A Fizikai összefüggések származtatásának alapjai dr. Majár János

célok, megjegyzések A fizikai összefüggések helyes felírásához szükséges tudások átadása Minta-gyakorlatok kidolgozása, melyek segítségével ezek használata fejleszthető Ezek segítségével a feladatmegoldás során a részeredmények és a formális végeredmény is ellenőrizhető (ellenőrizendő) Az érintett területek rövid, összefoglaló bemutatása Az egyes diák elkészítésénél igyekeztem csak olyan funkciókat használni, amelyek csak az alapprogramra építenek.

Tartalom Vektorokkal végzett műveletek (koordinátarendszerben is) Vektorok, azok felírása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben Vektorokkal végzett műveletek (koordinátarendszerben is) Vektorok és skalárok között végzett helyes műveletek kiválasztása Mértékegységek, azok helyes használata a számolások során Prefixumok, mértékegységek átváltása Példaként alapvető fizikai mennyiségek, azok mértékegységei, meghatározásuk a Mechanika területéről Gyakorlatok – ezek tényleg csak mintául szolgálnak, ezek alapján hasonlóak könnyedén kidolgozhatóak, a mennyiségek felírása után más tudományterület esetében is.

a Vektor FOGALMA Vektor: Hossz + Irány Félkövér betűvel jelölve Számok (skalárok) dőlt betűvel jelölve Megjegyzés: ezen vektorok mindegyike ugyanaz a vektor, mivel hosszuk és irányuk azonos a Egységvektorok derékszögű Descartes-koordinátarendszerben: y A választott koordinátarendszerben: i: az x tengely irányába mutató egységvektor j: az y tengely irányába mutató egységvektor k: a z tengely irányába mutató egységvektor Megjegyzés: egységvektor: 1 (egységnyi) hosszúságú vektor j i x k z

VEKTOROK DERÉKSZÖGŰ DESCARTES-KOORDINÁTA-RENDSZERBEN Megjegyzés: bár később lesz részletezve, az itt látható számolásokhoz szükségesek a vektorok összeadására és számmal való szorzására vonatkozó ismeretek (lásd később) y a j i x k z Jól láthatóan a=5i+2j+3k, ezzel egyenértékű, hogy a=(5, 2, 3). Általában, ha a=ax i+ay j+az k, akkor ehelyett a koordinátarendszerben úgy írjuk fel, mint a=(ax , ay , az ).

Derékszögű Descartes-rendszerben Vektorok összeadása és kivonása Összeadás: Vektor + Vektor = Vektor Derékszögű Descartes-rendszerben c=a+b=(cx , cy , cz ), ahol cx = ax + bx , cy = ay + by , cz = az + bz . a vagy c=a+b b Kivonás: Vektor - Vektor = Vektor d=a-b=(dx , dy , dz ), ahol dx = ax - bx , dy = ay - by , dz = az - bz . a d=a-b vagy d=a+(-b) b

Derékszögű Descartes-rendszerben Vektor szorzása számmal Derékszögű Descartes-rendszerben Skalár * Vektor = Vektor Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jelét elhagytuk, így c=μa c= μa =(cx , cy , cz ), ahol cx = μ ax , cy = μ ay , cz = μ az . -1 > μ: irány ellentétes hossz nő μ > 1: irány azonos hossz nő a μ = 1: irány azonos hossz azonos μ = -1: irány ellentétes hossz azonos 1 > μ > 0: irány azonos hossz csökken μ = 0: Az eredmény nullvektor c c c c 0 > μ > -1: irány ellentétes hossz csökken c c c μ > 1 μ = 1 1> μ > 0 μ = 0 -1 > μ μ = -1 0 > μ > -1

Derékszögű Descartes-rendszerben Vektor szorzása vektorral – a skaláris szorzás Vektor * Vektor = Skalár Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘·’, így a·b = μ = |a||b|cosγ , Derékszögű Descartes-rendszerben μ = a·b = ax bx + ay by + az bz , vagyis így |a|2= a·a= ax2 + ay2 + az2 , a γ b ahol |a| az a vektor hossza, és kiszámolható, mint (b-re hasonló): |a|2= a·a , illetve cosγ = a·b / (|a||b|).

