Számrendszerek óvodapedagógusoknak

A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy Legyen benne üres halmaz Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor tartalmazza a HU{x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem. Soroljuk egy osztályba az egyenlő számosságú halmazokat Vegyünk ki minden osztályból egy halmazt – reprezentáns halmaz. Értelmezzük a következő relációt: |A|<|B| Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában található halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

A természetes számok halmaza A természetes számok halmaza végtelen számosságú, Jelölése: N={1,2,3,…..} Megjegyzések Minden véges halmaz számossága egy természetes számmal adható meg. A természetes szám halmaztulajdonság – az elemek lényeges tulajdonságaitól elvonatkoztatunk. A fenti értelmezés szerint a 0 is természetes szám! A véges halmaz számosságának megállapításához a gyakorlatban sorszámozzuk az elemeket.

A természetes számok axiomatikus értelmezése Alapfogalmak Természetes szám A nulla (0) rákövetkezés Axiómák

A természetes számokra vonatkozó axiómák Minden természetes számnak van egy természetes rákövetkezője, amely szintén természetes szám Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0 rákövetkezője lenne Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző. Ha egy T tulajdonság olyan, hogy Igaz a k0€N számra, továbbá Abból a feltevésből, hogy a T tulajdonság igaz egy tetszőleges k(k>=k0, k€N) számra, következik, hogy igaz a k rákövetkezőjére is, akkor a T tulajdonság minden k>=k0 természetes számra igaz lesz (teljes indukció axiómája).

Műveletek természetes számokkal Összeadás |A|=a, |B|=b és A B={}, akkor a+b=|AUB| Szorzás |A|=a, |B|=b, ab=|AxB| Kivonás |A|=a, |B|=b és BÍA, azaz a<=b, a-b=|A\B| Osztás a,b€N, a:b az a c€N, melyre bc=a

Műveleti tulajdonságok Kommutatív A+b=b+a, ab=ba Asszociatív (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) Disztributív (a+b)c=ac+bc

Számírás

Számírás - Róma Római számok – csak alaki érték! I,II,III,IV, V, VI,VII,VIII,IX,X,XI,…., L (50),,,,C(100),…D(500), ….M(1000),…. MCMLXVIII (1968) Európában az 1300 –as évekig ez volt használatban, műveletek elvégzésére alkalmatlan volt.

Számírás Hinduk – kb. 600-tól alkalmazzák a helyiértékes leírást. Az indiai számjelek számjegyekké fejlődését könnyítette, hogy nem voltak összetett jelek. A helyiérték fogalmát valószínűleg Mezopotámiából vették át. Kínai hatás látszik (nagyságrend jelölése)

kínai

Számrendszerek A tetszőleges természetes szám, g>0 természetes szám, A=angn+an-1gn-1 +…+a2g2+a1g1+a0 156=1*102+5*101+6*100=15610 156=1*125+1*25+5+1=1*53+1*52+1*51+1*50 =11115 156=1*128+0*64+0*32+1*16+1*8+1*4+0*2+1*0= 1*27+0*26+0*25+1*24+1*23+1*22+0*21+0*20= 100111002

ÁTÍRÁS 10-ESBŐL 16 24 8 23 4 22 2 21 1 20 Kettes számrendszerbe 29 a tízes számrendszerben Kettő hatványok: 29:16=1, marad 13 13:8=1, marad 5 5:4=1, marad 1 1:2 0, marad 1 1:1 1 11101 16 24 8 23 4 22 2 21 1 20

Jelrendszer 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,… Kettes számrendszer: 0,1 Hármas számrendszer: 0,1,2 …. Nyolcas számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7 16-os számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Számjegyek (1-9) átírása tízes kettes hármas Hetes 1 0001 001 01 2 0010 002 02 3 0011 010 03 4 0100 011 04 5 0101 012 05 6 0110 020 06 7 0111 021 10 8 1000 022 11 9 1001 100 12

Visszaírás 10-es számrendszerbe a kettes számrendszerből 110111 a kettes számrendszerben 1*32+1*16+0*8+1*4+1*2+1*1=55 1010001 kettes 1*64+1*16+1=81 tízes számrendszer 26 25 24 23 22 21 20 64 32 16 8 4 2 1 01 10 11 00

