Adalékok egy véges összegzési feladathoz Dr. Molnár István Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar Békéscsaba

„ …egy matematikai feladattal éppoly jól el lehet szórakozni, mint egy keresztrejtvénnyel” Pólya György

Kiinduló probléma Feladat: Létezik-e 2n + 1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám összege egyenlő az utolsó n darab szám összegével? Feladat:

A feladat megoldása Legyen: Állítás: Innen: Tehát a keresett 2n+1 darab szám, bármely esetén:

Másik feladat Általánosan: Feladat: Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám összege egyenlő az utolsó n-1 darab szám összegével? Feladat:

Szemléletes bizonyítás Állítás:

Az alapfeladat általánosítása Adjunk meg végtelen sok olyan n-et, amelyre teljesül, hogy az első n darab pozitív egész szám összege egyenlő a következő néhány egymás utáni egész szám összegével! Legyenek , ahol Állítás: Legyen diofantikus egyenlet

A diofantikus egyenlet Az diofantikus egyenlet Az x és az y is páratlan szám, azaz elegendő belátnunk, hogy az egyenletnek végtelen sok megoldása van a pozitív páratlan egész számok halmazán. a, Ha u és v páratlan számok, akkor 3u+4v és 2u+3v is páratlan b, Ha (u;v) számpár megoldás, akkor megoldás a (3u+4v ; 2u+3v) is, mivel

Megoldások A (7;5) megoldása az egyenletnek, melyből további megoldások származtathatók: x 7 41 239 1393 ... y 5 29 169 985 k 3 20 119 696 n 2 14 84 492 azaz

Feladat négyzetek összegére Létezik-e 2n+1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám négyzetösszege egyenlő az utolsó n darab szám négyzetösszegével? Legyen: Állítás:

Megoldás négyzetek összegére Tehát a keresett 2n+1 szám bármely esetén: Általánosan:

Az első néhány megoldás Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám négyzetösszege egyenlő az utolsó n-1 darab szám négyzetösszegével? Feladat:

Feladat általánosítása I. Léteznek-e olyan n-ek, amelyre teljesül, hogy az első n darab pozitív egész szám négyzetének összege egyenlő a következő néhány egymás utáni egész szám négyzetének összegével? Legyenek n, k egész számok úgy, hogy Teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek: Az ismert összegképletek alapján kapjuk, hogy

Feladat általánosítása II. Átrendezve: Legyen y=2k+1 és x=2n+1. Így az diofantikus egyenlethez jutunk.

Kapcsolat a háromszögszámokkal 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45; 55; 66; 78; 91; 105; 120; 136; 153; 171; 190; 210;…

Háromszögszámok összege A háromszögszámokat tanulmányozva: Jelölje tn az n-edik háromszögszámot: Létezik-e 2n (n pozitív egész) darab egymás utáni háromszögszám úgy, hogy az első n+1 darab háromszögszám összege egyenlő az utolsó n-1 darab háromszögszám összegével? Feladat:

Háromszögszámok összege I. Legyen a 2n darab egymást követő háromszögszám: Állítás: Mivel

Háromszögszámok összege II. A műveletek elvégzése, átrendezés és az összevonások után: Megfelelő csoportosítás után: Vagyis A keresett háromszögszámok: Általánosan:

Általánosítás háromszögszámokra I. Léteznek-e olyan n-ek, amelyre teljesül, hogy az első n darab háromszögszám összege egyenlő a következő néhány egymás utáni háromszögszám összegével? Legyenek n, k egész számok úgy, hogy Teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek:

Háromszögszámok összege Állítás: Szemléletes bizonyítás

Általánosítás háromszögszámokra II. Felhasználva, hogy kapjuk Átrendezve: Legyen y=k+1 és x=n+1. Így az diofantikus egyenlethez jutunk.

További feladatok Létezik-e 2n+1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy első n+1 darab szám köbeinek összege egyenlő az utolsó n darab szám köbeinek összegével? Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy első n+1 darab szám köbeinek összege egyenlő az utolsó n-1 darab szám köbeinek összegével? Létezik-e 2n (n pozitív egész) darab egymás utáni háromszögszám úgy, hogy az első n+1 darab háromszögszám négyzetének összege egyenlő az utolsó n-1 darab háromszögszám négyzetének összegével?

„ A nagy felfedezések nagy feladatokat oldanak meg, de nincs olyan feladat, amelynek megoldásához ne volna szükség valami kis felfedezésre.” Pólya György

Köszönöm a figyelmet ! molnar.istvan@gk.szie.hu