Pozsgay Balázs IV. évfolyamos fizikus hallgató A gömbfelület, az euklideszi sík és a hiperbolikus sík klasszikus mechanikájának egységes leírása Pozsgay Balázs IV. évfolyamos fizikus hallgató Témavezető: Bajnok Zoltán ELTE Elméleti Fizikai Tanszék

A Riemann-sokaságok klasszikus mechanikája A klasszikus mechanika Lagrange-formalizmusa szerint egy mechanikai rendszer mozgását az Lagrange-függvény határozza meg A Riemann-sokaságokon mozgó tömegpontok mechanikája:

A dolgozat célja és alapgondolata Ismert, hogy megadható úgy, hogy az adott Riemann-sokaság a gömbi, az euklideszi, vagy a hiperbolikus geometria modelljét adja. A cél a háromféle geometriában megfogalmazott klasszikus mechanika egységes keretbe foglalása, a hasonlóságok és eltérések megkeresése volt. A gömbfelület mechanikájának leírásában alkalmazott módszerek általánosítása ígérkezett célravezető útnak. A megoldást a görbülettől függő metrikával ellátott három dimenziós térbe történő beágyazás szolgáltatja.

Az állandó görbületű felületek beágyazásai A beágyazott N felület a egyenletnek eleget tevő pontokból áll, ahol

Az állandó görbületű felületek beágyazásai Az N felület metrikus tenzora: A fenti metrikával ellátott N egy 1/p görbületű Riemann-sokaság, amely p= 1 esetén az egységgömbbel p= ±∞ esetén az euklideszi síkkal p= -1 esetén a hiperbolikus síkkal izometrikus.

Az N felületen értelmezett mechanika Az Lagrange-függvényben szereplő tagok: Az általános erővektor:

A mozgásegyenletek A szabad tömegpontokra vonatkozó mozgásegyenlet: Az N felületen mozgó tömegpontokra, azaz a kényszernek eleget tevő mozgásokra vonatkozó mozgásegyenlet: Az általános kényszererő:

Az általánosított vektoriális szorzás Az általánosított vektoriális szorzás definíciója: A legfontosabb algebrai tulajdonságok: Az vektormezők generálják az N felület izometriáit

Az általánosított vektoriális szorzás fizikai alkalmazásai Az általános perdületvektor: A tömegpontok mozgása során Egymáshoz képest mozgó koordinátarendszerekben számított deriváltak közötti kapcsolat: A mozgó koordinátarendszerben fellépő tehetetlenségi erő:

Merev testek A merev test tehetetlenségi tenzorának definíciója: A perdület, mozgási energia és a tehetetlenségi tenzor közötti összefüggések: Az általános Euler-egyenlet: Az egyszerre haladó és forgó merev test tömegközéppontja görbületű pályán fog haladni.

A Hamilton-formalizmus Eredmények: A Hamilton-formalizmus megfogalmazása A kényszermozgást generáló Hamilton-függvény meghatározása A Dirac-Poisson zárójel geometriai meghatározása

A sík mechanikája, mint az általános leírás egy határesete Az N felület esetén: A tehetetlenségi tenzor:

Az eredmények szemléltetése Sztereografikus projekció: a hiperbolikus sík Poincaré-féle modellje A számolás a Newton-törvény szerint, a megjelenítés a Poincaré-féle modellen

Az eredmények szemléltetése A ,,kísérlet’’: merev test modellezése 3 tömegponttal A görbület a szögsebesség nagyságától függ

Kitekintés Miért sikerült az általánosítás, mi benne az új eredmény, s érdemes-e magasabb dimenziós tereket azonos formalizmussal vizsgálni? A három dimenziós tér különleges tulajdonságai Egységes leírás a gömbi mechanika módszereinek általánosításával Kapcsolat a relativitáselmélettel: az Inonü-Wigner kontrakció Az általános relativitáselmélet szerint a gravitációs térhez a részecskék spinje is csatolódik, a pálya általában nem lesz geodetikus.

Köszönöm a figyelmet!