Logikai műveletek és áramkörök Pék Ágnes © V2.0/2000 Tovább

Tartalom Vissza Vége Tovább A Boole-algebra Logikai kifejezések Logikai alapműveletek ÉS VAGY NEM Soros, párhuzamos kapcsolás Kapuáramkörök És kapu Vagy kapu Nem kapu További logikai műveletek Bináris összeadás A félösszeadó Félösszeadó áramkör Vissza Vége Tovább

A Boole-algebra Vissza Tartalom Tovább George Boole (1815-1864) és Auguste De Morgan (1806-1871) fejlesztette ki a matematikának azt az ágát, amely igaz vagy hamis értékű állításokkal , más néven logikai kijelentésekkel végezhető műveleteket és azok szabályait írja le. A logikai állításokat (elemi kijelentéseket) egyszerűbb szimbólumokkal jelölhetjük, ezeket logikai változóknak nevezzük. Minden logikai változó kétféle értéket vehet fel: lehet igaz vagy hamis. Azok az állítások, amelyekről ez nem dönthető el, nem tartoznak a logika vizsgálódásának körébe. Itt például A és B logikai változók az alábbi kijelentéseket szimbolizálják: A: A 23 páratlan szám B: 15 osztható 4-el A Boole-algebra alkalmas összetett állítások, logikai kifejezések igazságértékének vizsgálatára. Vissza Tartalom Tovább

Logikai kifejezések Vissza Tartalom Tovább Folytat Egy kifejezés operandusokból (változókból, konstans értékekből) és operátorokból (műveleti jelekből), illetve zárójelek segítségével ezekből alkotott újabb kifejezésekből állhat. A logikai kifejezésekben szereplő operendusok értéke igaz vagy hamis lehet. Az operátorok speciális logikai műveletek (pl. ÉS, VAGY, NEM) lehetnek. Például: A: 12 osztható 3-al B: Vasárnap után a kedd következik A ÉS B egy összetett logikai állítás, vagyis logikai kifejezés. Igazságértéke attól függ, hogy a benne szereplő operandusok igazságértéke igaz vagy hamis. Egy másik esetben A és B változók értéke a következő: A: Az elefánt egy emlősállat B: 13 páros szám Mivel a két esetben az operandusok értéke egyezik (A igaz, B hamis), az összetett állítás (A ÉS B ) logikai értéke is egyezik mindkét esetben Ebben az példában hamis, mert a második opreandus (B) hamis. Egy logikai kifejezés logikai értéke független a változók mögött álló kijelentések természetes nyelvi jelentésétől, egyedül azok logikai értékétől és a kifejezésben szereplő műveletektől függ. Vissza Tartalom Tovább Folytat

Az alapvető logikai műveletek Az ÉS művelet eredménye IGAZ logikai érték, ha a műveletben szereplő összes operandus értéke igaz. Pl. Az „Esik az eső és süt a nap” összetett logikai kifejezés értéke hamis, ha az operandusok bármelyike is hamis. A VAGY művelet eredménye IGAZ logikai érték, ha a műveletben szereplő legalább egyik operandus értéke igaz.. Pl. Az „Angolt vagy németet fogok tanulni” összetett logikai kifejezés értéke csak akkor hamis, ha egyik nyelvet sem fogom tanulni. A logikában a hétköznapi felfogástól eltérően a VAGY művelet „megengedő VAGY”, mert az összetett kifejezés értéke akkor is igaz, ha mindkét nyelvet tanulni fogom. Létezik „kizáró VAGY” művelet is, de ez nem alapvető művelet. Az ÉS, ill. VAGY műveletek több (legalább kettő) operandust tételeznek fel. A NEM művelet egyváltozós művelet. A NEM művelet eredménye HAMIS logikai érték, ha a műveletben szereplő operandus értéke igaz, és IGAZ, ha az operandus értéke hamis. Például a „nem igaz, hogy 12 osztható 3-al” kifejezés értéke hamis, mert az eredeti kijelentés (12 osztható 3-al) igaz. Az összetett logikaI kifejezések átalakíthatók, egyszerűbb alakra hozhatók a logikai műveletekre érvényes műveleti szabályok segítségével. Két logikai kifejezés akkor egyenlő, ha az értéktáblázatuk megegyezik. A műveleti szabályok érvényessége az értéktáblázatuk segítségével egyszerűen belátható. Vissza Tartalom Tovább Folytat

