Egyenletek középszinten, emelt szinten, versenyszinten Katz Sándor, Bonyhádi Petőfi S. Ev. Gimn. http://www.bomateka.hu/pseg-matek/ppt/Egyenletek.ppt

kialakításában, tisztázásában, elmélyítésében. Olyan feladatokat vizsgálunk, amelyek segítnek fogalmak, tételek kialakításában, tisztázásában, elmélyítésében.

Mi az egyenlet? f(x) = g(x) Egyenlet: (x+1)2 = x2 +2x +1 Azonosság: Azt a logikai függvényt, amelyben két kifejezést egyenlőségjellel (=) kötünk össze, egyenletnek nevezzük. f(x) = g(x) Egyenlet: Milyen valós x számokra igaz a következő egyenlőség? (x+1)2 = x2 +2x +1 Azonosság: Igazoljuk, hogy minden valós x-re teljesül!

További fogalmak f(x) = g(x) Az egyenlet értelmezési tartománya Az egyenlet megoldáshalmaza Az egyenlet megoldása f(x) = g(x) → f1(x) = g1 (x) → f2(x) = g2 (x) → … Két egyenletet ekvivalensnek nevezünk, ha ugyanazok a gyökei. Ha egy átalakításnál a gyökök halmaza nem változhat meg, akkor ekvivalens átalakításnak nevezzük. Ha az egyenlet megoldása során csak ekvivalens átalakításokat végzünk, akkor elegendő ennek a megállapítása, a gyököket behelyettesíteni nem szükséges.

Két, figyelmet igénylő átalakítás Ha az új egyenletben a gyökök halmaza bővebb lesz, az eredeti egyenlet minden gyöke továbbra is megoldás lesz, de újabb gyök (hamis gyök) is belép; az ilyen egyenletet az előző következményének nevezzük. Ha olyan átalakítást végzünk, amelynél hamis gyök is beléphet, akkor a kapott gyököket ellenőrizni kell, a hamis gyököket ki kell szűrni. Olyan átalakítást végezni, amelynél a gyökök halmaza szűkebb lesz, (gyökvesztés) nem szabad.

Milyen konkrét átalakításokat szabad végezni ? Figyeljük az értelmezési tartományt! Ha bővebb lesz, hamis gyök léphet be. Többnyire azt is tudjuk, hogy mi léphet be hamis gyökként. Ha szűkebb lesz, gyökvesztés léphet fel. Itt is figyeljük, hogy mivel lett szűkebb, milyen gyök veszhet el?

Amikor az értelmezési tartomány bővebb lesz

Amikor az értelmezési tartomány bővebb lesz log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1 log2 (x-3)(x-2) = log2 2 (x-3)(x-2) = 2 x2 –5x +4 =0 x1=1, x2 =4. Az x2 =4 kielégíti az egyenletet, de az x1=1 nem jó. Hol lépett be a hamis gyök? A log2 (x-3) + log2 (x-2) = log2 (x-3)(x-2) azonosság alkalmazásakor az értelmezési tartomány bővebb lett. (A másodikba x<2 is bele tartozik.) Ha az értelmezési tartomány bővebb lett, akkor a kapott gyököket ellenőrizni kell: íme most be is lépett hamis gyök.

Amikor az értelmezési tartomány szűkebb lesz lg3 (x-3)2 = 2 2·lg3 (x-3) =2 lg3 (x-3) =1 x-3=3 x = 6 Csakhogy x=0 is megoldás. Hol veszett el? Az alkalmazott azonosság helyesen lg3 (x-3)2 = 2·lg3 | x-3|

Amikor az értelmezési tartomány szűkebb lesz Térjünk át x alapra! Helyettesítsünk y = logx 2 –t! 2+3y + 1+y = 0 y = -3/4 Ez a gyök kielégíti az egyenletet.

Amikor az értelmezési tartomány szűkebb lesz Térjünk át x alapra! Helyettesítsünk y = logx 2 –t! 2+3y + 1+y = 0 y = -3/4 Ez a gyök kielégíti az egyenletet, de észrevehető, hogy x=1 is kielégíti.