Derékszögű Descartes-rendszerben Vektor szorzása vektorral – a vektoriális szorzás Vektor * Vektor = Vektor Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘×’, így a×b = c , ahol - |c| = |a||b|sinγ Derékszögű Descartes-rendszerben c=a×b=(cx , cy , cz ), ahol cx = aybz - azby , cy = azbx - axbz , cz = axby - aybx . - c merőleges a-ra és b-re - a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály a · · γ c b

Derékszögű Descartes-rendszerben Megjegyzések Derékszögű Descartes-rendszerben Skaláris szorzás szélsőhelyzetei 1. a azonos irányú b-vel: γ = 0 -> a·b = μ = |a||b| 2. a merőleges b-re: γ = 90° -> a·b = μ = 0 3. a ellentétes irányú b-vel: γ = 180° -> a·b = μ = - |a||b| Ha a skaláris szorzat értéke 0, a két vektor merőleges (egyik sem nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk. Vektoriális szorzás szélsőhelyzetei 1. a párhuzamos b-vel: γ = 0 -> |c| = 0, c nullvektor 2. a merőleges b-re: γ = 90° -> |c| = |a||b| Ha a vektoriális szorzat vektor mindegyik komponense 0, a két vektor párhuzamos (egyik sem nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk. Vektoriális szorzás fordított sorrendben Mivel a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály szerint kell működjön, ha megfordítjuk a sorrendet: a×b = - b×a . Ha a vektoriális szorzatot komponensenként felírjuk, ez a szabály jól láthatóan teljesül a két vektor szerepének felcserélésekor.

Approved Műveletek vektorok és skalárok között Skalár ± Skalár = Vektor Skalár ± Skalár = Skalár Vektor ± Skalár = Bármi Vektor ± Vektor = Vektor Vektor ± Vektor = Skalár Skalár * Skalár = Skalár Skalár * Vektor = Skalár Approved Skalár * Vektor = Vektor Bármi / Vektor = Bármi Vektor · Vektor = Vektor Vektor · Vektor = Skalár Skalár · Vektor = Bármi Vektor × Vektor = Vektor Vektor × Vektor = Skalár Vektor × Skalár = Bármi

Jele és vektor/skalár jellemző Fizikai mennyiségek és mértékegységeik (Mechanika) Mennyiség Jele és vektor/skalár jellemző Mértékegység Elmozdulás r m (méter) Idő t s (másodperc) Sebesség v m/s Gyorsulás a m/s2 Szögelfordulás* φ (kis phi) radián, számolásokban ‘1’ Szögsebesség* ω (kis omega) 1/s Szöggyorsulás* β (kis beta) 1/s2 Tömeg m kg (kilogramm) Lendület (impulzus) I (vagy p) kg m/s Erő F N (Newton) Perdület L kg m2/s Forgatónyomaték M Nm Energia E J (Joule) Munka W J Teljesítmény P W (Watt) Tehetetlenségi nyomaték* Θ (nagy theta) kg m2 Sűrűség ρ (kis rho) kg/m3 Nyomás p Pa (Pascal) * Ezek a mennyiségek bevezethetőek vektorként, illetve tenzorként (tehetetlenségi nyomaték), de jelen anyagban ezeket skalárként kezeljük.

