M. Colyvan: Nélkülözhetetlenségi érvek a matematikafilozófiában

Bevezetés Minden tudomány nagyban épít a matematikára, azonban különböző módon és mértékben (van olyan tudomány, ami közvetlenül felhasználja, van olyan ami statisztikai alkalmazásokra) Olyannyira fontosnak tűnik a matematika a tudomány számára, hogy felmerül: egyenesen nélkülözhetetlen számára (pl. kvantum mechanikai tételek és általános relativitás elmélet ki sem mondható matematikai apparátus nélkül) ebből a feltevésből kiindulva Quine és Putnam messzemenő metafizikai következtetéseket vontak le jelesül: a matematikai entitások nélkülözhetetlenségük okán létezőnek tekinthetők. Vagyis: minthogy a számok, halmazok nélkülözhetetlenek természettudományos elméleteink számára, egyúttal ontológiai elköteleződést is implikálnak ez a tétel „Quine és Putnam matematikai realizmus mellett szóló nélkülözhetetlenségi tételeként” lett közismert (vannak egyéb nélkülözhetetlenségi érvek is, de azokról nem lesz szó)

A Quine-Putnam nélkülözhetetlenségi-tétel kimondása a tétel a matematikai realizmus (platonizmus) melletti leghatásosabb érvként vonult be a köztudatba ez adja meg a kérdés tétjét: aki a matematikai nominalizmus mellett akar érvelni, annak először is cáfolnia kell a Quine-Putnam tételt

A Quine-Putnam nélkülözhetetlenségi-tétel kimondása maga a tétel így rekonstruálható: –P1: Kizárólag azon entitásokkal kapcsolatban kell ontológiailag elköteleződnünk, amelyek nélkülözhetetlenek legjobb tudományos elméleteink számára, ugyanakkor minden ilyen entitással szemben el kell köteleződnünk („We ought to have ontological commitment to all and only the entities that are indispensable to our best scientific theories.”) –P2: A matematikai entitások nélkülözhetetlenek legjobb tudományos elméleteink számára. –C: Ontológiailag el kell köteleznünk magunkat a matematikai entitások léte mellett.

A Quine-Putnam nélkülözhetetlenségi-tétel kimondása maga a bizonyítás roppant meggyőző (egyszerű szillogizmus), ezért aki meg akarja cáfolni az érvet az a premisszákat kell támadja első lépésben azt vizsgáljuk meg, hogy mit is jelent pontosan a „nélkülözhetetlen” kifejezés második lépésben azt vizsgáljuk meg, hogy P1 és P2 tartható-e

Mit jelent nélkülözhetetlennek lenni? maga a kérdés, annak ellenére kevés figyelmet kapott, hogy kulcsfontosságú a tétel szempontjából Quine maga nem nélkülözhetetlenségről beszél, hanem olyan „entitásokról, melyeket legjobb tudományos elméleteink kánonja meghatároz” („Quine actually speaks in terms of the entities quantified over in the canonical form of our best scientific theories rather than indispensability”) ennek ellenére, minthogy a diskurzus a nélkülözhetetlenség körül forog, ezt vesszük szemügyre

Mit jelent nélkülözhetetlennek lenni? nélkülözhetőség nem azonos az eliminálhatósággal (elhagyhatósággal) a nélkülözhetetlenség több mint a puszta elhagyhatatlanság: akkor nélkülözhetető egy entitás, ha nem csupán elhagyható az elméletből, hanem azáltal hogy elhagyjuk az elméletből az eredetinél vonzóbb elméletet kapunk (nélkülözhető= nincs rá szükség, ezért – Ockham-borotvája értelmében – elhagyása javít az elméleten, ami ugyanazt fogja tudni, csak kevesebb premisszával) ezen a ponton felmerül a kérdés: mitől vonzó egy elmélet?

Mit jelent nélkülözhetetlennek lenni? öt pontban: empirikus siker, egységesítési potenciál (unificatory power), egyszerűség, magyarázóerő, termékenység (ezek fontossági sorrendje és súlya vita tárgya, de ez most nem lényeges) akkor vonzó egy elmélet, ha a fenti öt dimenzió mentén megfelelő akkor nélkülözhetetlen egy entitás az elméleten belül, ha vonzóvá teszi az elméletet, vagyis ha a fenti öt dimenzió mentén növeli értékét ezen az alapon érvelve felmerül a kérdés: vajon azokkal a matematikai entitásokkal szemben is el kell magunkat ontológiailag kötelezni, amelyek nem kerülnek természettudományos elméletben alkalmazásra? Quine válasza szerint igen: minden olyan matematikai entitással kapcsolatban el kell magunkat ontológiailag kötelezni, amely visszavezethető természettudományos elméletekben alkalmazott matematikai entitásokra, ez utóbbiak létét pedig természettudományos elméletbeli hasznosításuk igazolja.

