Pénzügyi modellek A képletek korlátai

Opcióárazás - Mi a modell célja Árazás? Nem igazán. Modellre épített árakból jelentős pozíciót vállalni elfogadhatatlan kockázatot jelent, mint azt láttuk az elmúlt húsz évben. Így az árak elsősorban a piacon alakulnak ki Előfordulhat, hogy olyan terméket akarunk árazni ami nem létezik pontosan a piacon, csak hasonlók. Ilyenkor jól jöhet a modell. Kockázatkezelés? Inkább. Ha pozíciót vállalunk, akkor szeretnénk tudni, hogyan kezeljük azokat a kockázatokat, amelyeket nem akarunk vállalni. Pl. csak a volatilitásról gondoljuk, hogy a piac félreárazza, akkor nem akarunk delta kockázatot futni Az arbitrázsmentes árazás fontos – de csak akkor ha gyakorlatban kivitelezhető

Black Scholes model Black Scholes formula pénzügyi termékekre kiírt opciók árát adja meg Inputként a mögöttes termék árát, árának szórását, a lejáratig hátralévő időt és a kockázatmentes kamatot használja fel Feltételezi a mögöttes termék árának lognormális eloszlását, az árak folytonos mozgását (mindkét értelemben) és a piacokhoz való folyamatos hozzáférést A formula régen ismert, Black Scholes a levezetéssel elméleti igazolást akart adni A szükséges feltételekről hamar kiderült, hogy nem állják meg a helyüket

Black Scholes a fedezés tükrében Detering és Packham megvizsgálta a következő kereskedési stratégiát: DAX opciókat eladunk a piacon majd a Black Scholes alapján fedezzük (naponta újrasúlyozva az indexet) A stratégia pozitív várható értékű (implied rendszerint nagyobb mint a realizált) és a szórás is nagy. A veszteség az opció prémium 25%-a 95% konfidenciaszinten és 41%-a 99% konfidenciaszinten A fedezeti stratégia teljesítménye nem javul akkor sem, ha a delta számításakor figyelembe vesszük az az implied volatilitás változását Black Scholes modell szerint opciónként is működnie kellene, de még statisztikailag sem működik

Kockázat kezelés Ideális kockázatkezelés piaci elemekből összállított statikus fedezés Példa: extinguishing swap Ha több lehetőség van, akkor mindig érdemes a leglikvidebb eszközosztállyal fedezni Black Scholes modellben a fedezés csak az opció tárgyára irányul – az ideális választás a forward használata, kiküszöböli a kamatkockázatot De mi történik ha a volatilitás változik? Ebben a modellben ezt nem tudjuk kezelni

Black Scholes a piacon A piaci opció árakat csak úgy lehet megkapni, ha a különböző lehívási árakhoz különböző volatilitást társítunk, vagyis a piac nem fogadja el a Black Scholes modellt – csak azt állítja, hogy használja Az eloszlás nem esik egybe a tapasztalattal – mint ahogy a piac 1987-ben megtanulta A folytonos fedezés nem lehetséges – likviditási és információ eloszlási korlátok miatt Kereslet kínálat itt is létezik

Alternatív modellek Az alternatív modellek a Black Scholes modell megkötéseit próbálják enyhíteni Sztochasztikus szórás – pl. Heston mean reverting szórás Lokális szórás – szórás függ a az eszköz árától Mean reverting modellek – elsősorban fx és kamat témakörben Multifaktor modellek kamat és kötvényopciók részére Egyéb eloszlások, pl. általános Lévy folyamatok, vagy Pareto eloszlás

Alternatív modellek értékelése Túl sok paraméter: overfitting, alacsony szignifikncia a paraméterekre A paraméterek időben nem stabilak, ráadásul a piaci mozgások intenzitása is befolyásolja őket A nem folytonos modellek eleve nem biztosítanak fedezési stratégiát Általában a modellek célszerszámok: bizonyos problémákat jól oldanak meg, másokat egyáltalán nem A modellek fedezési teljestménye még mindig hagy kivánnívalót maga után