Az x=1 gyök az x alapra való áttérésnél veszett el, a második egyenlet már x=1 esetén nincs értelmezve, tehát amikor a azonosságot alkalmaztuk, az értelmezési tartomány szűkebb lett. Ezúttal helyesen alkalmaztuk az azonosságot, de az értelmezési tartomány változása miatt meg kell néznünk, hogy az a szám, amely kiesett az értelmezési tartományból (x=1), nem gyök-e? (Ha nem x, hanem 2-es alapra térünk át, a gyökvesztés itt is elkerülhető lett volna.)

Ismét egy azonosság, amelynél az értelmezési tartomány szűkebb lesz, ezért elveszik egy gyök. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

Alkalmazzuk a azonosságokat! A kapott gyökök kielégítik az (1.) egyenletet.

A kapott gyökök jók, de az is látható, hogy is kielégíti. Hogyan lehetséges ez? Hol veszett el ez a gyök? A azonosságok alkalmazásánál az értelmezési tartomány szűkebb lesz!

Ezért az azonosságok alkalmazásakor meg kell vizsgálni, nem vesztettünk-e gyököt, azaz hogy azok a számok, amelyekkel az értelmezési tartomány szűkebb lett, megoldásai-e az eredeti egyenletnek. Látható, az eredeti (1.) egyenletnek gyöke, de (2.)-nek és a következőknek már nem. Tehát az (1.) egyenlet gyökei és , ahol .

A két oldalt egyformán változtatjuk Mindkét oldalt szorozzuk Pl. (x-3)-mal, vagy (x2+1)-gyel. Mindkét oldalt osztjuk Pl. x(x-3) = 5(x-3) → x = 5 x(x2+3) = 5(x2+3) → x = 5 Javaslat? →

Mindkét oldalra alkalmazunk egy függvényt: f(x) = g(x) → h(f(x)) = h(g(x)) Ha h nem kölcsönösen egyértelmű, akkor hamis gyök léphet be. Pl. négyzetre emelésnél. f 2(x) = g2 (x) nemcsak akkor igaz, ha f(x)=g(x), hanem akkor is, ha f(x) = - g(x). Ha h kölcsönösen egyértelmű, akkor nem léphet be hamis gyök. Pl. köbre emelésnél. f 3(x) = g3 (x) akkor és csak akkor igaz, ha f(x) = g(x).

„Elhagyunk” egy függvényt h(f(x)) = h(g(x)) (*) → f(x) = g(x) (**) Ha h R-en értelmezett, kölcsönösen egyértelmű, akkor (**) és (*) ekvivalens. Pl. 2x+3=22x → x+3=2x, vagy (x+3)3 =(2x)3 → x+3=2x Ha h nem minden valós számra értelmezett, de kölcsönösen egyértelmű, akkor (**) az (*)-nak következménye lehet, hamis gyök léphet be. Pl. a lg(x-3)=lg 2x → x-3=2x, vagy → x-3=2x átalakítások alkalmazhatók, de hamis gyököt eredményezhetnek. Ha h nem kölcsönösen egyértelmű, akkor h nem hagyható el, mert elhagyása gyökvesztést eredményezhet. Pl. sin (x+π/3)=sin 2x →x+π/3=2x, vagy (x+3)2 =(2x)2 → x+3=2x

Köbre emelni szabad? (a-b)3 = a3 – b3 - 3ab(a-b) Mivel csak köbre emelést végeztünk, ezért a kapott gyök nyilván jó. Vagy mégse?

Köbre emelni szabad? (a-b)3 = a3 – b3 - 3ab(a-b) Számoljunk utána! x =1 (1.)-nek (2.)-nek és (3.)-nak még nem gyöke, de (4.)- nak már gyöke.

Magyarázat Miért jöhet be az eredeti egyenlet visszahelyettesítésénél hamis gyök? Ennél a visszahelyettesítésnél azt mondhattuk volna helyesen, hogy ha az eredeti egyenletnek van gyöke, akkor a bal oldal 1-gyel egyenlő. Tehát az egyenlet egyik oldala helyett a másik behelyettesítése nem ekvivalens átalakítás.

Másképpen is lehet Az egyik leggyakoribb „alternatív” módszer, a két oldal értékkészletének összehasonlítása 4sin x +cos 2x= -5 2. 4. 2-cos x =log x +logx  6. 7. 8. 9.

A egyenlet megoldása Alkalmazzuk a számtani és mértani közép összefüggését minden sorban kétszer. Ezeket összeadva az egyenlőtlenséget kapjuk, amelyben egyenlőség akkor és csak akkor állhat, ha x=y=z.

