Rövid összefoglaló a függvényekről sin(x) logax ? f(x)= Függvénykalauz Rövid összefoglaló a függvényekről Használati utasítás: Bal egérgombbal haladhatsz tovább. Jobb egérgombbal vagy a böngésző segítségével léphetsz vissza.

Függvény fogalma Ha az A halmaz minden elemének megfeleltetjük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt az egyértelmű hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, jele: Df vagy ÉT; A B halmaz azon részhalmazának elemei, melyeket az A halmaz elemeihez rendeltünk, alkotják a függvény értékkészletét. Jele: Rf vagy ÉK. Valós függvények, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számoknak egy részhalmaza. A B

Függvény inverze Ha az f függvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelése Df elemeinek Rf halmaz elemeihez, akkor az f függvény f -1 inverz függvényén értjük azt a függvényt, amelyre: Df - 1 = Rf , Rf -1 =Df , és minden f(x)  Rf esetén f -1 : f(x)  x, ahol f -1 az f inverz függvényét jelöli. Rf -1 =Df Df-1 = Rf f f -1

Függvény grafikonja A derékszögű koordináta-rendszerben az f függvény grafikonján az y = f(x) egyenletű ponthalmazt értjük, ez tehát az ( x; f(x) ) koordinátapárral jellemzett pontokból áll. y ( x; f(x) ) x

Függvény inverze Egy függvénynek és inverzének képe tükrös az y = x egyenesre, erre tükrös ugyanis a két koordinátatengely is, és a tükrözés éppen az értelmezési tartomány és az értékkészlet felcserélését jelenti. Például: f(x)= 2x-3 és f -1(x)=0,5x+1,5 f -1(x) y f (x) x y = x

Függvény inverze Példa Néhány függvény és inverze: f(x)= 2 x és f -1(x)=log 2 x f(x)= x 2 és f -1(x)= , ha x0

Periodikus Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan p>0 valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden x eleme esetén x + p is eleme az értelmezési tartománynak; és f (x+p) = f(x) teljesül, azaz egy bizonyos intervallum után a függvényértékek ismétlődnek. A p számok közül a legkisebbet ( ha van ilyen ) nevezzük az f függvény periódusának Periodikus függvények vizsgálatához elegendő egy, a periódussal azonos hosszúságú intervallumban vizsgálnunk a függvényt, hiszen a függvény tulajdonságai periódusonként ismétlődnek. Periodikus függvények például: y p x Konstans függvény f (x) = b sin(x) = sin(x+k2), ahol k  , p = 2 cos(x) = cos(x+k2), ahol k   p = 2 tg(x) = tg(x+k), ahol  p =  ctg(x) = ctg(x+k), ahol k  , p =

Páros Az ƒ függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartománya minden x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak; és f (-x) = f (x) teljesül. Páros függvények grafikonja (ha létezik) szimmetrikus az y tengelyre. -a a f (-a)= f (a) y x Például: páros kitevőjű hatványfüggvények, mert például ƒ(x) = x2 esetén (-x)2 = (x)2 a koszinusz szögfüggvény, mert cos(-x) = cos(x). az abszolútérték-függvény, mert | -x | = | x |.

Páratlan Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartománya minden x eleme esetén -x is eleme az értelmezési tartománynak; és ƒ (-x) = - ƒ(x) teljesül. Páratlan függvények grafikonja (ha létezik) szimmetrikus az origóra. -a a f (-a) f (a) Nem lehet minden függvényt a páros vagy páratlan függvények osztályába besorolni, a függvények többsége sem nem páros, sem nem páratlan. Ilyen például a g(x)=2x-3 függvény. például: páratlan kitevőjű hatványfüggvények, mert például ƒ(x) = x3 esetén (-x)3 = -(x)3 a szinusz szögfüggvény, mert sin(-x) = -sin(x). a tangens szögfüggvény, mert tg(-x) = -tg(x). a kotangens szögfüggvény, mert ctg(-x) = -ctg(x).