Naturalizmus és holizmus noha a Quine-Putnam tétel mindkét premisszája megkérdőjelezésre került, a P1 szorul igazán megalapozásra. ehhez a naturalizmus és a holizmus nyújt segítséget Quine naturalizmus felfogása szerint a filozófiai és a tudományos megismerés nem választható el szigorúan egymástól, ezek egymásba érnek ennek megfelelően nincs prioritása a filozófiának a tudomány fölött (sem fordítva) a tudomány és a filozófia együttese a világ legpontosabb leírása

Naturalizmus és holizmus a világ tudományos leírásának mércéje a tudományos módszer (amennyiben a tudományos módszer szerint járunk el, úgy a világ legadekvátabb leírását kapjuk) a tudomány fenti felfogásából következik, hogy amit a tudomány leír az a legjobb közelítés a „mi van?” kérdésre adott válaszhoz is (azokról a dolgokról van értelme létezést feltételezni, amelyekről a tudományos megismerés révén tudunk) vagyis a tudományos megismerésnek ontológiai implikációja is van (ami tudományosan igazolhatatlan – pl. babonák – az nem létezik) a naturalizmus tehát alapot szolgáltat arra, hogy a tudományos elméletünkhöz szükséges entitások létét elfogadjuk és más entitások létét tagadjuk

Naturalizmus és holizmus azonban arra nem szolgáltat alapot, hogy minden olyan entitás létét elfogadjuk, amely szerepel elméletünkben e mellett csak a holizmus segítségével érvelhetünk (emlékszünk P1 két részből áll, az első tagját igazolja a naturalizmus a másodikat a holizmus) a konfirmációs holizmus azt az álláspontot képviseli, hogy soha nem egyes tételeket konfirmálunk az empirikus kísérletekkel, vagy vetünk el, hanem mindig egy egész elméletet ebben az értelemben, ha matematikai entitást is tartalmaz az elmélet az is konfirmálódik az empirikus kísérlet során

Naturalizmus és holizmus meg kell jegyezni ugyanakkor, hogy Quine kétféle értelemben használja a holizmus kifejezést: a fenti konfirmációs holizmus értelmében és szemantikai holizmus értelmében a szemantikai holizmus entitások helyett jelentésekre vonatkozik: eszerint a jelentés alapegysége nem egy kijelentés, hanem egy kijelentés rendszer, egy nyelv (ez azt jelenti, hogy amikor valaminek a jelentését meg akarjuk adni egy nyelv egészére kell utalnunk, nem egy definícióra) Quine a szemantikai holizmus segítségével támogatja meg P1-t, amit sok kritika ért azonban számos kommentátor szerint ehhez a kevésbé vitatott konfirmációs holizmus is elégséges erre fog támaszkodni a további gondolatmenet is

Az ellenvetések Hartry Field P2-t támadja: álláspontja szerint a matematikai elméleteknek nem kell igaznak lenniük, nem az igazságot várjuk el tőlük: azok elég ha „megőrző jellegűek” (conserative) ami azt jelenti, hogy elég, ha a matematikai elmélet tetszőleges nominális tudományos elmélethez való kapcsolása után nem születnek olyan plusz következtetések, amelyek az eredeti nominális elméletből már eleve ne következnének minthogy ebben az értelemben „semlegesek” a matematikai elméletek (tautológiák), ezért használhatók a tudományos elméletekben

Az ellenvetések azonban e semlegességükből fakadóan nem tesznek hozzá semmit azok igazságához (amiből az is következik, hogy a tudományos elmélet igazolása sem tesz hozzá semmit a matematikai elmélet igazságához) arra a kérdésre, hogy miért használjunk matematikai elméleteket a fenti elgondolás jól látható módon nem árul el semmit. Field szerint erre a kérdésre pragmatikus válasz adható: a matematika egyszerűsíti az elméleteket.