Piaci információ korlátok

Minimális modell hiba Definiáljuk a megengedett modellek halmazát Keressünk ezen egy eloszlást valamilyen jósági kritérium alapján (pl a piaci árakhoz való illeszkedés) Egy adott fedezési stratégia modellhibáját egy adott modellre ki tudjuk számítani Az egyes modellekhez tartozó modellhibákat átlagoljuk a fentebb definiált eloszlás szerint – ez lesz a stratégiához tartozó modellhiba Azt ezt minimalizáló stratégia hibája lesz a minimális modellhiba Általában véve a modellből adódik az adott modellhez tartozó optimális modell

Minimális modell hiba Ha a minimális modellhiba nulla, akkor az ezt elérő stratégia modell- független Ha a modell nem folytonos, akkor nem lehet fedezni Modell független statikus fedezési stratégiák a legjobbak Általában a jósági kritérium befolyásolja a modellhibát Carr-Madan alapján, ha létezik likvid opció minden strike-ra és lejáratra akkor lehet statikus modell független fedezést csinálni Ez persze nem így van, de ezt a tényt fel lehet használni optimális fedezési stratégiák kidolgozására

A stratégiához alkalmazkodó modellek megtalálása a cél Általában épeszű trading stratégiában fontos a korlátlan kockázat elkerülése Ha nagy opciós portfoliónk van, kis gammával akkor alapvetően a várható érték fontos számunkra Ha stratégiánk a volatilitás monetizálása (például hosszú opció fedezése a mögöttes termék segítségével), akkor a szórás modellezése a legfontosabb Ha a stratégia passzív opció vétel vagy eladás, akkor elsősorban eseményvalószínűségek korlátok közé szorítása Gyakran a korlátozó feltételek – ha piaci információra épülnek – akkor egyben a fedezeti stratégiát is megmutatják

Mi is az a CDO Egyszerűen fogalmazva egy speciális cég Eszközei kötvények, vagy hasonló hiteleszközök Forrásszerkezete hierarchikus és számos részből áll A hierarchikus szerkezet miatt a különböző források kockázata is különböző

Teljes tőkeszerkezet A teljes tőkeszerkezet a klasszikus CDO, itt a források összege megegyezik az eszközök összegével Árazást a piac biztosítja, mivel a szervező bank eladja az összes forrást Létjogosultságát a ‚rating arbitrage’ adta, ugyanis a középső és felső részek a forrásban a ratinghez képest sokat fizetett Kockázatkezelésre a vevőknek van szüksége, de ezek általában lejáratig tartott eszközök voltak, így csak a veszteség valószínűségét próbálták megítélni

Szintetikus CDO A CDO-k ‚rating arbitage’-a legjobban a tőkeszerkezet közepén működik ezért ez volt a legjövedelmezőbb része Lehetne-e csak ezt a részét csinálni az üzletnek? Hát persze! Csináljunk modellt, árazzuk be a középső részt a modell alapján és mehet! Arbitrage! De valahogy meg kellene oldani a kockázatkezelést is, erre is kellene egy modell! Ez a modell nem biztos, hogy ugyananaz a modell mint az árazáshoz, hiszen dinamikus fedezésre van szükség

Szintetikus CDO: a piac Mivel a bankok számára a kereslet csak egyik irányban létezett, ezért féltek attól, hogy a paraméterek nem piackonformak Piaci szereplők ezért létrehoztak sztenderdizált indexekre épülő sztenderdizált forrásszeleteket Ezek együttesen lefedik a teljes tőkeszerkezetet, de nem kellett együtt kereskedni velük Lehet árazásra és fedezésre is használni Bankok egymás között és ügyfelekkel is kereskedtek ezekkel

Sztenderd modell Credit modellezése: csőd bekövetkezik vagy nem. Megállási idővel modellezzük, időtől független túlélési ‚sűrűség’, ebből következik hogy az exponenciális eloszlás logikus választás. Piac adja a kockázat semleges eloszlást Hogyan modellezzük az együttes eloszlást? A marginális eloszlást ismerjük, már csak egy copula függvényre van szükség, hogy összekovácsoljuk őket Sztenderd modell: normál copula. Egy faktor, ami a piacot modellezi plusz független azonos eloszlású zaj Legnagyobb előny – kevés paraméter becslésére van szükség és számítása könnyű