Az f függvény felülről korlátos, ha van olyan K valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére ƒ(x)  K. Az f függvény alulról korlátos, ha van olyan k valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére f (x)  k. Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos. Korlátos y Például: f (x) = –x2, mert –x2  0 g(x) = 1- | x | , mert 1- | x |  1 K k x Például: f (x)= x 2 , mert x 2  0 g(x)= 2 x , mert 2 x  0 Korlátos függvény görbéje az x tengellyel párhuzamos sávban helyezkedik el. Például: f (x)= sin x, mert -1  sin x  1,

Növekedés y x y x x1< x2 , az ƒ(x1) < ƒ(x2). Az f függvény az értelmezési tartományának egy [a;b] intervallumán monoton növekvő, ha az intervallum minden olyan x1, x2 elemére, amelyre x1< x2 , az ƒ(x1)  ƒ(x2). Az f függvény az értelmezési tartományának egy [a;b] intervallumán szigorúan monoton növekvő, ha az intervallum minden olyan x1, x2 elemére, amelyre x1< x2 , az ƒ(x1) < ƒ(x2). Például: f(x)= x2 a ]-;0] intervallumon, g(x)= 2x a ]-  ; [ intervallumon, h(x)= cos(x) a [ +k2 ; 2  +k2 ] intervallumon (k   y ƒ(x2) ƒ(x1) x1 x2 a b b x ƒ(x2) ƒ(x1) x1 x2 b a y x

Csökkenés x1< x2 , az ƒ(x1)  ƒ(x2) Az f függvény az értelmezési tartományának egy [a;b] intervallumán monoton csökkenő, ha az intervallum minden olyan x1, x2 elemére, amelyre x1< x2 , az ƒ(x1)  ƒ(x2) Az f függvény az értelmezési tartományának egy [a;b] intervallumán szigorúan monoton csökkenő, ha az intervallum minden olyan x1, x2 elemére, amelyre x1< x2 , az ƒ(x1) > ƒ(x2) Például: f(x)= x2 a ]-;0] intervallumon, g(x)= 2-x a ]-  ; [ intervallumon, h(x)= cos(x) függvény a [k2; +k2] intervallumon (k   ƒ(x1) ƒ(x2) x1 x2 a b ƒ(x1) ƒ(x2) x1 x2 b a

Maximum y x EMELT SZINT! Az f függvénynek az x0 helyen helyi (lokális) maximuma van, ha van x0-nak olyan  (<0) sugarú környezete, hogy bármely x ] x0 -  ; x0+  [; ƒ(x)  ƒ(x0). Maximum y Az f függvénynek (abszolút) maximuma van az értelmezési tartomány egy x0 értékénél, ha az értelmezési tartomány minden x elemére fennáll, hogy ƒ(x)  ƒ(x0). Például: ƒ(x)=cos(x) függvénynek az x=k2 helyen (k  )értéke: cos(k2)=1 g(x)= 1- | x | függvénynek az x=0 helyen, értéke: 1- | 0 |=1. x0- x0 x0+ x

Minimum y x helyi (lokális) minimuma van, EMELT SZINT! Az f függvénynek az x0 helyen helyi (lokális) minimuma van, ha van x0-nak olyan  (<0) sugarú környezete, hogy bármely x ] x0 -  ; x0+  [; ƒ(x)  ƒ(x0). x0- x0 x0+ x Például: ƒ(x)=cos(x) függvénynek az x= +k2 helyen (k  )értéke: cos(+k2)= -1 g(x)= x2 függvénynek az x=0 helyen, értéke: 02 = 0, nincs szélsőértéke a h(x) = 2x exponenciális függvénynek. Az f függvénynek (abszolút) minimuma van az értelmezési tartomány egy x0 értékénél, ha az értelmezési tartomány minden x elemére fennáll, hogy ƒ(x)  ƒ(x0).

