A folytonosság Digitális tananyag
Folytonosság Az f függvény folytonos az x=a pontban, ha igazak a következő állítások: a f(a) f értelmezett az x=a pontban létezik a határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák Mindenütt értelmezett A függvény tehát minden x=a pontban folytonos. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák Az x=3 pontban nem értelmezett, tehát ebben a pontban nem folytonos. Az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák Vizsgáljuk ki a töréspontban. Az x=-1 pontban értelmezett Mivel a bal és jobb oldali határértékek különböznek, a -1 pontban a függvénynek nincs határértéke A függvény nem folytonos az x=-1 pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példák Vizsgáljuk ki a töréspontban. Az x=2 pontban értelmezett A függvény értéke és a határértéke az x=2 pontban nem egyenlő – a függvény nem folytonos ebben a pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Folytonos függvények Az f függvény folytonos az A halmazon, ha folytonos az adott halmaz minden pontjában. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Folytonossági tételek Ha f és g folytonos függvények, akkor folytonos az összegük, különbségük, szorzatuk és (g≠0) esetén hányadosuk is. A P(x) polinom folytonos a valós számok halmazán. A racionális törtfüggvény folytonos az értelmezési tartományán. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Zárt intervallumon folytonos függvény Ha f folytonos az [a,b] zárt intervallumon, és F egy tetszőleges szám f(a) és f(b) között, akkor létezik az [a,b] intervallumnak legalább egy olyan c eleme, hogy f(c)=F legyen. a b f (a) f (b) F c f (c) = Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Példa Igazoljuk hogy az alábbi egyenletnek van legalább egy megoldása az [1,2] intervallumon! Mivel f(2)<0<f(1), és a függvény folytonos az [1,2] intervallumon, ezért található legalább egy olyan c pontja az [1,2] intervallumnak, amelyre f(c)=0. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Befejezés A folytonos függvények a függvények egy fontos osztályát alkotják. Külön szerepük van a differenciál- és integrálszámításban A legtöbb általunk használt függvény folytonos az értelmezési tartományában. Tóth István – Műszaki Iskola Ada