Sztenderd modell Input (elméletileg): az árazáshoz a túlélési valószínűségek és az ezek közötti összefüggések kellenek. Ha dinamikus fedezést akarunk, akkor valószínűleg modellezni akarjuk a valószínűségek változását is Output: az adott forrásszelethez tartozó kamatfelár, valamint a fedezéshez tartozó mennyiségek. A sztenderd modellben az összefüggések leredukálódnak egy ‚korreláció’ értékre, az egyes túlélési valószínűségek helyett pedig az átlagos érték szerepel

Problémák a sztenderd modellel Index és az index alkotóinak súlyozott átlaga nem ugyanaz. Átlag használata az egyes spreadek helyett. Bid-ask spread. Normál copula nem tud ‚tail dependence’-t modellezni. Általában véve nem feltétlenül van olyan korreláció, amely helyesen árazza az összes forásszeletet, nem feltétlenül egyértelmű a megoldás (-base correlation) Az indexszel való fedezés nem teszi lehetővé a realizált korreláció monetizálását A modell nem számol azzal, hogy a maradványérték különböző és szituációfüggő lehet A modell nem ad a Black Scholes modell levezetéséhez hasonló explicit algoritmust a fedezésre – statisztikai modell

Piaci tapasztalatok Prémium a konvexitásért Nagy kitettség egyedi kockázatnak – 2005 Ford and GM leminősítés Interakció a piac és a modell között – a modell ‚sikere’ az egész piacot elnyomta Korrelációs különbségek portfoliónként

Alternatív modellek Merton típusú strukturális modellek: például Variance Gamma modellek Student és double t-copula lehetővé teszi a tail dependence modellezését A sztochasztikus korrelációra épülő modellek jobban magyarázzák a korrelációs smile-t Marshall-Olkin copula megengedi az együttes csődöt pozitív valószínűséggel Igazi opciós modell nincs erre. Vasicek féle LHP közelítésre építve lehet összehozni valamit közvetlenül a veszteséget modellezve.

Összehasonlító eredmények a modellek között Gaussian és Student nagyon hasonló eredményekhez vezet Marshall Olkin lehetővé teszi a vastagabb farok eloszlást és ennek megfelelően a senior szeleteket magasabb felárral árazza A double t és sztochasztikus korreláció jobban illeszkedik a korreláció ‚smile’-ra, a double t a senior szeleteket a gauss és a Marshall Olkin között árazza A Variance Gamma modellek jól illeszkednek, de nem mondanak semmit a fedezésről Egyik modell sem kezeli a az intenzitás volatilitását

Senior szelet – tail dependence Ebben a szeletben a veszteség kis valószínűségű esemény A kiíró számára ez tipikusan statikus pozíció, legtöbbször pozitív bevétellel (hasonlít egy OTM opció kiírására) A modellezésnek figyelembe kell venni, hogy ha van veszteség, akkor valószínűleg szélsőséges helyzet következett be, és negatív események között sokkal nagyobb az összefüggés mint normális helyzetben Mivel az események időzítése sokkal kevésbé jelentős, mint az esemény bekövetkezése, ezért nyugodtan lehet az események előfordulására figyelni

Mezzanine szelet – előtérben a volatilitás és korreláció Mezzanine szelet sok szempontból az ATM opció párja – a határon van, egy két csődesemény előfordulhat, több ne nagyon Ennek megfelelően itt a legnagyobb a “gamma”, vagyis a pozíció fedezését itt kell leggyakrabban változtatni Ráadásul a korreláció változásának is itt van az inflexiós pontja Ezért bármilyen értelmes modellezésnek figyelembe kell venni a volatilitást A piaci faktor és az egyedi kockázatok volatilitását egyaránt

Equity tranche Csődesemény bekövetkezésének valószínűsége nagy Az előfordulás időzítése nagyon fontos Sokat számít a kamatfelárak eloszlása a portfolión belül Potenciális nyereség és veszteség összemérhető egymással Legérzékenyebb piaci mozgásokra Általában fundamentális elemzésre van szükség a pozíció válalásához

Záró megjegyzések A pénzügyi piacokon a modellek funkciója az árak és fedezési stratégiák korlátok közé szorítása Explicit és modell független replikáció nélkül csak segédeszköze az üzletkötésnek Leghasznosabb funkciója a nem triviális összefüggésekre való rávilágítás illetve fedezési stratégiák megtalálása