Zérushely Az f függvény zérushelyén értelmezési tartományának azon elemét (x értékét) értjük, amelyhez tartozó függvényérték nulla, azaz ƒ(x)=0. A függvények grafikonja (ha létezik) a zérushelyen metszi az x tengelyt. Például: ƒ(x)=sin(x) függvénynek az x= +k2  helyen (k  ) mert sin(+k2)= 0, g(x) = x2 függvénynek az x=0 helyen, mert 02=0, Nincs zérushelye a h(x) = 2x függvénynek. y x

Függvénytranszformációk A függvénygörbe transzformációjáról (ill. függvénytranszformációról) beszélünk, ha kapcsolatot keresünk az f(x) és pl. az f(x+a)+b függvények, ill. görbéi között.

Függvényérték transzformáció f(x)+c y=f(x)+c c x x y Valós szám hozzáadása: f(x)+c (c R) Az f(x) függvény görbéjéből az y tengellyel párhuzamos, c nagyságú eltolással származtatható, hiszen a két görbe x-hez tartozó ordinátáinak különbsége éppen c-vel egyenlő. Ha c>0, akkor „felfelé”; ha c<0, akkor „lefelé” való eltolással. y=f(x)

Függvényérték transzformáció cf(x) Függvényérték transzformáció y Szorzás pozitív valós számmal: c f (x) (c R+) Az y=f(x) függvénygörbe minden pontjának az ordinátáját c-szeresére változtatjuk, ( azaz a görbére egy x tengelyű c:1 arányú affinitást alkalmazunk). Ha c>1, akkor az f(x) függvény grafikonja c-szeresére megnyúlik az y tengely mentén, ha 0<c<1, akkor összenyomódik. A grafikon x tengelyre illeszkedő pontjai fixen maradnak. c>1 y=cf(x) x y=f(x)

Függvényérték transzformáció -f(x) Függvényérték transzformáció y Szorzás -1-gyel: -f(x) Az y= f(x) minden pontjának ordinátája ellentettjére változik és ez az x tengelyre való tükrözést jelent. y=-f(x) y=f(x) x

Változó transzformáció f(x+c) x y y x y Valós szám hozzáadása: f(x+c) (c R) Az y=f(x) függvénygörbéből az x tengellyel párhuzamos, -c-vel való eltolással kapjuk, mivel az f(x+c) függvény x-c helyen felvett értéke éppen f(x-c+c)=f(x), tehát ugyanaz, mint az f(x) függvény x helyen vett helyettesítési értéke. Ha c>0, akkor „balra”, ha c<0, akkor „jobbra” c-vel kell eltolni az f(x) függvény grafikonját. x x-c y=f(x+c) y=f(x) x x

Változó transzformáció f (cx) Változó transzformáció y x Szorzás pozitív valós számmal: f (cx) (c R+) Az y=f(x) függvénygörbe minden pontjának az abszcisszáját c-szeresére nyújtjuk, ha c<1; ill. c-ed részére zsugorítjuk, ha c>1, az f(cx) függvény ugyanis az helyen ugyanazt az értéket veszi fel, mint az f(x) az x helyen: f(c ) = f(x). Az x=0-ban felvett függvényértékek nem változnak. y=f(cx) x c<1 c y=f(x)

Változó transzformáció f(-x) y y=f(-x) -x y=f(x) Szorzás -1-gyel: f(-x) Ekkor az f(x) függvény grafikonját az y tengelyre tükrözzük, ugyanis f(x) függvény -x helyen felvett függvényértéke megegyezik az f(-x) függvény x helyen felvett értékével. x x

Lineáris függvények f(x)=ax+b f: RR, f(x)=ax+b (a,bR) - Az a-t a fügvény meredekségének nevezzük. f: RR, f(x)=ax+b (a,bR) ÉT: xR ÉK: f(x)  R, ha a0 f(x) {b}, ha a=0 Képe: egyenes Menete: Szig. mon. csökkenő, ha a<0 Szig. mon. növekvő, ha a>0 Zérushelye: x= - , ha a0 a<0 a>0 a=0 b b a b a -

Lineáris függvények f(x)=ax+b Elsőfokú függvény f: RR, f(x)=ax+b (a0; a,b  R) ha b=0, akkor f(x)=ax az egyenes arányosság függvénye b a a>0 a<0 - ÉT: x  R ÉK: f(x)  R Képe: egyenes Menete: Szig. mon. csökkenő, ha a<0 Szig. mon. növekvő, ha a>0 Zérushelye: x= - b a

