Válaszok Prof. Galántai Aurél bírálatára

Ezúton is köszönöm Prof. Dr. Galántai Aurélnak a doktori disszertációm bírálatával kapcsolatos gondos és alapos munkáját. Az opponensi véleményben megfogalmazott kérdésekre és felvetésekre adott válaszaim a következők.

„Az 1.2 szakaszban a negáció operátor előállítására vonatkozó Trillas tétel egy kismértékű általánosítását adja (1.12 Tétel). Megjegyzem, hogy az itt alkalmazott jelölés zavaró és eltér az A függelékben alkalmazott jelöléstől.” A dolgozat jelölésrendszerét, illetve terminológiáját – ami eltér a szokásostól - mindhárom bíráló kifogásolta. A negációra az N(x) jelölés használatos, ami nem feltétlen involutív. Az involutív negációt erős negációnak nevezik. Az értekezésben csak erős negációs szerepel (egy ellenpélda említésétől eltekintve), amit  (x)-szel jelöltem, és az erős jelzőt elhagytam, amit a negáció bevezetésénél jeleztem is. A helyes eljárás az lett volna, hogy a „pliant” logika fogalmait és jelölését a dolgozat elején tisztázom. A függelékben Trillas jelölését hagytam meg, mert az általa bizonyított tétel módosítását tárgyaltam. A konzekvens jelölés miatt ezt is át kellett volna írnom.

„A fejezetben alkalmazott technika a témakörben szokásos: a függvényegyenletek elemi elmélete. Kiemelendő ugyanakkor, hogy nem használ egy sor gyakran alkalmazott technikát, például a pszeudó inverzet, a kommutivitási axiómát, stb.” A „pliant” koncepció keretében csak a nyílt vagy félig zárt intervallumon szigorú monoton operátorokat vizsgáltam. Ezek a legegyszerűbb struktúrájú műveletek és az asszociatív függvényegyenlet megoldásából a kommutativitás következik. Mivel a nilpotens operátorokat a feltételek kizárták, ezért a pszeudo inverzre sem volt szükség. A fuzzy operátorok általános vizsgálatai esetén természetesen a pszeudo inverz fontos fogalom.

„Úgy tűnik, hogy az 1. fejezet eredményei a szerző jelentős es dolgozatán alapulnak. Nem világos, hogy ehhez képest mik az új eredmények, illetve, hogy az itt bemutatott eredményei hogyan viszonyulnak a t-normák kiterjedt elméletének újabb eredményeihez?” Az értekezés alapja az 1982-es értekezésem. Az 1.1 és 1.2 fejezetek a korábbi eredmények összefoglalása. Így az fejezetek tartalmazzák az új eredményeket. A fő és új eredmény a több negációval rendelkező DeMorgan hármasok jellemzése. Az értekezés magukat a t-, co- és uninormákat nem vizsgálja, hanem azok összefüggéseire fekteti a hangsúlyt.

„A 2. fejezet esetén is az a helyzet, hogy a fejezet eredményei a szerző szintén jelentős másik 1982-es dolgozatán alapulnak. Nem világos, hogy ehhez képest mik az új eredmények, illetve, hogy az itt bemutatott eredményei hogyan viszonyulnak az aggregációs függvények elméletének más eredményeihez?” Az értekezés 2. fejezete is az 1982-es értekezésen alapul. A 2.1 fejezet tartalmazza a korábbi eredményeket, a további részek pedig az új eredményeket. Itt megadom a konjunkciós és diszjunkciós operátorból származtatott aggregációk azonosságának feltételét.

„Kérdés, hogy vannak-e tapasztalatok a javasolt implikációs és ekvivalencia operátorok használatára?” A [27]-es irodalomban sikeresen alkalmaztuk ezeket az operátorokat.

„Tekintve, hogy a szigmoid függvény egy gyakran használt halmazhoz tartozási függvény (lásd pl. MATLAB Fuzzy Logic Toolbox) felmerül az igény a javasolt közelítés és a gyakorlatban használtak összehasonlítására. Történt-e ilyen, és ha igen, akkor mik a tapasztalatok?” A MATLAB Fuzzy Logic Toolbox-ban szereplő fuzzy szabályozásnak megfelelő Pliant Toolbox kifejlesztésre került. Az irányítás szabályainak száma jelentősen csökkenthető volt, továbbá nem volt szükség interpolációs eszközök alkalmazására. A Pliant Toolbox alkalmazásával példa alapú szabálymegadásra van lehetőség, ami az optimalizálást egyszerűbbé teszi.

„A hatodik fejezet kapcsán milyen tapasztalatok támasztják alá a javasolt bizonytalanság mérték gyakorlati használhatóságát?” A mérték alkalmazhatóságát a bebizonyított tétel biztosítja, azaz a pliant rendszerben felírt logikai kifejezések bizonytalanságának alsó és felső korlátja megadható a változóinak bizonytalanságának mértéke alapján. Tehát meg lehet mondani, hogy a változók bizonytalansága alapján a belőlük felépülő bármely logikai kifejezés milyen bizonytalansági korlátok között lesz.

„A fejezet eredményeinek egy jelentős része lényegében benne van Dombi J. – Porkoláb L.: Measure of fuzziness, Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Comp. 12 (1991) című dolgozatában, ahol egyébként még a fuzziság és nem a bizonytalanság mértékéről beszél. Mi az oka annak, hogy ezeket nem említi a fejezetben?” A 6. fejezet a bizonytalanság mértékével foglalkozik. A bevezetés és a 6.2 fejezet a korábbi, Porkoláb Lóránttal elért eredményeket tartalmazza. Az irodalomjegyzék a közös cikkeinket tartalmazza, a hivatkozás azonban sajnálatos módon lemaradt. A fuzzy elmélet kialakulásának kezdetén fontos fogalom volt a fuzziság mértéke. Logikai kifejezések fuzziság mértékére vonatkozó kutatások nem történtek. A fejezet erre tesz kísérletet. A normalizált mérték nem tette lehetővé egy általános tétel megfogalmazását és bizonyítását. A nem normalizált fuzziság mértéket neveztem az értekezésben bizonytalanság mértéknek. Az így bevezetett fogalom segítségével lehetett a logikai kifejezés bizonytalanságára korlátot adni.

„A fejezetek zöméből hiányzik a vizsgált problémakör előzményeinek és jelentőségének bemutatása, illetve a kapott eredmények értékelése és irodalmi összehasonlítása.” Az értekezés egy több mint 20 éves kutatómunka eredménye. Célom egy koherens folytonos logikai rendszer létrehozása volt. Az értekezés ezért a fuzzy elmélet szerteágazó irányzataira való reflexiókkal kevésbé foglalkozik, inkább elsősorban a pliant koncepció felépítésére koncentrál. Az eredmények azonban a fuzzy elmélet kérdésköréhez is szorosan kapcsolódnak.

Még egyszer szeretném megköszönni Dr. Galántai Aurél professzor úrnak értékes észrevételeit, amelyek további tudományos tevékenységei során hasznosítani fogok.