Az ellenvetések ez egyúttal azt is jelenti, hogy cseppet sem nélkülözhetetlen, a matematika nélkül is leírhatók a tudományos elméletek ezt Field meg is kísérli a newtoni gravitáció-elmélet példáján szemléltetni, ami azonban korántsem bizonyítja, hogy minden tudományos elmélet leírható matematika nélkül ez Field érvelésének gyenge pontja

Az ellenvetések Penelope Maddy P1 felől indít támadást a nélkülözhetetlenségi tétel ellen azt javasolja gondoljuk végig, csakugyan ontológiailag elköteleződünk-e a legjobb tudományos elmélet összes entitása mellett? hiszen gondoljuk csak meg: ez azt jelentené, hogy a tudományos elmélet homogén abból a szempontból, hogy minden elemét egyenlő mértékben ismerjük el létezőnek ez a valóságban nem igaz: hisz a tudódok az elméletek különböző elemeit különböző mértékben tekintik biztos pontnak, van ami mellett nagyon erősen kitartanak és van ami felől kétségeik vannak

Az ellenvetések (gondoljuk meg azt is, hogy ha a tudományos elmélet elemei homogének lennének, mi alapján döntenénk melyiket változtassuk meg ha a kísérlet nem igazolja az elmélet egészét?) ezen a ponton naturalizmus és holizmus ellentétbe kerül egymással: hisz nem lehet egyszerre az elmélet összes eleme mellett ugyanolyan mértékben elköteleződni minthogy naturalizmus és holizmus egyaránt szükséges P1-hez, ezért kettejük összeférhetetlensége gyengíti P1-et

Az ellenvetések ha heterogénnek tekintjük a tudományos elmélet elemeit, feltehető a kérdés: vajon a matematika milyennek tekinthető, olyan elemnek amihez minden áron ragaszkodni kell (és ez esetben erős az ontológiai elköteleződés mellette), vagy olyannak amihez nem feltétlenül kell ragaszkodni (és ez esetben nem olyan erős az ontológiai elköteleződés mellette)? Maddy álláspontja szerint a matematika az utóbbi csoportba tartozik (nem kell hozzá feltétlenül ragaszkodni) példája: a hullámtörések, ezek magyarázatához a tudós bármilyen matematikai apparátust felhasznál, csak hogy magyarázza a jelenséget, vagyis nem tekinti a matematika apparátust ki nem cserélhető elemnek

Az ellenvetések Elliot Sober kritikáját tekintjük át utoljára Sober érvelése azon alapul, hogy a matematikai és a tudományos elméletek konfirmálása különbözik a természettudományos elméletek igazolása alternatív hipotézisek, az empíria segítségével történő összevetésével történik

Az ellenvetések a matematikai elméletnél ez per definitionem lehetetlen: minthogy minden elméletnek van egy matematikai magja, vagyis nincs matematika- mentes elmélet, ezért a matematikai elméletnek nem rekonstruálható alternatívája, vagyis nem lehetséges olyanmódon tesztelni, ahogy a természettudományos elméleteket ebből fakadóan – Maddyvel egybehangzóan – azt mondja Sober, hogy a matematikai elméletek, nem függnek az empirikus teszteléstől, vagyis a holizmus nem áll, vagyis P1 nem áll

Konklúzió a vita természetesen nem zárult le, folyik jelenleg is ami célja volt a dolgozatnak és az előadásnak is az nem más mint érzékeltetni holizmus-naturalizmus- nélkülözhetetlenségi tétel összefüggéseit a vitának az ad különösen nagy súlyt, hogy a nélkülözhetetlenségi tétel a matematikai platonizmus melletti egyik – ha nem az egyetlen – érvelés ugyanakkor a platonizmussal szemben két fontos ellenvetés van: –hogyan ismerhetők meg a világtól független matematikai entitások? –számok halmazokra való redukciójának meghatározatlansági problémája (ha a számok halmazok, mely halmazok pontosan?)

Konklúzió egy nagy érv a matematikai realizmus mellett: közös nevezőt – univerzális szemantikát – teremt természettudományos és matematikai elméletek számára (közös igazolási rendszerbe ágyazza őket) végül meg kell jegyezni, hogy noha jelenleg a legjobb érv a matematikai platonizmus mellett a Quine-Putnam nélkülözhetetlenségi elv, de ez nem jelenti, hogy ennek megdőlés egyben a matematikai realizmus megdöntését is magával vonja