Lineáris függvények f(x)=b Konstans függvény f: R{b}, f(x)=b (b  R) ÉT: x  R ÉK: f(x)  {b} Képe: az x tengellyel párhuzamos egyenes, amely a (0;b) pontban metszi az y tengelyt Zérushelye: nincs Páros Korlátos k=K=b y b x

Hatványfüggvények f(x)= x n f: RR, f(x)=xn (nQ) n  Z + és páros ÉT: x  R\R- ÉK: f(x)  R\R- Menete: Szig. mon. csökkenő: x ]-,0] Szig. mon. növekvő: x [0,[ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0, értéke: f(x)=0 Páros Alulról korlátos k=0

Hatványfüggvények f(x)= x n f: RR, f(x)=xn (n  Q) n  Z + \{1} és páratlan ÉT: x  R ÉK: f(x)  R Menete: Szig. mon. növekvő: xR Zérushelye: x=0 Szélsőértéke nincs Páratlan Nem korlátos

Hatványfüggvények f(x)= x n f(x)= x — k f: RR, f(x)=xn (n  Q) 1 n = k  Z+ \{1} 1 k f(x)= x — k k páros  Z+ ÉT: x  R\R- ÉK: f(x)  R\R- Menete: Szig. mon. növekvő: x [0,[ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0, értéke: f(x)=0 Alulról korlátos k=0

Hatványfüggvények f(x)= x n f(x)= x — k f: RR, f(x)=xn (n  Q) 1 n = k  Z+ \{1} 1 k f(x)= x — k k páratlan ÉT: x  R ÉK: f(x)  R Menete: Szig. mon. növekvő: x  R Zérushelye: x=0 Szélsőértéke nincs Páratlan Nem korlátos

Hatványfüggvények f(x)= x 2 Másodfokú függvények f: RR\R-, f(x)=x 2 ÉT: x  R ÉK: f(x)  R\R- Képe: parabola Menete: Szig. mon. csökkenő: x ]-,0] Szig. mon. növekvő: x [0,[ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0, értéke: f(x)=0 Páros Alulról korlátos k=0

Hatványfüggvények f(x)= x Négyzetgyökfüggvény f: R\R-  R\R-, f(x) = ÉT: x  R\R- ÉK: f(x)  R\R- Képe: félparabola Menete: Szig. mon. növekvő: x [0,[ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0 értéke: f(x)=0 Alulról korlátos k=0

Abszolútérték-függvény f(x)= x  f: RR \R-, f(x)= x  ÉT: x  R ÉK: f(x)  R\R- Menete: Szig. mon. csökkenő: x ]-,0] Szig. mon. növekvő: x [0,[ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0 értéke: f(x)=0 Páros Alulról korlátos, k=0

Elsőfokú törtfüggvény 1 x f(x)= f: R\ { }R, f(x)= (a,b egyidejűleg nem 0 és c0; a,b,c,d  R) 1 x f: R \{0} R, f(x)= ÉT: x  R ÉK: f(x)  R\R- Menete: Szig. mon. csökkenő: x ]-,0] Szig. mon. növekvő: x [0,[ Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: Abszolút minimuma van helye: x=0 értéke: f(x)=0 Páros Alulról korlátos, k=0

Exponenciális függvények f(x)= a x f: RR+, f(x)= a x (a  R+\{1}) a>1 ÉT: x  R ÉK: f(x)  R+ Menete: Szig. mon. csökkenő, ha a<1 x  R Szig. mon. növekvő, ha a>1 x  R Zérushelye nincs Szélsőértéke: nincs Alulról korlátos, k=0 a<1

Logaritmusfüggvények f(x)=logax f: R+R, f(x)=log a x (a  R+\{1}) ÉT: x  R+ ÉK: f(x)  R Menete: Szig. mon. csökkenő, ha a<1 x  R Szig. mon. növekvő, ha a>1 x  R Zérushelye: x=1 Szélsőértéke: nincs Nem korlátos a>1 a<1