Az ÉS művelet Értéktáblázata: 1 1 1 * V AND Az igaz-hamis értékeket 0-1 értékekkel is kifejezhetjük: Értéktáblázata: A B A és B A és B A B Hamis Hamis Igaz 1 Hamis Igaz 1 Igaz 1 Ez a táblázat 2 változó esetén az összes lehetséges esetet tartalmazza. * Az ÉS művelet jelölése másképpen: AND V Vissza Műveletek Tartalom Folytat Tovább

A VAGY művelet Értéktáblázata: 1 1 1 V + OR Az igaz-hamis értékeket 0-1 értékekkel is kifejezhetjük: Értéktáblázata: A B A vagy B A vagy B A B Hamis Hamis Igaz 1 Hamis Igaz 1 Igaz 1 Ez a táblázat 2 változó esetén az összes lehetséges esetet tartalmazza. A vagy művelet jelölése másképp: OR V + Vissza Műveletek Tartalom Folytat Tovább

A NEM művelet Igazságtáblázata: Az igaz-hamis értékeket 0-1 értékekkel is kifejezhetjük: Igazságtáblázata: A Nem A 1 Nem A A Hamis Igaz 1 Igaz Hamis A NEM műveletet jelölik még: NOT ¬ Vissza Műveletek Tartalom Folytat Tovább

A logikai műveletek és áramköri kapcsolások összefüggései A különböző logikai műveletnek megfeleltethetjük az egyszerű áramköri kapcsolásokat. Az ÉS művelet a soros kapcsolással, a VAGY művelet a párhuzamos kapcsolással hozható összefüggésbe. Vissza Tartalom Tovább

Ha mindkét kapcsoló bekapcsolt állapotban van Soros kapcsolás Párhuzamos kapcsolás Ha mindkét kapcsoló bekapcsolt állapotban van, mindkét kapcsolási mód esetén zár az áramkör, világít a lámpa. Vissza Kapcsolások Tartalom Tovább Folytat

Ha csak az egyik kapcsoló van bekapcsolt állapotban Soros kapcsolás Párhuzamos kapcsolás Ha egyik kapcsoló bekapcsolt állapotban van, a párhuzamos kapcsolásnál zár az áramkör, világít a lámpa. Ha az egyik kapcsoló kikapcsolt állapotban van, a soros kapcsolásnál nem zár az áramkör, nem világít a lámpa. Vissza Kapcsolások Tartalom Tovább Folytat

Ha egyik kapcsoló sincs zárt állapotban Soros kapcsolás Párhuzamos kapcsolás Ha mindkét kapcsoló kikapcsolt állapotban van, egyik esetben sem zár az áramkör, nem világít a lámpa. Vissza Kapcsolások Tartalom Folytat Tovább

Kapuáramkörök A logikai műveletek áramköri elemek segítségével egyszerűen megvalósíthatók. A működés alapját az képezi, hogy a kapcsoló nyitott állásához a HAMIS logikai értéket (az azt reprezentáló 0 értéket) rendelik hozzá. A kapcsoló zárt állásához az IGAZ logikai értéket (ill. az azt reprezentáló 1 értéket) rendelik hozzá. Így a soros kapcsolás az ÉS művelet eredményét adja, a párhuzamos kapcsolás a VAGY műveletét. A számítógépekben használt integrált áramköri elemekben a kapcsolás nem mechanikusan, hanem elektronikusan történik. Az egyes „kapcsolókhoz” két különböző feszültségszint rendelődhet hozzá: Ha a feszültség nem ér el egy bizonyos küszöbértéket (a továbbiakban erre egyszerűsítve úgy hivatkozunk hogy nincs feszültség), a kapcsoló állapota „nyitott”. Ha a feszültségszint eléri a küszöbértéket, a kapcsoló állapota „zárt” . A különböző logikai műveleteket reprezentáló integrált áramköri kapuk működése a következő oldalakon látható. Vissza Tartalom Tovább

ÉS kapu A logikai ÉS műveletet megvalósító áramköri elemnek a kimenetén akkor jelenik meg feszültség, ha mindkét bemenetén van feszültség. A AND B Ha az A és B bemeneten egyaránt van feszültség, a kimeneten van feszültség. Ha csak az A vagy a B bemeneten van feszültség, a kimeneten nincs feszültség. Ha sem az A, sem a B bemeneten nincs feszültség, a kimeneten sincs feszültség. Vissza Vissza Kapuáramkörök Tartalom Tartalom Folytat Tovább