Visszaírás 3-as számrendszerből tízesbe 12023 1*27+2*9+2=47 21120 hármas számrendszerben 2*81+1*27+1*9+2*3= 204 tízes számrendszerben 35 34 33 32 31 30 243 81 27 9 3 1 2

Műveletek 2-es számrendszerben Összeadás 10112+1012= 1011 0101 10000 Szorzás 1011*11 100001

Egész számok Ahhoz, hogy a kivonás is korlátlanul elvégezhető legyen, a természetes számok halmazát bővítenünk kell a negatív egész számok halmazával. Ekkor kapjuk az egész számok halmazát. Az egész számok halmazelméleti jelölése: Z Z={...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...}

Racionális számok Azokat a számokat, amelyeket felírhatjuk két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük. (a racionális latin szó, itt most azt jelenti, hogy arányként felírható) Természetesen az egész számok racionális számok. (Az osztó az 1.) A racionális számok halmazelméleti jele: Q.

Tizedes törtek A racionális számokat felírhatjuk tizedes tört alakban is. A tizedes törtek lehetnek véges tizedes törtek szakaszos tizedes törtek (tiszta szakaszos, vegyes szakaszos tizedes törtek) A tizedes törteknek végtelen, nem szakaszos formája is van, ezek nem képezhetők két egész szám hányadosaként, ez a forma egy újabb számhalmaz tizedes tört alakja. Az alakú racionális szám, akkor és csak akkor írható fel tiszta szakaszos tizedes tört alakban ha (b;10)=1 (azaz b és a 10 legnagyobb közös osztója az 1)

Irracionális számok Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként irracionális számoknak nevezzük. Az irracionális számok halmazelméleti jelölése: Q* A nem szakaszos végtelen tizedes törtek irracionális számok.

Indirekt bizonyítás Tétel: irracionális szám a √2 Bizonyítás: Indirekt bizonyítás lényege: ha az állítás tagadásáról kimutatjuk, hogy hamis, akkor az állítás igaz. Tegyük fel, hogy √2 racionális szám, azaz van p, q egész, hogy p/q alakban felírható

számosság Véges - végtelen Megszámlálható végtelen – természetes számok, racionális számok 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1…. ½ 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2 9/2…. 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 9/3…. ¼ 2/4 ¾ 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4 9/4…. 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5…. Nem megszámlálható

függvények A leképezések típusai: Egy-egyértelmű leképezés – kölcsönösen egyértelmű leképezés - minden a-nak egy b képe van és viszont. Több a-hoz egy b tartozik (gyerek →életkor függvény, de az életkor →gyerek leképezés nem függvény) Egy a-hoz több b tartozik – nem függvény Függvény – A egyértelmű leképezése B-re

„szabály játék” A szabály felismerése A szabály alkalmazása Példák Y=x+3 2 7 11 12 19 24 5 10 14 16

Mérés- grafikon az óvodában Csapadék mérése: állandó edény és rudacska

Szerzők, versek A={költők}, B={versek} Wass Albert Arany János Petőfi Sándor Kányádi Sándor Móra Ferenc Valaki jár a fák hegyén Szeressétek az iskolát Feltámadott a tenger Családi kör Üzenet haza Toldi János vitéz

leképezések Költő→vers leképezés vers→költő (leképezés - függvény) AxB={minden(vers, költő)} értelmezési tartomány T={igaz, hamis} F: AxB→T logikai függvény

Inverz függvény Csak kölcsönösen egyértelmű leképezés esetén tudjuk értelmezni. Vizsgáljuk meg a versek és szerzők egymáshoz rendelését! Vers --- szerző (egy versnek egy szerzője van) Szerző --- vers (egy szerző több verset is írt.)

feladat Gesztenyét gyűjtünk egy nagy kosárba, és bevisszük a gyerekekkel a csoportszobába. Veszünk (készítünk) olyan dobozokat, melyek egymásba rakhatók. kettesével lehet egy nagyobb dobozt készíteni Két kisebb dobozt egy nagyobb dobozba be lehet rakni.

Kettes számrendszer

Hármas számrendszer A fenti eljárással tegyük be a gesztenyéket a dobozokba, 3-3 db-ot egy dobozba. Ha a dobozok hármasával rakhatók egymásba, akkor a 23 gesztenye elrakásához kell Két kilences, azaz kétszer háromszor hármas doboz, Egy hármas és kívül marad 2 23=2*9+1*3+2, 2123