Anyagok-példák

Anyagok a természetben Kőzetek (valódi kövek, ásványok, de a kőolaj, földgáz) Növényi anyagok Állati és humán anyagok

DNS-kromoszóma-Egyed (1) DNS szál (2) Kromatin szál (DNS hisztonokkal). (3) Kromatin interfázis alatt (centromér). (4) Kondenz kromatin profázis alatt (5) Kromoszóma metafázis alatt. 1/10 mikrométer 25 méter tudastar.hu

Allometria Egy élőlény tulajdonságai közötti arány kifejezése Otto Snell (1892): testméretek és az alak, anatómia, fiziológia közötti kapcsolat tanulmányozása Azonos alakú élőlények külső méreteinek összehasonlításából egyes elemek méreteire következtetni (statisztika) Alap kapcsolat: 𝑦=𝑏 𝑥 𝑎 log 𝑦=𝑎 log 𝑥+ log 𝑏 Példa: életkor – testhossz (kigyók)

Isometrikus kapcsolat Arányos kapcsolat megmarad a növekedési idő alatt/teljes élettartamban karok fesztávolsága – testmagasság béka alsóvégtag hossza – testének hossza Korlát: terület-térfogat arány korlátozás hosszúság 2x - testtömeg 8x – csontok ereje 4x Zöllner: Leonardo rajzai

Allometrikus változás Minden kapcsolat, ami nem izometrikus Általában testtömeg, testméret „kitevős” összehasonlítása Metabolikus arány (anyagcsere): BMR=70M0,75 Izmok összehúzódási frekvenciája verebeknél f=M-0,33 Lépés dinamikája-testtömeg Lépés kinematikája-alsó végtag hossz Tojás tömege-anya állat testtömege 𝑚 𝑒𝑔𝑔 =0,198 𝑚 𝑎𝑛𝑦𝑎 0,77

Fraktálok Definíció: Olyan ponthalmaz (alakzat), amelyet úgy lehet részekre bontani, hogy minden rész egy kisebb méretű másolata az egésznek (legalábbis megközelítőleg), önmagához közel hasonló. Benoit Mandelbrot adta a fraktál nevet (frangere), jelentése: (szabálytalan) töredék. Alkalmasak bizonyos objektumok leírására, mint pl. felhők, hegyek, növények, amelyek egyszerű geometriai formáknak nem felelnek meg.

Iterációs fraktálok Sierpinski-féle háromszög Koch-féle hópehely

Fraktálok a természetben Időjós.hu Vicsek F Török Á

Fraktálok matematikai definíciója Fraktál olyan halmaz, aminek a fraktál dimenziója nagyobb a topológiai dimenziójánál Topológiai dimenzió (k): Egy H halmaz minden pontjának van olyan tetszőlegesen kicsi környezete, aminek a határa H-ban egy k-1 dimenziós halmaz és k a legkisebb ilyen tulajdonságú nem-negatív egész. (pont – 0, egyenes – 1, felszín – 2) Fraktál dimenzió: Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek s-szeres (s>1) nagyításai H-nak. 𝐷 𝐻 = log 𝑁 log 𝑠 = log (ö𝑛ℎ𝑎𝑠𝑜𝑛𝑙ó 𝑟é𝑠𝑧𝑒𝑘 𝑠𝑧á𝑚𝑎) log (𝑘𝑖𝑛𝑐𝑠𝑖𝑛𝑦í𝑡é𝑠 𝑎𝑟á𝑛𝑦𝑎)

Példák Egyenes: Négyzet: Topológiai dimenzió 1 Fraktál dimenzió 𝐷 𝐻 = 𝑙𝑜𝑔2 log 2 =1 Négyzet: Topológiai dimenzió 2 Fraktál dimenzió 𝐷 𝐻 = 𝑙𝑜𝑔4 log 2 =2 Egyenes és négyzet nem fraktál!!

