Nem igaz, hogy a kocka vagy tetraéder. Nem igaz, hogy a kicsi és piros. a nem kocka és nem tetraéder. a nem kicsi vagy nem piros. Általában: "  (A  B) ” igazságértéke mindig ugyanaz, mint "  A   B ” igazságértéke. Igazságtáblázattal könnyen ellenőrizhető. És ugyanígy van "  (A  B) ” és "  A   B ” is. Más oldalról : A zárójeleket nem lehet csak úgy elhagyni! Se konjunkciót, se diszjunkciót nem lehet tagonként negálni!!! Nem ugyanaz:  (A  B)  A   B  A  B És ugyanígy diszjunkcióval: "  (A  B)”, "  A   B”, "  A  B” mind különböző!

Két mondat (logikai értelemben) szinonim, ha megegyeznek az igazságfeltételeik, azaz bármely helyzetben avagy világban ugyanaz az igazságértékük. Ilyen a blokknyelvben BackOf(a, b) és FrontOf(b, a). Ez a BackOf és FrontOf predikátumok jelentésén múlik. Azt is mondhatjuk, hogy a két mondat (analitikusan) ekvivalens De ha A és B tetszőleges mondatok, ilyen szinonímia áll fenn "  (A  B)” és "  A   B” között, és ez csak az előforduló logikai szimbólumok jelentésén múlik. Az ilyen szinonímiát nevezzük logikai ekvivalenciának. Jele:  A De Morganról elnevezett két törvény tehát:  (A  B)   A   B  (A  B)   A   B A Boole-konnektívumokra vonatkozik néhány ezeknél is egyszerűbb ekvivalencia: -- a kettős negáció törvénye -- a konjunkció és a diszjunkció asszociativitása -- kommutativitása -- idempotenciája HF: 3.16

Nem triviális kérdés: disztributív-e a konjunkció a diszjunkcióra? A szorzás disztributív (szétosztható) az összeadásra: a*(b+c) = a*b + a*c És a diszjunkció disztributív-e a konjunkcióra? Ez majd feladat lesz. Fordítás (formalizálás, interpretáció) A fordításnak meg kell tartania a jelentést (azaz az igazságfeltételeket). Másképp: az eredeti és a lefordított mondatnak minden lehetséges világban meg kell, hogy egyezzen az igazságértéke. Ha ezzel megelégszünk, az annyit jelent, hogy ha A’ helyes fordítása az A mondatnak, akkor A’ minden szinonimája (minden vele ekvivalens mondat) is jó fordítás. Házi feladat: 3.21 (+ 3.22) Célszerű a Tarski’s World segítségével megírni, egy.sen fájl formájában.

A Boole-konnektívumok logikája Kitérő a logikai lehetőségről Egy K konklúzió következménye a P 1, P 2,... P n premisszáknak: Lehetetlen, hogy P 1, P 2,... P n igaz legyen, de K hamis. Speciális eset: n=0 Azaz: lehetetlen, hogy K hamis legyen. Pl. ‘a=a’ ilyen mondat. Az ilyen mondatokat nevezzük logikai igazságoknak, feltéve, hogy a ‘lehetetlen’ annyit jelent, hogy logikai okokból lehetetlen. Ennek ellenkezője az ellentmondás (logikai lehetetlenség).  (Tet(b)  Cube(b)  Dodec(b)) lehetséges a geometriai objektumok világában, de nem lehetséges Tarski’s World-ben. Tet(b)   Tet(b) nem lehetséges, hogy igaz, mert akár igaz Tet(b), akár hamis, ez a mondat hamis és ehhez azt se kell tudnunk, mit jelent Tet(b). Tehát ez ellentmondás, logikai lehetetlenség.

Igazságtáblázatok Az igazságkonnektívumok bevezetésénél már szerepeltek. Ha egy mondat n különböző atomi mondatot tartalmaz, akkor az igazságtáblázata 2 n sorból áll. Ha egy mondat igazságtáblázatának eredményoszlopában csupa T áll, akkor a mondat logikai igazság, közelebbről tautológia (0-rendű logikai/kijelentéslogikai igazság). Ha két mondat igazságtáblázatának az eredményoszlopa megegyezik, akkor a két mondat kijelentéslogikailag (tautologikusan) ekvivalens. Példák: De Morgan-szabályok. Igazságtáblázattal tetszőleges mondat esetében meg tudjuk határozni, az atomi mondatok milyen igazságértékelése (evaluation) mellett igaz. Ezen belül: tautológia-e, (tautologikusan) lehetséges-e? Tautológia, ha minden sorban T van. Tautologikusan lehetséges (TT-possible), ha legalább egy sorban T van Automatizálás: Boole. Példa:  (A  (  A  (B  C)))  B propositional logic

Tautológiák Logikai igazságok Szükségszerű igazságok HF: 4.7 A disztributivitási ekvivalenciákat is lehet Boole-lal bizonyítani! Két mondat TT-ekvivalens, ha eredményoszlopuk megegyezik. A konjunkció disztributív a diszjunkcióra. HF: A diszjunkció is disztributív a konjunkcióra Eredmény: disztr_nev.tt 0