Függvénytulajdonságok alkalmazása Monotonitás: 1. 12x + 5x =169, 2. 12x + 5x =13x , 4. 5. 6.

A 6. feladat megoldása x = y =0 megoldás. Ezután tegyük fel, hogy y ≠ 0. A első egyenlet: Tekintsük az f(t) = t5 +t szigorúan monoton függvényt: → → x = y2. (1.) A második egyenlet: Tekintsük az g(t) = t3 +t szigorúan monoton függvényt: → x2 =2y. (2.) (1.) és (2.)-ből a megoldások

Függvénytulajdonságok alkalmazása Konvex, konkáv: Paritás: 1. 2. 3. Az a paraméter mely értékei esetén van pontosan egy olyan (x;y) számpár, amely megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

A 3. feladat megoldása Mindkét egyenlet mindkét oldala x-nek páros függvénye, ezért ha (x;y) megoldás, akkor (-x;y ) is az. Ezért csak úgy lehet egy megoldáspár, ha x=0. x=0-t a második egyenletbe írva y = 1. Az első egyenletből a=0 v. a=2 lehet csak. Ellenőrizzük, hogy ezek jók-e? a=0 esetén: 0=y +1-x, x2 +y2 =1. A (0;-1), (1;0), (-1;0) számpárok mind megoldások, tehát a=0 esetén nem csak egy megoldáspár van. a=2 esetén: 2x4+2=y +1-x, x2 +y2 =1. Az x=0 y=1 számpár megoldás. Az első egyenlet y = 2x4 +x+1 alakjából látható, hogy ha x0, akkor y >1, ezért a második egyenletnek nem lehet megoldása. Tehát a=2 esetén van egy megoldáspár, x = 0 y = 1 az egyetlen megoldás

Függvények alkalmazása másképp (x2-3x+3)2 -3(x2-3x+3) +3 =x, Ha f(x)=x2-3x+3, akkor egyenletünk f(f(x))=x alakú. Ha egy x valós számra f(x)=x teljesül, akkor arra az x-re f(f(x))=x is teljesül. Ezért először keressük meg az x2-3x+3 =x egyenlet megoldásait. Ezek x=1 és x=3. Ezek az eredeti x4 -6x3 +12x2 -10x +3 =0 egyenletnek is megoldásai. Osszuk el a bal oldalt két ismert gyökhöz tartozó gyöktényezők szorzatával (x2-4x+3)-mal! A hányados x2-2x+1, ennek x=1 a kétszeres gyöke. Tehát az eredeti egyenletnek csak a fenti két gyöke van: x=1 és x=3.

Milyen f függvény esetén igaz, hogy ha f(f(x))=x, akkor f(x)=x is teljesül? Ha f szigorúan monoton növekvő, akkor a fenti állítás igaz. Tegyük fel, hogy f(f(x))=x, (1.) de f(x)=x nem teljesül, hanem pl. f(x) < x (2.). Ha f szigorúan monoton növekvő, akkor (2.) miatt f(f(x)) <f(x), de (2.) szerint f(x) < x, azaz f(f(x)) <x. Ez ellentmond (1.)-nek. Ez a bizonyítás nem működik, ha f szigorúan monoton csökkenő. Egyszerű ellenpélda az f(x)=1/x függvény, amelynél bármely x≠0 esetén f(f(x))=x, de f(x)=x csak x=±1 esetén teljesül. A monotonitásra hivatkozó korábbi feladatokban mindegy volt, hogy a függvény monoton növekvő, vagy csökkenő. A következő példában is lényeges, hogy milyen típusú a növekedés.

Függvény és inverze f -1(x) = f(x) alakú egyenletek (*) 1. KöMaL B4027. NMMV 2002. 2. NMMV 2003. 3. a) b)

Vegyük észre, hogy az függvény inverze az függvény. Márpedig ha két függvény egymás inverze, akkor grafikonjaik az y=x egyenesen metszik egymást. Tehát elegendő az egyenletet megoldani. Beszorozva az x3-6x2+11x-6=0 egyenletet kapjuk, amely szorzattá alakítható (x-1)(x-2)(x-3)=0. Az 1, 2, 3 gyökök valóban kielégítik az eredeti egyenletet.