Mértékegységek helyes kezelése A mértékegységek szorzás során összeszorzódnak A mértékegységek osztás során ugyanúgy osztandóak egymással, mint a mennyiségek Differenciálás során a derivált mennyiség mértékegységét osztjuk a változó mértékegységével Integrálás során az integrált mennyiség mértékegységét szorozzuk a változó mértékegységével Csak azonos mértékegységű mennyiségek adhatóak össze, vagy vonhatóak ki egymásból! Egy egyenlet két oldalán azonos mértékegységű mennyiségek állhatnak! Egy-egy mennyiség mértékegysége kikövetkeztethető a meghatározásából. Egy adott fizikai mennyiség mértékegysége jelölhető úgy is, hogy a mennyiség jelét [ ] rázójelek közé írjuk, például a sebesség mértékegysége m/s, vagy [v].

Geometriai összefüggések és mértékegységek Mennyiség Jele, meghatározása Mértékegység Hosszúság, Kerület …, K m Terület, Felszín T, A m2 Térfogat V m3 Kör (r sugár) kerülete 2r π Kör (r sugár) átmérője d = 2r Kör (r sugár) területe r2 π Téglalap (a,b oldalhosszak) kerülete 2(a+b) Téglalap (a,b oldalhosszak) területe ab Háromszög (a oldal, ma magasság) területe ama /2 Téglatest (a, b, c oldalhosszak) felszíne 2(ab + bc + ac) Téglatest (a, b, c oldalhosszak) térfogata abc Henger (r sugár, m magasság) felszíne 2r2 π+m2r π Henger (r sugár, m magasság) térfogata r2 π m Gömb (r sugár) felszíne 4r2 π Gömb (r sugár) térfogata 4r3 π/3

Meghatározások és mértékegységek Mennyiség Meghatározása Mértékegység Sebesség v = dr/dt m/s Gyorsulás a = dv/dt, illetve g a gravitációs gyorsulás m/s2 Szögsebesség ω = dφ/dt 1/s Szöggyorsulás β = dω/dt 1/s2 Lendület (impulzus) I = mv kg m/s Erő F = ma 1N = 1kg m/s2 Perdület L = r × I kg m2/s Forgatónyomaték M = r × F Nm Energia (példaként mozgási energia) E = ½ mv2 1J = 1kg m2/s2 Munka W = ∫Fdr 1J = 1Nm Teljesítmény P = dE/dt 1W = 1J/s = 1kg m2/s3 Tehetetlenségi nyomaték Θ = ∫ρr2dV, egyszerűbben Θ = mr2 kg m2 Sűrűség és tömeg m = ∫ρdV, egyszerűbben m = ρV kg Nyomás p = F / A 1Pa = 1N/m2 Megjegyzés: a fenti meghatározásokban szerepel néhány olyan mennyiség, amely alaphelyzetben vektor, itt mégis skalárként van feltűntetve (például sebesség a mozgási energiában, vagy erő a nyomásban). Ekkor a skalár nem más, mint a vektor hosszát jellemző szám, vagyis ezekben az esetekben csak a vektorok hosszára van szükségünk.

Prefixumok, átváltások Jele Szorzó 10 hatvány deka- d(a) tíz 101 hekto- h száz 102 kilo- k ezer 103 mega- M millió 106 giga- G milliárd 109 tera- T billió 1012 peta- P billiárd 1015 exa- E trillió 1018 Prefixum Jele Szorzó 10 hatvány deci- d tized 10-1 centi- c század 10-2 milli- m ezred 10-3 mikro- μ milliomod 10-6 nano- n milliárdod 10-9 piko- p billiomod 10-12 femto- f billiárdod 10-15 atto- a trilliomod 10-18 Fontos ezeken felül az idő mérték átváltásánál: 1 h (óra) = 60 min (perc) 1 min (perc) = 60 s (másodperc) Illetve a szögek átváltásánál fok és radián között: 1 fok = π/180 radián, vagyis 1° = π/180 1 radián = 180/π fok, vagyis 1 = 180°/π A térfogatmérték átváltásánál: 1 l (liter) = 1 dm3

Gyakorlat I. g + k = p g * k = p g × k = a g + k = p d * k = p Az alábbi vektorösszefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a vektor, illetve skalár tulajdonságok alapján? g + k = p g * k = p g × k = a g + k = p d * k = p g · k = μ g + k = μ g × k = μ g · k = x g · k = μ g × k = p g - k = p g - k = μ