Jellegzetes fraktálok N=4, s=3 𝐷 𝐻 = 𝑙𝑜𝑔4 log 3 =1,261 Mandelbrot - halmaz Azon c komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = 0, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál. (|c|≤2) Topológiai index: 1 (vonal)

Fraktálok az építészetben Gaudi: Sagrada Familia, Barcelona Castel del Monte Indiai építészet -Kadzsuharo Kölni dóm Török Á Kölni dóm Török Á Rietvel-Schröder ház, Utrecht, 1924

Formák Alapelv: funkció meghatározza a formát (izometrikus kapcsolatok) keresztmetszeti terület növelés csavarás-vékonyfalú zárt szelvények

Csöves csontok Nyomott-hajlított-csavart igénybevétel Feltételezés: lineárisan rugalmas szuperpozíció elve nyomás + hajlítás+csavarás Klein P., Sommerfeld P.: Biomechanik der menschlichen Gelenken

Feszültségek-alakváltozások Nyomás 𝜎 𝑛𝑦 = 𝐹 𝐴 = 𝐹 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 2 − 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő 2 𝜋 𝜀 𝑛𝑦 = 𝐹 𝐸𝐴 = 𝐹 𝐸 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 2 − 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő 2 𝜋 Hajlítás 𝜎 𝑠 = 𝑀 𝐼 𝑦, 𝜀 𝑠 = 𝑀 𝐸𝐼 𝑦, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑦 𝑚𝑎𝑥 = 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 𝐼= 𝜋 4 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 4 − 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő 4 𝑀 ℎ𝑎𝑗𝑙í𝑡ó = 1 𝑅 𝐸𝐼= 𝐸 𝑅 𝜋 4 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 4 − 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő 4 , ahol 1/R görbület Csavarás 𝑀 𝑐𝑠𝑎𝑣𝑎𝑟á𝑠 = 𝜋𝐺𝜑 2𝐿 ( 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 4 - 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő 4 )

Optimalizálás hajlításra Adatok 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő =𝑘∗ 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő =𝑘∗𝑟 ahol k<1, rcsont csont sűrűsége, rvelő velő sűrűsége L csont hossza 𝑚= 𝑟 2 𝜋𝐿 𝜚 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 1− 𝑘 2 + 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝑘 2 Feltétel Velő rugalmassági modulusa elhanyagolható Optimalizálási feltétel Görbület (1/R) minimális 1 𝑅 = 4𝑀 𝜋𝐸 𝑟 4 (1− 𝑘 4 ) = 4𝜋𝑀 𝐿 2 𝐸 𝑚 2 1− 𝑘 2 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 + 𝑘 2 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 2 (1− 𝑘 4 ) Tömeg minimális 𝑚= 4𝜋𝑀 𝐿 2 𝐸 1− 𝑘 2 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 + 𝑘 2 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 2 (1− 𝑘 4 )

Optimalizálás 𝑓 𝑘 = 1− 𝑘 2 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 + 𝑘 2 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 2 (1− 𝑘 4 ) →𝑚𝑖𝑛 𝑓 𝑘 ′ =4𝑘 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑘 2 + 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő − 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 − 𝑘 2 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 − 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 1− 𝑘 4 2 =0 Megoldás: 𝑘=0, 𝑘=± 1− 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 ,𝑘=± 1− 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 − 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő Minimum: nulláról különböző magasabb derivált páros rendű és pozitív 𝑘 𝑚𝑖𝑛 = 1− 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 , ha (Alexander, 1996): 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 =0,5 𝑘 𝑚𝑖𝑛 =0,707 A falvastagság a sugár 29%

Optimalizálás csavarásra 𝜑= 2𝜋𝑀 𝐿 2 𝐸𝐺 1− 𝑘 2 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 + 𝑘 2 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 2 (1− 𝑘 4 ) = 2𝜋𝑀 𝐿 2 𝐸𝐺 𝑓(𝑘) Optimalizálási függvény megegyezik Vékony falú csövek esetén a tömeg, elfordulás és elcsavarodás minimális ugyanazon keresztmetszet esetén. Szilárdságtan!!!