Grafikusan ellenőrizhető

Most is a két függvény egymás inverze. Ezért elegendő megoldani az x = 2-x3 egyenletet. Az x3+x-2=0 egyenlet bal oldala szorzattá alakítható: (x-1)(x2+x+2)=0 Ennek csak az x=1 a megoldása. Grafikusan ellenőrizve:

Látható, hogy csak egy megoldás van Látható, hogy csak egy megoldás van. De ha kicsit elmozgatjuk a grafikonokat, úgy, hogy egymás inverzei maradjanak, (pl. egyiket jobbra c-vel, a másikat felfelé c-vel.) akkor már nem biztos, hogy mindig 1 megoldás lesz.

Pl. c = 0,8 nál

c = 1 esetén öt metszéspont lesz, és csak egy lesz az y =x egyenesen

Meglepő tapasztalat Tehát az egyenletnek öt megoldása van, és csak egy lesz az egyenletnek is megoldása. Fenti egyenletünk azonos a korábbi felsorolás 3/b egyenletével. Így a fenti ötlet ennek csak egy megoldást adná meg az ötből. Tehát hibás az az állítás, hogy ha egy invertálható függvény és inverzének a képe metszi egymást, akkor a metszéspont az y=x egyenesen van!

A helyes tétel Ha az függvény szigorúan monoton növekvő, akkor a halmazon az egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az f(x)=x egyenlet megoldáshalmazával. Megjegyzés: A szigorúan monoton növekedés elegendő feltétel, de nem szükséges. Ha f szigorúan monoton csökkenő de f ’ monoton, akkor is igaz a tétel. (Páll Csaba, Pécs Nagy L. Gimnázium) 2017.04.18. 16:49 39 39

Új egyenlet 1. Az a paraméter mely értékei esetén van pontosan egy megoldás? 25x -(a-1)5x +2a+3=0 t=5x. Új egyenlet: t2 – (a-1)t +2a-3 = 0. Kérdés? 2. A p paraméter mely értékei esetén lesz négy valós gyöke az x4+3x3+px2+3x+1=0 egyenletnek? → → t2+3t +p -2=0. Kérdés? 3. Határozzuk meg azokat az (a,b) számpárokat, amelyekre az egyenletnek pontosan egy gyöke van, és a megfelelő P(a;b) pontokat ábrázoljuk koordináta-rendszerben! Beszorzás után az új egyenlet: Milyen kérdést tegyünk fel erre?

Felhasznált és ajánlott irodalom Cikkek [1.] BUDANCEV-VARGA T.: Azonos átalakítások és egyenletek függvénytani tárgyalása KöMaL 1952. nov. [2.] SCHUSTER GYULA: Megjegyzések az ekvivalenciaproblémák középfokú magyarázatához A Matematika Tanítása 1972/2. [3.] RÁBAI IMRE: Vigyázat szűkítő azonosság! A Matematika Tanítása 1985/4. [4.] RÓKA SÁNDOR: Egyenletmegoldás függvényvizsgálattal A Matematika Tanítása 1996/4. [5.] KATZ SÁNDOR: Egyenletek ekvivalenciája MATERMATIKA TANÁRI KINCSESTÁR 2002. [6.] Егоров А., Раббот Ж., Монотонные функции в конкурсных задачах KVANT, 2002/6. [7.] Ábrahám Gábor: Az f -1(x)=f(x) típusú egyenletekről, ..és egyéb érdekességek KÖMAL 2010. dec Könyvek: [8.] SZTOLJÁR: A matematikatanítás módszerei Tankönyvkiadó 1970. [9.) SZTOLJÁR: A matematikatanítás logikai problémái Tankönyvkiadó 1970. [11] .SURÁNYI JÁNOS: Polinomok, egyenletek az iskolában Fővárosi Pedagógiai Intézet 1977. [12.] KATZ SÁNDOR: Matematika feladatsorok - Egyenletek MOZAIK Kiadó 1995. [13.] KATZ SÁNDOR: A Fejér L. Matematikaverseny feladatai Zalamat 2009. [14.] Olosz Ferenc: Egyenletek I. –II. Zalamat 2012. Rátz László Vándorgyűlés előadás anyaga [15.] ÁBRAHÁM GÁBOR Az f ( x )=f -1 ( x ) típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelőssége és egyéb érdekességek http://rlv.berzsenyi.hu/2010/