Húrnégyszögek Ptolemaiosz tétele

Az előadások a következő témára: "Húrnégyszögek Ptolemaiosz tétele"— Előadás másolata:

1 Húrnégyszögek Ptolemaiosz tétele
D d C f c a e B b A Markó Zoltán 11.C

2 Érvényes a húrnégyszögek tétele
D A B C a b c d f e Olyan négyszög, amely köré kör írható - melynek oldalai egy kör húrjai Érvényes a húrnégyszögek tétele

3 Húrnégyszögek tétele D A B C a b c d Bizonyítás: kerületi és középponti szögek tételével: kerületi szögek; középponti szögek. A tétel megfordítása is bizonyíthatóan igaz.

4 Húrnégyszög kerülete, területe
D A B C a b c d f Terület meghatározása: Koszinusztétel:

5 Az egyenletek jobb oldalát egyenlővé téve, és kihasználva, hogy:
C a b c d f Tehát: Az egyenletek jobb oldalát egyenlővé téve, és kihasználva, hogy: Rendezve ra:

6 A húrnégyszög T területe:
D A B C a b c d f Vagyis:

7 A kapott képletet -ra rendezve:
B C a b c d f A kapott képletet ra rendezve: Négyzetre emelve (1)-et és (2)-t: Mivel :

8 Az egyenletet rendezzük -re:

9 Ez a húrnégyszög területképlete.
Kaptuk tehát, hogy: A húrnégyszög félkerülete: Ezt beírva az egyenletbe: 16-tal osztva, és négyzetgyököt vonva: Ez a húrnégyszög területképlete.

10 Klaudiosz Ptolemaiosz
Kr. u. 87-ben született, Felső-Egyiptomban Alexandriában dolgozott „Térképészet atyja” Művei: - Nagy Hadrend - Földrajzi tanítás Kr. u. 160-ban halt meg

11 Ptolemaiosz tétele D A B C a b c d f e Egy húrnégyszög átlóinak szorzata megegyezik a szemközti oldalak szorzatának összegével:

12 A tétel bizonyítása Vegyünk fel az AC átlón egy E pontot, melyre:
D A B C a b c d f e Vegyünk fel az AC átlón egy E pontot, melyre: E Ugyanakkor:

13 A tétel bizonyítása Az előzőekhez hasonlóan: Valamint: D A B C a b c d
f e Az előzőekhez hasonlóan: E Valamint:

14 Összeadva az (1) és (2) egyenleteket:
B C a b c d f e Vagyis az ábra megfelelő jelöléseivel: Bizonyíthatóan igaz a tétel megfordítása is.

15 Ptolemaiosz tételének alkalmazása egy bizonyításban
C ABCD húrnégyszögben: r D r r O B Thalész tételéből: r kerületi szögek középponti szögek A

16 Felírva a hegyesszögek szögfüggvényeit:
B C O r D -ben általános szinusztétel: Írjuk fel Ptolemaiosz tételét!

17 Behelyettesítve az oldalak hosszára kapott kifejezéseket:
-tel osztva, és átrendezve: A B C O r D Ez nem más, mint egy addíciós tétel.

18 Zárás Ptolemaiosz tétele más feladatokban is sikeresen alkalmazható, és egyes esetekben a feladatmegoldást is egyszerűbbé teszi. D A B C a b c d f e Markó Zoltán 11.C Források: Matematikai Versenytételek,