„Házasodj meg, meg fogod bánni; ne házasodj meg, azt is meg fogod bánni; házasodj vagy ne házasodj, mindkettőt meg fogod bánni; vagy megházasodsz, vagy nem, mindkettőt megbánod. ” Kierkegaard Fitch formátumban: Vagy házasodj meg, vagy ne. Házasodj meg. Meg fogod bánni. Ne házasodj meg. (Mindenképpen) meg fogod bánni.

Diszjunkció-kiküszöbölés ( Elim) Ha van egy “A  B” alakú mondatunk egy bizonyításban, és mind A-ból, mind B-ből le tudunk vezetni egy C mondatot (egy-egy részbizonyításban [subproof]), akkor a bizonyításunka t folytathatjuk C-vel. Azaz C-re három dologból következtetünk: az “A  B” premisszából, a premisszaként egyedül A-t tartalmazó és C-re végződő részbizonyításból és a B premisszájú, C-re végződő részbizonyításból. Nyilvánvalóan általánosítható többtagú esetre. Nem kell minden egyes tagból bizonyítani a konklúziót, elegendő részdiszjunkciókból. Próbáljuk ki: Disjunction 1, Disjunction 2. HF: 6.5, 6.6

Indirekt bizonyítás („lehetetlenségre való visszavezetés” [Arisztotelész]) Tétel: a négyzet átlójának és oldalának nincsen közös mértéke, azaz az arányuk nem fejezhető ki két egész szám – p és q – hányadosaként. Tegyük fel, hogy a tétel nem igaz, azaz (A) Van olyan közös mérték, amelynek p-szerese az átló és q-szorosa az oldal. Feltehetjük, hogy p és q közül legfeljebb az egyik páros (egyszerűsítés). 2q2=p2 Püthagorasz tétele miatt. De akkor p páros, mert a négyzete páros. Ezért q páratlan. q2 = p2/2 Páros szám négyzete osztható néggyel, tehát p2/2 is páros. Tehát q2 páros. De akkor q maga is páros. Lehetetlenségre (ellentmondásra) jutottunk („a párosok a páratlanokkal egyenlőek lennének”). Ezért az A mondat hamis, A negációja, azaz a tétel pedig igaz. Q.e.d. Ebből a módszerből lesz a negáció bevezetési szabálya. A formalizáláshoz segédeszköz egy új konstans: , a lehetetlen mondat (vagy ellentmondás, vagy Falsum). Az A mondatból levezettünk egy ellentmondást, azaz -t, ezzel bizonyítottuk “A”-t.

A kettős negáció elvé(nek egyik fele) Negáció-bevezetés ( Intro) Ha van egy részbizonyításunk, amelynek P az egyetlen premisszája és -ra végződik, akkor a bizonyítást folytathatjuk “P”-vel. Negáció-kiküszöbölés ( Elim) Ha van egy “P” alakú mondatunk a bizonyításban, akkor folytathatjuk P-vel. Falsum-bevezetés ( Intro) S és “S” után -mal lehet folytatni. Bizonyítsuk be ezekkel a szabályokkal a kettős negáció elvének másik felét! (Negation1) Bizonyítsuk be az egyik De Morgan-szabály egyik felét: „(A  B)”-ből vezessük le „A  B”-t! A kettős negáció elvé(nek egyik fele)

Új centrális logikai fogalom: ellentmondásosság Mondatok egy halmaza ellentmondásos, ha lehetetlen, hogy egyszerre igazak legyenek. Mondatok egy halmaza tt-ellentmondásos, ha akármilyen az atomi mondatok igazságértéke, nem lehet egyszerre mind igaz, azaz közös igazságtáblázatuknak nincs csupa-igaz sora. Másképp: tautologikusan következik belőle . FO-ellentmondásos/analitikusan ellentmondásos: ami nem lehet egyszerre igaz a logikai konstansok/az összes kifejezés jelentése miatt.

Falsum-kiküszöbölés ( Elim) Ha a bizonyításban szerepel a  mondat, bármilyen mondattal folytatható. (Ex falso quodlibet sequitur.) Ismétlés (Reit) Egy bizonyításban bármelyik sort meg lehet ismételni. A  Elim szabály nélkülözhető. Fontos! Minden bizonyítás több bizonyításból álló struktúra (lehet), melyben egyes bizonyítások részei másoknak, ill. minden más bizonyítás része az egésznek. Ezt a relációt a függőleges vonalak mutatják: egy P bizonyítás részbizonyítása egy másik, Q bizonyításnak, ha a függőleges vonala Q vonala „mögött” (jobbra) van. Egy bizonyítás új lépésében felhasználhatjuk az eddigi lépéseink eredményét, beleértve azoknak a bizonyításoknak a lépéseit, amelyeknek a mi bizonyításunk része, de sohasem használhatjuk a saját részbizonyításainak, vagy más olyan részbizonyításoknak a lépéseit, melyeknek nem része. Próbáljuk ki: 6.18 HF: 6.19-20.