Gyakorlat II. 1 kg/l = 1000 g/cm3 1000 kg/m3 = 1 kg/dm3 Az alábbi mértékegység-átváltások közül melyek helyesek, és melyek nem? 1 kg/l = 1000 g/cm3 1000 kg/m3 = 1 kg/dm3 1 kg/dm3 = 1000 kg/cm3 3,6 m/s = 1 km/h 1 kg = 1000 g 1 m/s = 3600 km/h 3,6 m/s = 1000 km/h 1000 kg/m3 = 1 g/cm3 1 μg = 10-9 kg 1 m/s = 3600 m/h 1 kg/m3 = 1 g/cm3

Gyakorlat III. [m/V] kg/m3 [ρ] m5 [β] [a] / [r] [ρ] [φ/(2t2)] [ρ V r2] Mely mértékegységek tartoznak össze? Az összetartozók összekötendők. Megjegyzés: a szögletes zárójelben lévő kifejezéseknek a mértékegységét kell használni, vagyis például [E] helyére J (joule) írandó, vagy [s/t] helyére m/s mértékegység. [m/V] kg/m3 [ρ] m5 [β] [a] / [r] [ρ] [φ/(2t2)] [ρ V r2] [L] [mvr] kgm2/s [Θ ] g/cm3 1/s2 kg[r] 2[ω] kg m2

Gyakorlat IV. E = m v2/2 + m/r E = Θ ω2/2 p = ma/A Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek egyeztetése alapján? E = m v2/2 + m/r E = Θ ω2/2 p = ma/A W = m v2/2 + ρ V g h M = m g2 r2 L = Θ v2 t / A V = a t p = ρ g V M = E β t2 v = m V / (Θt) + at P = W / t2 ω = β t2 + φ t

Gyakorlat V. s = β r t2/2 + ω0 r t N*m = kg*m2/s2 = kg*m/s2 *m Az adott fizikai összefüggéshez tartozik egy vektortulajdonságokat, és egy mértékegységeket egyeztető elem. Ezeket kellene összekötni! s = β r t2/2 + ω0 r t N*m = kg*m2/s2 = kg*m/s2 *m skalár = skalár4 W = m * r · d2r/dt2 kg*m2 = kg/m3*m2*m3 vektor = skalár*vektor × vektor |M| = Θβ W = N*m/s = kg*m2/s3 skalár = skalár2 p = ρVg /A kg*m2/s = kg*m*m/s = [Θ]*[ω] skalár = vektor · vektor P = F · v Pa = N/m2 = kg/m3*m3*m/s2/m2 skalár = skalár3/skalár L = m r × v m = m*1/s2 *s2+1/s *m*s skalár = skalár * vektor · vektor J = kg*m*m*1/s2 = kg*m2/s2 skalár = skalár4 + skalár3 Θ = ∫ρr2dV

Gyakorlat VI. F = W / r p = ρ V |g| / A ω = L / Θ p = F / A Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor-tulajdonságok egyeztetése alapján? F = W / r p = ρ V |g| / A ω = L / Θ p = F / A E = m v2/2 + ρ |g| h I = m*dr/dt |L| = Θ ω r = g t2/ 2 + v0 t P = W / t I = m · v E = Θ ω2/2

Gyakorlat VII. |m r × v| = Θ ω |F| r = ρ r2 V β dF/dt = M × r Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor-tulajdonságok egyeztetése alapján? |m r × v| = Θ ω |F| r = ρ r2 V β dF/dt = M × r ρ g · h = F / A Θ / m = a2/t4 + It/m I2/(2m) = mr2ω2/2 dI/dt = dm/dt v + ma dW/dt = F · v F · r - m |g| h = m v2/2 p1 + ρ1 g h1 = p2 + ρ2 g h2 r / t2 = F/(2m) + I0/(mt)

KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!