Műveletek logaritmussal

Az előadások a következő témára: "Műveletek logaritmussal"— Előadás másolata:

1 Műveletek logaritmussal
A logaritmus fogalma Műveletek logaritmussal Készítette:

2 A logaritmus fogalma A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapunk, ahol : Jele: Az a-t a logaritmus alapjának, A b-t a logaritmus numeruszának szoktuk elnevezni. Ha létezik:

3 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
LOG Def. A logaritmus alapja:10 Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel 101 =10, ezért a definíció értelmében az 1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 10-et.

4 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
LOG Def. A logaritmus alapja:10 Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel 102 =100, ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 100-at.

5 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
LOG Def. A logaritmus alapja:10 Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel 10-1 =0,1, ezért a definíció értelmében a -1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 0,1-t.

6 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
LOG Def. A logaritmus alapja: 10 Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel 100 =1, ezért a definíció értelmében a 0 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, az 1-t.

7 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: 10 Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon: LOG Def. Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel 103/2 = , ezért a definíció értelmében a 3/2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a t.

8 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: 10 Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon: LOG Def. Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel 10 2/3 = , ezért a definíció értelmében a 2/3 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a t.

9 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: 10 Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon: LOG Def. Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel 10 -1/2 = , ezért a definíció értelmében a -1/2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a t.

10 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: 10 A nem írható fel pontosan 10 hatványaként. Ha mégis megpróbálnánk, akkor újabb ilyen jellegű logaritmusok értékeit kellene kiszámítanunk. Ilyenkor számológéppel, vagy függvénytáblázat segítségével célszerű meghatározni a közelítő értéket! Vagyis:

11 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
LOG Def. A logaritmus alapja: 2 Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel 21 =2, ezért a definíció értelmében a 1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a 2-t.

12 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: 2 Alakítsuk 2 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon: LOG Def. Induljunk ki a logaritmus definíciójából! Mivel 2 2 = , ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 2-re emelve megkapjuk a logaritmus argumentumát, a t.

13 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: 3 Alakítsuk 3 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon: LOG Def. Induljunk ki a logaritmus definíciójából! Mivel 3 -2 = , ezért a definíció értelmében a -2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 3-ra emelve megkapjuk a logaritmus argumentumát, az t.

14 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: Alakítsuk hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon: LOG Def. Induljunk ki a logaritmus definíciójából: Mivel ezért a definíció értelmében a 4 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a t emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a t.

15 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: 1/5 Alakítsuk 1/5 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon: LOG Def. Induljunk ki a logaritmus definíciójából! Mivel (1/5) -2 = , ezért a definíció értelmében a -2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz az 1/5-re emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t.

16 Adjuk meg a következő kifejezés értékét!
A logaritmus alapja: 1/3 Alakítsuk 1/3 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon: LOG Def. Induljunk ki a logaritmus definíciójából! Mivel (1/3) 2 = , ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz az 1/3-ra emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, az -t.

17 A logaritmusok azonosságai
Legutóbbi diára Azonos alapú logaritmusok: Különböző alapú logaritmusok

18 Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!

19 Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!

20 Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést!

21 Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést!

22 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

23 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! A hatványok kiszámolása után: Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

24 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! A hatványok kiszámolása után: Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

25 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére és különbségére vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

26 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

27 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

28 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét!
Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

29 Melyik kifejezés értéke a nagyobb?
vagy vagy Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket! A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt: Azaz: A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést.

30 Melyik kifejezés értéke a nagyobb?
vagy vagy Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket! A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt: Azaz: A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést.

31 Melyik kifejezés értéke a nagyobb?
vagy vagy Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket! A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt: Azaz: A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést.

32 Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Vagyis:

33 Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Vagyis:

34 Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére és különbségére vonatkozó összefüggést! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Vagyis:

35 Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
Térjünk át a kitevőben a 2 alapról 4-es alapú logaritmusra a logaritmus alapváltásra vonatkozó összefüggéssel, hogy azonosak legyenek a logaritmusok alapjai Ekkor az eredeti feladat átírható: Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Vagyis:

36 Számítsd ki a következő kifejezés értékét!
Térjünk át a kitevőben az 5 alapú logaritmusokra! Ekkor az eredeti feladat átírható: Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Vagyis:

37 Logaritmikus egyenletek

38 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
A logaritmusnak akkor van értelme, ha Használjuk fel a logaritmus definícióját az egyenletünk átalakításához! Ez a megoldás a feltételnek is eleget tesz

39 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
A logaritmusnak akkor van értelme, ha Használjuk fel a logaritmus definícióját az egyenletünk átalakításához! Ez a megoldás a feltételnek is eleget tesz

40 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
Azaz a kettő feltétel Együtt: és A logaritmusoknak akkor van értelme, ha Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot! Bontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát! A másodfokú egyenlet megoldásai: Ez a megoldás a feltétel- nek is eleget tesz. Ez a megoldás a feltétel- nek nem tesz eleget.

41 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
Azaz a kettő feltétel Együtt: és A logaritmusoknak akkor van értelme, ha Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot! Hivatkozott azonosság És az 1-et írjuk fel 3 alapú logaritmus kifejezésével Bontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát! A másodfokú egyenlet megoldásai: Ez a megoldás a feltétel- nek is eleget tesz. Ez a megoldás a feltétel- nek nem tesz eleget.

42 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
Azaz a három feltétel Együtt: A logaritmusoknak akkor van értelme, ha Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot! Hivatkozott azonosság Bontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát! A másodfokú egyenlet megoldásai: Ez a megoldás a feltétel- nek is eleget tesz. Ez a megoldás a feltétel- nek nem tesz eleget.

43 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
Azaz a két feltétel együtt: Feltételek: és A logaritmusoknak akkor van értelme, ha Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó azonosságot! Hivatkozott azonosság Írjuk fel az 1-t 10 alapú logaritmus kifejezésével Ez a megoldás a feltétel- nek nem tesz eleget. Nincs megoldása az egyenletnek

44 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
Feltételek: és Azaz a két feltétel együtt: Az egyenlet értelmezési tartománya üres halmaz, ezért nincs megoldása az egyenletnek

45 Oldjuk meg a pozitív valós számok halmazán a következő egyenletet!
Feltételek: Ebből következik, hogy vagy Írjuk fel az 1-t 7 alapú logaritmus segítségével! / -7 Ez megoldása a feladatnak, mert a megoldás pozitív Ez nem megoldása a feladatnak, mert a megoldás negatív.

46 Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet!
Feltételek: Ebből következik, hogy vagy Írjuk fel az 1-t 20 alapú logaritmus segítségével! / -20 Ez megoldása a feladatnak, mert a megoldás természetes szám, és a feltételnek is eleget tesz Ez nem megoldása a feladatnak, mert a megoldás nem természetes szám.

47 Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet!
Feltételek: Azaz a két feltétel együtt: és A szóba jöhető megoldások: 3; 4; 5; 6 Ezek közül csak a 4 lehet a feladat megoldása.

48 Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: központi érettségi 1990/A/7. (14 pont)
A logaritmus értelmezéséből következő feltételek: A átírható 5 alapú logaritmusok hányadosaként: Azaz: Azaz, az eredeti egyenlet felírható a következőképen:

49 Vagyis az összevonások elvégzése után a feladat:
A logaritmus definíciója szerint: A hatványozás elvégzése után: | +2 Lenne az egyenlet megoldása, de Vagyis x=3 nem tesz eleget a logaritmus létezésének feltételének Nincs megoldása az egyenletnek