A HÁROMSZÖGSZÁMOKRÓL - SZEMLÉLETESEN Dr. Molnár István Borbola Gábor Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar XIX. Hajnal Imre Matematika Tesztverseny és Módszertani Nap Gyula, 2015. március 21.
Bevezető feladat A dominójáték készletében a dominókon különböző számú pontok ( 0 - 6 ) kombinációi találhatók. A készletben minden lehetséges párosítás pontosan egyszer fordul elő. Hány darabból áll a teljes dominó készlet?
Bevezető feladat megoldása 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =28
Háromszögszámok fogalma Definíció A háromszögszámok olyan számok, amelyek előállnak az első néhány egymást követő pozitív egész szám összegeként. Jelölés Jelölje Tn az n-edik háromszögszámot. Kiszámítása
Háromszögszámok fogalma
Háromszögszámok tulajdonságai
1. tulajdonság Bizonyítás
1. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
2. tulajdonság Bizonyítás
2. tulajdonság Szemléletes bizonyítás n
3. tulajdonság Bizonyítás
3. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
4. tulajdonság Bizonyítás
4. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
5. tulajdonság Bizonyítás A 3. és 4. tulajdonság felhasználásával: Az 2. tulajdonság alapján:
5. tulajdonság Szemléletes bizonyítás 2n+1 2n+1
6. tulajdonság Bizonyítás A kilences számrendszerbeli szám a tízes számrendszerben háromszögszám. Bizonyítás
6. tulajdonság Szemléletes bizonyítás A kilences számrendszerbeli szám a tízes számrendszerben háromszögszám. Szemléletes bizonyítás
7. tulajdonság Bizonyítás Egy háromszögszám kilencszereséhez egyet hozzáadva újabb háromszögszámot kapunk. Konkrétan: Bizonyítás
7. tulajdonság Szemléletes bizonyítás 3n+1 Egy háromszögszám kilencszereséhez egyet hozzáadva újabb háromszögszámot kapunk. Szemléletes bizonyítás 3n+1
Háromszögszámok váltakozó előjelű összegekben
8. tulajdonság Bizonyítás a) ha n páros, azaz , akkor
8. tulajdonság Bizonyítás (folytatás) b) ha n páratlan, azaz , akkor (figyelembe véve az a) pont eredményét)
8. tulajdonság Szemléletes bizonyítás – ha n páros
8. tulajdonság Szemléletes bizonyítás – ha n páratlan
9. tulajdonság Bizonyítás
9. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
10. tulajdonság Bizonyítás felhasználva a 9. tulajdonságot
10. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
Háromszögszámok néhány további tulajdonsága
11. tulajdonság Bizonyítás
11. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
Tetraéderszám A összeg egy tetraéderszám. Szemléletes bizonyítás
Pascal-háromszög % Természetes számok Háromszögszámok Tetraéderszámok
Piramisszám Két egymást követő tetraéderszám összege egy piramisszám. Bizonyítás Mivel és a 2. tulajdonság alapján
Piramisszám Két egymást követő tetraéderszám összege egy piramisszám. Szemléletes bizonyítás
12. tulajdonság Bizonyítás
12. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
13. tulajdonság Bizonyítás 1. tulajdonság alapján Ezért
13. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
14. tulajdonság Bizonyítás Mivel , továbbá a 13. tulajdonság szerint , ezért
14. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
Köszönjük a figyelmet! borbola.gabor@gk.szie.hu molnar.istvan@gk.szie.hu