Szemcsés rendszerek statikája Tibély Gergely X. 26.

Problémafelvetés Statikai jellemzés? Terhelhetőség?

Egyszerű példa 2 ismeretlen erőkomponens 2 egyenlet Létezik egyértelmű megoldás 3 ismeretlen erőkomponens 2 egyenlet Sok lehetséges megoldás van …ha a testek nem összenyomhatatlanok g F1F1 F2F2 (Súrlódás nincs.)

Tanulságok - Ha a kényszererők száma épp elég az egyensúlyhoz, a geometria meghatározza az erőket. - Ha a minimálisan szükségesnél több kényszer van, sok megoldás létezik – nagyobb tolerancia külső terheléssel szemben?

Strukturális merevség Modell: erők rudak l részecskék csatlakozási pontok Esetek osztályozása strukturális merevség szerint: - hipostatikus: kevés rúd, flexibilis - izostatikus: éppen elég rúd - hiperstatikus: szükségesnél több rúd hiperstatikus eset: a rudak vagy deformálhatóak, vagy nem függetlenek a paramétereik (pl. tökéletes rács) Ha a rudak(szemcsék) elég merevek (a külső terheléshez képest) és az erők függetlenek, csak izostatikus szerkezet lehetséges.

Mennyi kötés kell az izostatikussághoz? Szabadsági fokok száma (konfigurációs tér dimenziója): N f Kontaktusszám: N c Hiperstatikus („felesleges”) kontaktusok száma: h naiv becslés: Viszont: létezhetnek olyan elmozdulások, amelyekre minden kontaktus invariáns (pl. egész rendszer merev testként való mozgatása). Az ilyen „laza módusok” száma legyen: k belátható:

Kritikus koordinációs szám Koord. szám ( z ): egy részecske kontaktusainak száma. kritikus, ha az ismeretlen erőkomponensek száma azonos az egyensúlyi egyenletek számával. Pl. súrlódásmentes, gömb alakú részecskékre: nd egyensúlyi egyenlet kontaktus Érvelés deformálhatatlan részecskékre: Minden kontaktus egy szabadsági fokot vesz el, tehát a strukturális merevséghez legalább N f kontaktus kell. Mivel merev részecskék esetén nem lehetnek egymással „ütköző” geometriai kényszerek, egyensúlyi egyenletek száma. Tehát azaz

Izostatikusság Egy adott probléma (adott geometria + külső erők) izostatikus, ha az egyensúlyt leíró egyenletek egyértelműen meghatározzák a kontaktuserőket (és ha létezik egyensúlyi megoldás). Ekkor h , azaz nincs több kontaktus a minimálisan szükségesnél. Egy geometria izostatikus, ha minden külső terhelés izostatikus problémát definiál rajta. Ekkor h  és k  k  azaz csak triviális laza módusok vannak ( k  az összes részecske, mint merev test szabadsági fokainak száma).

Nem izostatikus geometriák Ilyenkor z  z crit azaz általános külső erő esetén p   valószínűséggel a feladat nem megoldható (kevesebb ismeretlen, mint egyenlet). Miért látunk mégis ilyet: a geometria és a külső erők nem függetlenek, a külső erők állítják be a geometriát. Laza módusok megengedettek, ha merőlegesek a terhelésre.

Izostatikus geometria törékenysége Modell (nem egyforma sugarak!): Perturbáció: egyik alsó erő pici megváltoztatása Mért válasz: függőleges elmozdulások négyzetes összege, a magasság függvényében

Izostatikus geometria törékenysége II. Másik szimuláció:

Konklúziók -Szemcsés rendszerek statikájának leírásában a strukturális merevség hasznos koncepció. -Izostatikus probléma (pl. merev részecskék) esetén pusztán a geometria meghatározza a megoldást (a kontaktuserőket). -Izostatikus esetben a geometria törékeny: a terhelés változása jelentősen átalakíthatja.

Referenciák - Unger, T. (2004). Characterization of static and dynamic structures in granular materials. PhD thesis, Budapest University of Technology and Economics - Moukarzel, C. F. Isostatic Phase Transitions and Instability in Stiff Granular Materials. Phys. Rev. Lett. 81, 1634 (1998). -Roux, J. N. Geometric origin of mechanical properties of granular materials. Phys. Rev. E 61, 6802 (2000). -Kasahara, A. and Nakanishi H. Isostaticity and mechanical response of two-dimensional granular piles. Phys. Rev. E 70, (2004).

Példa nemtriviális laza módusra