Készítette: Kovács Péter Eötvös József Collegium Fraktálok világa Készítette: Kovács Péter Eötvös József Collegium X. Eötvös Konferencia 2009. április 3.

Vázlat 1. A fraktálok általános jellemzői 2. A fraktálok dimenziója 3. A Mandelbrot- és a Julia-halmaz 4. Lineáris fraktálok 5. A fraktálok alkalmazása

Mik azok a fraktálok? A fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy, matematikai eszközökkel leírható ismétlődés tapasztalható.

Fraktálok a természetben

Fraktálok a természetben

A fraktál szó eredete A fraktál szót Benoit Mandelbrot francia matematikus alkotta. Magában hordozza a fragmental (töredezett) és a frakcional (szabálytalan) szavak hangulatát.

A fraktálok előállítása Ugyanazt a szabályt alkalmazzuk egymás után nagyon sokszor A kiindulási pontra elvégzett művelet eredményére újra elvégezzük a műveletet, és így tovább Így egy végtelen sorozatot kapunk A sorozatok grafikai megjelenítése a fraktálgeometria

A fraktálok dimenziója Ha egy sziget kerületét meg akarjuk mérni, a kapott eredmény függ a mérőpálca hosszától Minél nagyobb felbontásban nézzük a partvonalat, annál hosszabb lesz Mivel a felbontás mindig növelhető, valójában egy szigetnek a kerülete végtelen

A fraktálok dimenziója Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek S-szeres kicsinyítései H-nak. Ekkor:

A fraktálok dimenziója Egy sziget vagy egy ország határvonalának is meg lehet így adni a fraktáldimenzióját Ausztrália határvonalának a fraktáldimenziója: D=1.13 Németország határa: D=1.12 Portugália határvonala hasonlóan csipkézett: D=1.12 Nagy-Britanniáé erősebben: D=1.24 Dél-Afrika határa viszont többnyire egyenes: D=1.04

A Mandelbrot-halmaz A Mandelbrot-halmaz a komplex számsík azon c pontjainak mértani helye, melyekre az alábbi (komplex szám értékű) Xn rekurzív sorozat: X0 := 0 Xn+1 := (Xn)2+c nem a végtelenbe tart.

A Mandelbrot-halmaz A kép kirajzolása úgy történik, hogy ami a nulla felé tart, azt feketére színezzük; ami pedig a végtelenbe, azt színesre, annak megfelelően, hogy milyen gyorsan növekszik Ha belenagyítunk a képbe, akkor újabb és újabb részletek tűnnek elő, és ezt a végtelenségig folytathatjuk, mivel bármikor el tudjuk végezni a műveletet még egyszer

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Mandelbrot-halmaz

A Julia-halmaz Ugyanazt a rekurzív sorozatot iterálja, mint a Mandelbrot-halmaz, de fix c és változó x0 értékekkel A Mandelbrot-halmaz minden c pontja meghatározza a megfelelő Julia-halmaz geometriai szerkezetét Ha c része a Mandelbrot-halmaznak, akkor a Julia-halmaz kapcsolódni fog hozzá

Mandelbrot–Julia átalakítás

A Cantor-halmaz Induljunk ki a [0,1] zárt intervallumból Osszuk három egyenlő részre, majd hagyjuk el a középső részt Ezután osszuk három egyenlő részre mindkét megmaradó szakaszt, és hagyjuk el a középső részeiket; és így folytassuk az eljárást a végtelenségig A Cantor-halmaz azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek végtelen sok lépés után megmaradnak

A Cantor-halmaz

A Koch-görbe A kiinduló halmaz egy K0 egységnyi hosszúságú zárt intervallum A K1 görbét úgy kapjuk meg, hogy K0-t három egyenlő részre osztjuk, majd a középső harmad fölé emelt szabályos háromszög alapját helyettesítjük a másik két oldalával A K2 halmazt úgy kapjuk meg K1-ből, hogy a K1-et alkotó négy szakasz mindegyikének középső részét helyettesítjük egy szabályos háromszög másik két oldalával Ezt az eljárást n-szer elvégezve a töröttvonalak egy K0, K1, …, Kn sorozatát kapjuk, amelynek határértéke a Koch-görbe

A Koch-görbe

A Koch-féle hópehely Három darab Koch-görbét a végpontjaiknál illesszünk össze Az így kapott halmazt Koch-féle hópehelynek vagy szigetnek nevezzük

A Koch-féle hópehely területe 0. 1. 2. 3. … n. Oldal-hossz 1 1/3 1/9 1/27 1/3n Oldal-szám 3 3*4 3*42 3*43 3*4n Kerület 3*4/3 3*42/9 3*43/27 3*4n/3n Terület T0 T1 T2 T3 Tn