Trigonometrikus függvények f(x)=sin(x) Szinuszfüggvény f: R[-1;1], f(x) = sinx ÉT: x  R ÉK: f(x) [-1;1] Periodikus, periodusa: 2 Szig. mon. nő: x csökken: x Zérushelye: x= k Abszolút maximuma: helye: x= értéke: f(x)= 1 Abszolút minimuma: értéke: f(x)= – 1 Páratlan függvény Korlátos: -1 sinx  1 k Z

Trigonometrikus függvények f(x)=cos(x) Koszinuszfüggvény f: R[-1;1], f(x) = cosx ÉT: x  R ÉK: f(x) [-1;1] Periodikus, periodusa: 2 Szig. mon. nő: x[+k2 ; 2+k2 ] csökken: x[k2 ; +k2 ] Zérushelye: x= Abszolút maximuma: helye: x= k2 értéke: f(x)=1 Abszolút minimuma: helye: x= +k2 értéke: f(x)= -1 Páros függvény Korlátos: -1 cosx  1 k Z

Trigonometrikus függvények f(x)=tg(x) Tangensfüggvény f: R\{ +k}R, f(x) = tgx  2 ÉT: x  R\{ + k } ÉK: f(x) R Periodikus, periodusa:  Szig. mon. nő: x Zérushelye: x= k, k Z Páratlan függvény Nem korlátos  2

Trigonometrikus függvények f(x)=ctg(x) Kotangensfüggvény f: R\{k}R, f(x) = ctgx ÉT: x  R\ { k } ÉK: f(x) R Periodikus, periodusa:  Szig. mon. csökken: x]k ;  + k [ Zérushelye: x= + k  k Z Páratlan függvény Nem korlátos  2

Ábrázold az f(x)= x+1+2 függvényt Gyakorlás 1. feladat Ábrázold az f(x)= x+1+2 függvényt A transzformáció lépései: x x x x+1 x x+1 x x+1+2

Jellemezd az f(x)= x+1+2 függvényt! Gyakorlás 1. feladat Jellemezd az f(x)= x+1+2 függvényt! ÉT: ÉK: Szig. mon. nő: Szig. mon. csökken: Zérushelye: Abszolút maximuma: helye: értéke: x  R f(x) [ -1; 1] x ] -, -1 ] x [ -1;  [ x = -3; x = -1 x = -1 f(-1)= 2 K= 2 Felülről korlátos:

Gyakorlás 2. feladat Ábrázold az f(x)= 0,5sin(0,5x) -1 függvényt! A transzformáció lépései: x sinx x sin(0,5x) x 0,5sin(0,5x) x 0,5sin(0,5x)+1

Jellemezd az f(x)=0,5sin(0,5x) 1 függvényt! Gyakorlás 2. feladat Jellemezd az f(x)=0,5sin(0,5x) 1 függvényt! ÉT: x  R ÉK: f(x)  [ -1,5; -0,5 ] Periodikus, periodusa: 4 Szig. mon. nő: x[-+k4; +k4] csökken: x[+k4; 3+k4] Zérushelye: nincs Abszolút maximuma: helye: x= +k4 értéke: f(x)= – 0,5 Abszolút minimuma: helye: x= 3+k4 értéke: f(x)= – 1,5 Korlátos: -1,5  f(x)  -0,5 k Z

Gyakorlás 3. feladat Ábrázold az f(x)= - 0,5(x+2)2+3 függvényt! A transzformáció lépései: x x2 x (x+2)2 x 0,5(x+2)2 x - 0,5(x+2)2 x - 0,5(x+2)2+3

Jellemezd az f(x)= - 0,5(x+2)2+3 függvényt! 3. feladat Végül Jellemezd az f(x)= - 0,5(x+2)2+3 függvényt! ÉT: ÉK: Szig. mon. nő: Szig. mon. csökken: Zérushelye: Maximuma: helye: értéke: Felülről korlátos: x  R f(x)  ] - ; 3] x ] -, -2 ] x [ -2;  [ x = -2 - 6; x = -2 + 6 x = -2 f(-1)= 3 K= 3