A függvény deriváltja Digitális tananyag

A pillanatnyi sebesség A függvény deriváltja

Az átlagsebesség A test átlagsebessége egyenlő a megtett út és a mozgás közben eltelt idő hányadosával. t1 t2 s1 s2 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A pillanatnyi sebesség A test pillanatnyi sebessége megmutatja az adott test sebességét a t0 időpontban. t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Δt -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 s 0,05 0,20 0,44 0,78 1,23 1,76 2,40 3,14 3,97 Δs -1,18 -1,03 -0,78 -0,44 0,54 1,18 1,91 2,74 v 2,95 3,43 3,90 4,40 ? 5,40 5,90 6,37 6,85 4,90 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Fizikai mennyiségek Sebesség Szögsebesség Gyorsulás Teljesítmény Pillanatnyi erő Forgatónyomaték Áramerősség Kapacitás Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A derivált definíciója A függvény deriváltja

A függvény növekménye Adott egy f függvény. Ha az x változó értéke Δx-szel változik, akkor a függvény értéke is változik f(x)-ről f(x+Δx)-re. A függvény értékének változása (a függvény növekménye): Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A derivált Az f(x) függvény x0 ponthoz tartozó differenciahányadosán az hányadost értjük. A differenciahányados Δx→0 feltétellel képzett határértéke, az f(x) függvény x0 pontbeli differenciálhányadosa vagy deriváltja: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Differenciálható függvények Ha a függvénynek az x0 pontban van deriváltja akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x0 pontban differenciálható vagy deriválható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A derivált jelölése Ugyanazt a fogalmat többféleképp is jelölhetjük: Ha a független változó x helyett t (pl. az idő) akkor a derivált jele lehet: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Fizikai mennyiségek Sebesség Szögsebesség Gyorsulás Teljesítmény Pillanatnyi erő Forgatónyomaték Áramerősség Kapacitás Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Keressük meg az f(x)=x2+2x-1 függvény deriváltját az x0=1 pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Keressük meg az adott függvények deriváltját az x0 pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A deriváltfüggvény Ha az f függvény deriváltját megkeressük minden olyan pontban ahol az létezik, a függvény deriváltfüggvényét (röviden: deriváltját) kapjuk. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az állandó deriváltja C - állandó Példák: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A hatványfüggvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A hatványfüggvény deriváltja Példák: Példák: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A hatványfüggvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az exponenciális függvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A logaritmusfüggvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A sinusfüggvény deriváltja Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A deriválás szabályai A függvény deriváltja

A deriválás szabályai I. C - állandó Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák és feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A deriválás szabályai II. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák és feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A deriválás szabályai III. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A deriválás szabályai IV. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az összetett függvény deriváltja A függvény deriváltja

Az összetett függvény deriváltja Összetett függvények: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az összetett függvény deriváltja Összetett függvények: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az összetett függvény deriváltja Láncszabály: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az inverz függvény deriváltja A bal oldala összetett függvény: Mindkét oldalát deriváljuk: A láncszabály szerint: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Magasabb rendű deriváltak A függvény deriváltja

A második derivált Az y'=f'(x) derivált függvény is egy valós függvény, amely adott feltételek mellett szintén deriválható. A derivált függvény deriváltját a függvény második deriváltjának nevezzük. Jelölés: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A gyorsulás A pillanatnyi gyorsulás a sebesség idő szerinti deriváltja: A pillanatnyi sebesség az út idő szerinti deriváltja: Tehát a pillanatnyi gyorsulás az út idő szerinti második deriváltja: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Keressük meg a függvények második deriváltját: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Magasabb rendű deriváltak Harmadik derivált: a második derivált deriváltja Római számok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Keresd meg a függvények összes deriváltját: Tóth István – Műszaki Iskola Ada