5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 A CENTR Á LAXONOMET RIKUS LEKÉPEZÉS KOMPUTERGRAFIKAI ALKALMAZÁSA Schwarcz Tibor Komputergrafikai és Könyvtárinformatikai Tanszék

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Bevezetés A projektív ábrázoló geometria vagy centrálaxonometria értelmezése:

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Előzmények T1 Minden perspektív háromszögpár tekinthető egy olyan ortonormált bázis lineáris (centrálaxonometrikus) képének, mely egybevágó egy előre adott ortonormált vektorhármassal. ([KRU23], 184. o. 1. T2 Egy alakzat centrálaxonometrikus képe projektív megfelelője az alakzat centrális vetületének. ([STI71], 134.o) T3 Ha az iránypontok nem kollineárisak, akkor az alakzat centrálaxonometrikus képe affin megfelelője az alakzat egy centrális vetületének. ([STI71], 134.o)

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Előzmények Centrálaxonometria Centrálprojekció –1923 E. Kruppa: szintetikus feltétel

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 –Stiefel :Legyen a projektív tengelykereszt egyik iránypontja végtelen távoli pont, és egyenes merőleges - re. A tengelykereszt által definiált centrál axonometria akkor és csakis akkor centrális projekció, ha fennáll: Előzmények

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Előzmények – H. Stachel-J.Szabó-H.Vogel különböző szintetikus feltételek

5. Gyires Béla Informatikai Nap Havlicek: Előzmények

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 –1995 Stachel : Új bizonyítás Havlicek tételére, geometriai tartalom –2003 Dür : Új feltétel, komplex koordináták bevezetésével –2004 Stachel: Új bizonyítás, geometriai tartalom Előzmények

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Mátrix reprezentáció

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Parametrizáció Program

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Eltűnési sík, centrum

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Árnyalás, láthatóság … PROGRAM

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 A leképezés „centrális” jellege

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Mátrix reprezentáció P 3 -ban Képsík (illeszkedik az origóra): Az egységpontok képei: A végtelentávoli pontok képei:

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Az eredmény P 3 -ban, homogén alakban Rang(A)=3, két sajátérték 1,0

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 A centrálprojekció feltétele

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005

Bizonyítás:

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Geometriai jelentés: a centrálprojekciót a centrum és a képsík meghatározza.

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Bizonyítás

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Gyakorlati alkalmazás: centrálprojeció

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Speciális eset:

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005 Irodalom [1] Stiefel, E.:Zum satz von Pohlke. Comment. Math.Helv. 10(1938), [2] Kruppa, E.:Zur achsonometrischen Methode der darstellenden Geometrie, Sb. Akad Wiss. Wien (math.-nat. Kl.) 119 (1910), [3] Müller, E.,und E. Kruppa: Vorlesungen über darstellende Geometrie, I. Bd.: E Kruppa: Die linearen Abbildungen, Wien, (1923), S.183. [4] J. Szabó, H.Stachel, H. Vogel: Ein Satz über die Zentralaxonometrie. Sitzungsber., Abt. II, österr. Akad. Wiss., Math.-Naturw. Kl. 203, 3-11 (1994) [5] L- Dür: An algebric Equation for Central Projection. J. Geometry Graphics 7, [6] Stiefel, E, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, I. Bd., 3 Aufl. Basel, Stuttgart, (1971) [7] H. Havlicsek: On the Matrices of Central linear Mappings. Math. Bohem, 121, [8] H. Stachel: On Arne Dür’s Equation Concerning Central Axonometries, J. Geometry Graphics 8, , 2004