB tengelyt. Az ehhez a körfrekvenciához tartozó fázisszögnek a -180°-tól való eltérése adja a fázistöbbletet. A = - 180°-hoz tartozó frekvenciánál leolvasott abszolút érték megadja a K paraméter értékét dB-ben, amiből meghatározható az erősítési tartalék. Egy szabályozási rendszer stabilis, ha a felnyitott kör aszimptotikus BODE diagramja a -20dB/dekád meredekségű szakaszon metszi a frekvenciatengelyt. A rendszer biztosan labilis, ha a metszés meredeksége -60dB/dekád vagy ennél nagyobb. Ha a metszési szakasz meredeksége -40dB/dekád (lerajzolva), a rendszer lehet stabilis vagy labilis is, de fázistartaléka biztosan megengedhetetlenül kicsi. 186

187 187 Ha az co c vágási körfrekvencia a -40dB/dekád meredekségű szakaszra esik, a korábbi töréspontokból adódó fázisszöggel az körfrekvencián a fázisszög megközelítheti vagy kissé meghaladhatja a -180° értéket, így a rendszer közel kerül a stabilitás határához Ilyenkor a stabilitás eldöntéséhez meg kell határozni a fázistöbblet értékét. Az erősítés csökkentése a Bode diagramot lejjebb csúsztatja, és co c akár -20 dB/dd meredekségű szakaszra is helyezhető.

188 Felhasznált irodalom: Dr Keviczky L.: Szabályozástechnika. Universitas, Győr, Széchenyi Egyetem Korondi P and all … : Rendszertechnika A tananyag a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0042 azonosító számú „ Mechatronikai mérnök MSc tananyagfejlesztés ” projekt keretében készült. A tananyagfejlesztés az Európai Unió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Dr Nagy V.: Gépészeti rendszertechnika. Kézirat. Széchenyi Egyetem Pokorádi L.: Rendszerek és folyamatok modellezése. Campus Kiadó, 2008 188