VAGY kapu A logikai VAGY műveletet megvalósító áramköri elemnek a kimenetén akkor jelenik meg feszültség, ha legalább egy bemenetén van feszültség. A OR B Ha az A és B bemeneten egyaránt van feszültség, a kimeneten akkor is van feszültség. Ha sem az A, sem a B bemeneten nincs feszültség, a kimeneten sincs feszültség. Ha az A vagy a B bemeneten van feszültség, a kimeneten van feszültség. Vissza Kapuáramkörök Tartalom Tovább Folytat

NEM kapu A NOT Ha a bemeneten nincs feszültség, a kimeneten van feszültség. Ha a bemeneten van feszültség, a kimeneten nincs feszültség. Vissza Vissza Kapuáramkörök Tartalom Tartalom Tovább Folytat

Egyéb gyakran használt logikai műveletek Az eddig megismert 3 logikai kapu segítségével a problémák megoldásakor felmerülő valamennyi logikai összefüggés megvalósítható. Két változó esetén 16 különböző értéktáblázat állítható elő. Néhány gyakran használt áramköri kapunak neve is van: pl.: az XOR (kizáró Vagy), NAND (Nem És), NOR (Nem Vagy). A B A xor B A nand B A nor B 1 1 A nand B = not (A and B) 1 1 1 A nor B = not (A or B) 1 1 1 1 1 A xor B = (A or B) and not (A and B) Vissza Tartalom Tovább Folytat

Két bináris szám összeadása Hogyan képes a számítógép az eddig megismert áramkörök segítségével pl. matematikai műveleteket végezni? Két bináris szám összeadása így hajható végre: 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Átvitel a következő helyiértékre: Viszonylag egyszerű 2 bináris számjegy összeadását végző áramkör működését elképzelni. Két bemenetén az összeadandó helyiértékek szerepelnek, egyik kimenetén az összeg, másikon pedig a keletkező átvitel jelenik meg. Ez az áramkör a félösszeadó (half adder). Több ilyen áramkör összekapcsolásából alakítható ki a teljes összeadó, amely 8, 16 stb jegyű bináris számok összeadását végzi. Vissza Tartalom Tovább Folytat

Könnyű észrevenni, hogy ezek ismert logikai műveletek értéktáblázatai. A félösszeadó Két bináris számjegy (A és B) összeadásakor a keletkező eredmény és átvitel lehetséges értékeit a következő táblázat tartalmazza: A B Eredmény Átvitel 1 1 1 1 1 1 1 XOR AND Könnyű észrevenni, hogy ezek ismert logikai műveletek értéktáblázatai. Vissza Összeadás Tartalom Tovább Folytat

Az áramkör jelölése rövidebben (Half Adder) Félösszadó áramkör C A AND NOT S AND B OR C: átvitel (carry) S: eredmény (summa) Az áramkör jelölése rövidebben (Half Adder) Ha mindkét összeadandó 0, akkor az eredmény is és az átvitel is 0. Ha A=1 és B=1, akkor az eredmény 0 és az átvitel 1. Ha A=1 és B=0 vagy fordítva, akkor az eredmény 1 és az átvitel 0. A B C S HA Vissza Összeadás Tartalom Tovább Folytat

A témához nem tartozik több kép Vissza Tartalom Vége

A logikai műveletek szabályai A and 1 = A A and 0 = 0 A or 1 = 1 A or 0 =A A and not A = 0 A or not A = 1 A and B = B and A A or B = B or A A and (A or B) = A A or (A and B) = A A and (B and C) = (A and B) and C A or (B or C) = (A or B) or C not (A and B) = not A or not B not (A or B) = not A and not B Not ( not A) =A Vissza Tartalom Folytat

Értéktáblázat Logikai kifejezés 0 0 0 0 A and (not A) 0 0 0 1 A and B 0 0 1 0 A and (not B) 0 0 1 1 A 0 1 0 0 B and (not A) 0 1 0 1 B 0 1 1 0 (A or B) and not (A and B) A táblázat alsó fele tükörképe, azaz ellenettje a felső felének. 0 1 1 1 A or B A lehetséges kimeneti érékek 1 0 0 0 not (A or B) 1 0 0 1 not ((A or B) and not (A and B)) 1 0 1 0 not B 1 0 1 1 not (B and (not A)) 1 1 0 0 not A 1 1 0 1 not (A and (not B)) 1 1 1 0 not(A and B) 1 1 1 1 A or (not A) Vissza Tartalom Folytat