Madárcsontok optimalizálása Madárcsontok optimálása (tömegre) 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő =0 𝑚= 4𝜋𝑀𝑅 𝐸 𝐿 𝜌 𝑐 1− 𝑘 2 1+ 𝑘 2 Tömeg csökken, minél kisebb a falvastagság. Azonos csonttömegből, nagy átmérő, kis falvastagság. Ideális k=1, mai nem megvalósítható. k közel az egyhez, könnyen törik, nagy átmérő, nincs helye. k=0,9: hattyúk humerusa (Alexander, 1996)

Egyéb optimalizálási lehetőségek Fokozatosan elvékonyodó csontok (nyomaték követése): pld bordák Egy irányban nagyobb merevségű csontok (kitüremkedések, bütykök) Szilárdság befolyásoló hatása Zöllner: Leonardo rajzai

Optimalizálás szilárdságra 𝜎 𝑠 = 𝑀 ℎ𝑎𝑗𝑙í𝑡ó 𝐼 𝑦, 𝜀 𝑠 = 𝑀 ℎ𝑎𝑗𝑙í𝑡ó 𝐸𝐼 𝑦, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑦 𝑚𝑎𝑥 = 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 𝐼= 𝜋 4 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 4 − 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő 4 𝜎 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀 ℎ𝑎𝑗𝑙í𝑡ó 𝐼 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő ≤ 𝜎 ℎ𝑎𝑡á𝑟 , 𝑀 ℎ𝑎𝑗𝑙í𝑡ó = 1 𝑅 𝐸𝐼= 𝐸 𝑅 𝜋 4 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő 4 − 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő 4 𝑟 𝑏𝑒𝑙𝑠ő =𝑘∗ 𝑟 𝑘ü𝑙𝑠ő =𝑘∗𝑟 ahol k<1 𝑟= 3 4𝑀 𝜋 𝜎 ℎ𝑎𝑡á𝑟 (1− 𝑘 4 ) 𝑚=𝜋𝐿 4𝑀 𝜋 𝜎 ℎ𝑎𝑡á𝑟 2/3 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 −( 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 − 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő ) 𝑘 2 1− 𝑘 4 2/3 Optimalizálás feltétele: m tömeg minimum, de a szilárdság adott: d𝑚(𝑘) d𝑘 =2π𝐿 4𝑀 𝜋 𝜎 ℎ𝑎𝑡á𝑟 2/3 𝑘 − 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 − 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝑘 4 +4 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑘 2 −3 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 − 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 3 1− 𝑘 4 5/3 =0 𝑘 𝑜𝑝𝑡 = 2− 1−3( 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 ) 2 −6 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 1− 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 , ha 𝜌 𝑣𝑒𝑙ő 𝜌 𝑐𝑠𝑜𝑛𝑡 =0,5 akkor 𝑘 𝑜𝑝𝑡 =0,63

Néhány k érték Meghatározása RTG, CT elemzésekkel (Alexander, Horváth Gábor) nyúl: femur 0,87, humerus 0,55 róka: femur 0,63 (0,68±0,036), humerus 0,59 oroszlán: femur 0,56, humerus 0,42 dolmányos varjú: humerus (levegő) 0,78, femur (velő) 0,79 fekete csőrű szarka: humerus (levegő) 0,78, femur 0,77 (k=1-hez közelít) ember: femur: 0,498±0,085 (kaudalis-hátsó) 0,589±0,07 (mediális-belső) fiatalok: femur 0,549 (kaudalis) 0,585 (medialis) (csontosodás nem fejeződött be)

Emberi tibia antero-lateralis corticalis részében keletkező feszültségek Layon LE, Hampson WGJ, Goodship AE et al (1975): Bone deformation recorded in vivo from strain gauges attached to the human tibial shaft. Acta Ortop Scan 46, 256 Futók fáradásos törése

Köszönöm a figyelmet!