A Koch-féle hópehely területe

A Koch-féle hópehely területe

A Koch-féle hópehely területe

A Sierpinski-háromszög Induljunk ki egy S0 egységnyi oldalú szabályos háromszögből Ezt az oldalfelező pontok összekötésével osszuk négy egybevágó részre, majd hagyjuk el a középső rész pontjait (oldalait ne). A megmaradó alakzat legyen S1. A második lépésben hagyjuk el az S1-et alkotó mindegyik kis háromszög középső részét, és az így kapott halmazt jelöljük S2-vel Hasonló módon kaphatjuk az S3, S4, … halmazokat A Sierpinski-háromszög azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a végén maradnak

A Sierpinski-háromszög

A Sierpinski-szőnyeg A Sierpinski-háromszög konstrukciójához hasonlít, csak itt egy T0 négyzetből indulunk ki Ezt az oldalharmadoló pontok összekötésével kilenc egybevágó részre osztjuk, és elhagyjuk a középső kis négyzetet. A kapott halmaz legyen T1. A második lépésben elhagyjuk a T1-et alkotó nyolc kis négyzet mindegyikének a középső részét, és így tovább A Sierpinski-szőnyeg azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a végén maradnak

A Sierpinski-szőnyeg

A Sierpinski-szőnyeg kerülete

A Sierpinski-szőnyeg kerülete

A Sierpinski-szőnyeg területe

A Sierpinski-szőnyeg területe

A Menger-szivacs

A Menger-szivacs

Fraktál alapú képtömörítés Lényege, hogy az eredeti képben hasonló alakzatokat, képrészleteket lehet találni A tömörítés egy iterációs algoritmus során megkeresi az ismétlődő vagy hasonló képrészleteket A hasonlóság mellett egy olyan transzformációt is keres, mellyel az eredeti képrészlet a lehető legjobban megközelíthető

Fraktál alapú képtömörítés A tömörített adathalmaz csak kevés eredeti képinformációt tartalmaz A hivatkozásokra és a transzformációkra vonatkozó adatok adják a legnagyobb részét Akár 1000:1 arányú tömörítés is elérhető vele Hátránya, hogy óriási számítási kapacitás szükséges a tömörítéshez

Fraktál alapú képtömörítés A kicsomagolás során kevés számú képi információból indulva a hivatkozásokkal és a transzformációkkal közelíti a képet több iteráción keresztül Néhány iteráció után az eredmény: rendkívül jó minőségű kitömörített kép Mind színárnyalat, mind felismerhetőség szempontjából jobb minőségű képet ad, mint egy hasonló tulajdonságokkal rendelkező JPEG tömörítésű kép

Fraktál alapú képtömörítés kicsomagolás 1 iterációval kicsomagolás 2 iterációval kicsomagolás 4 iterációval az eredeti kép

Fraktálok a biológiában Az emberi test kifejlődéséhez és helyes működtetéséhez szükséges információ majdnem minden emberi sejt magjában benne van Az információt tároló molekula a DNS Az ember DNS-molekuláiban átlagosan 3 milliárd információegység van tárolva Az emberi test átlagosan 50 000 milliárd sejtből áll Hogyan tudja hordozni ez a viszonylag kis DNS minden egyes sejt helyének és az egyes sejttípusok felépítésének információját?

Fraktálok a biológiában Az emberi agy kb. 100 milliárd idegsejtből áll Lehetetlen lenne a DNS-molekulában tárolni az agy pontos felépítését Ehelyett csak az agysejt általános felépítése és a sejtek elhelyezkedésének főbb szabályai vannak tárolva Ezt bizonyítja az a tény is, hogy emlékeket, tapasztalatokat és tudást a DNS nem örökít át

Fraktálok a biológiában A vérerek elágazó és egyre finomodó hálózata nagyon jól mutatja az önhasonlóság tulajdonságát több mérettartományon át, tehát tulajdonképpen egy fraktálalakzat A tüdő kb. 70 m2-es belső aktív felületét szintén egy fraktális felépítésű légúthálózattal éri el Viszonylag kevés és egyszerű szabállyal is végtelenül bonyolult fraktálokat hozhatunk létre Kézenfekvő a következtetés, hogy a DNS alapú örökítés is ilyesfajta szabályok szerint működik

Felhasznált szakirodalom http://www.lelekzet.hu/k/8/40 http://hu.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-halmaz http://www.raingarden.hu/node/37 http://www.math.u-szeged.hu/~madera/elmat/bead/fraktal.pdf http://www.hexium.hu/04_Downloads/20_Publications/DigVid2.pdf http://www.t-es-t.hu/minden/kaosz.htm

Köszönöm a figyelmet!