Logika 4. Logikai összefüggések Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék március 3.

Metalogikai jelek Nem a mondatok logikai struktúrájának jelölésére szolgálnak (ahogyan a már tanult igazságfüggvények, az ún. logikai műveletek) A logikai struktúrák/formulák/sémák közötti logikai viszonyok, az ún. logikai törvények jelölésére szolgálnak Nincsenek olyan kötőszavak a természetes nyelvekben, amelyeknek akár hozzávetőlegesen is megfeleltethetőek lennének

Logikai ekvivalencia Metalogikai jel Jele:  A  jel két oldalán lévő kifejezések igazságértékei azonosak; logikailag ugyanazt fejezik ki: ekvivalensek egymással Szimmetrikus, kommutatív reláció: ha A  B, akkor ugyanúgy B  A Ha Jancsi házastársa Juliskának, akkor Juliska is házastársa Jancsinak. Tranzitív reláció (érvényes a láncszabály): ha A  B és B  C, akkor A  C Ha Péter testvére Pálnak és Pál testvére Jánosnak, akkor Péter is testvére Jánosnak.

Következményreláció (Implikáció) Metalogikai jel Jele:  Az érvényes logikai következtetést jelöli A jel bal oldalán a premisszahalmaz, jobb oldalán a következtetés (konklúzió) van: P  K A premisszák halmaza maga után vonja, implikálja a konklúziót ← implikáció Következményrelációnál csak a premisszákból következik a konklúzió, fordítva azonban ez nem áll A logikai ekvivalenciánál mindkét oldal következik egymásból (a  jel a  és a  jelek összeolvasztásából áll)

Logikai igazság Metalogikai jel Jele:  A  jel baloldalán itt nem szerepel semmi Akkor beszélünk logikai igazságról, ha az állítás minden körülmények között igaz, azaz nem premisszafüggő A klasszikus logika két alaptörvénye logikai igazságként felírva: o Kizárt harmadik törvénye:  (p   p) Vagy az állítás vagy annak negáltja szükségképpen igaz. o Ellentmondásmentesség törvénye:  (p &  p) Nem lehet egyszerre igaz az állítás és annak negáltja.

Logikai törvények Logikai törvények: a metalogikai jelek felhasználásával felírható alapvetések, követelmények az érvényes következtetések számára Az igazságfüggvények (logikai műveletek) tárgyalásánál az elmúlt órán találkoztunk már ilyenekkel: (T1)  (  p)  p (T2) p & q  q & p (T3) (p & q) & r  p & (q & r)  p & q & r

Logikai törvények (T5) p V q   (  p &  q) (T5) negáltja:  (p V q)   (  p &  q) És ennek egyszerűsítése: (T9)  (p V q)   p &  q (az egyik De Morgan-törvény) V ║

Logikai törvények (T5) p V q   (  p &  q) Rendezzük át:  (  p &  q)  p V q Éljünk a következő cserékkel: p →  p, q →  q  (  p &  q)   p V  q Tehát: (T10)  (p & q)   p V  q (a másik De Morgan-törvény) & |

Logikai törvények (T12) {p V q,  p}  q és {p V q,  q}  p Ha egy kéttagú alternáció igaz, de egyik tagja hamis, akkor másik tagjának igaznak kell lennie. V

Logikai törvények A kondicionális levezethetőségének törvénye: (T13) (p  q)   (p &  q) Kontrapozíció törvénye: (T14) (p  q)   q   p Leválasztási szabály (modus ponens): (T15) {p  q, p}  q Előtag indirekt cáfolása (modus tollens): (T16) {p  q,  q}   p Láncszabály (tranzitív tulajdonság): (T17) {p  q, q  r}  p  r 

Logikai törvények Az alternáció levezethetősége kondicionálisból: (T18) p V q   p  q pqp V q p  qp  q pp q p  qp  q

Logikai törvények A konjunkció levezethetősége kondicionálisból: (T19) p & q   (p   q) pqp & q p  qp  q p qqp  qp  q (p  q) (p  q)

Logikai törvények Bikondicionális levezethetőségének törvénye: (T21) (p  q)  (p  q) & (q  p) Bikondicionálisból való következtetés törvénye: (T21) szerint: (p  q)  (p  q), (p  q)  (q  p) (T22) {p  q, p}  q, {p  q,  q}   p Láncszabály alkalmazhatósága bikondicionálisra: (T23) {p  q, q  r}  p  r 

Logikai törvények Kizáró értelmű vagylagosság levezethetősége: (T24) (p  q)  (p &  q) V (  p & q) (T25) (p  q)   p  q, (p  q)  p   q Igaz még: (p  q)   (p  q) pq p  qp  qp  qp  q pp q p  qp  q

A függvény fogalma Adott két nem üres halmaz: ‘A’ és ‘B’. ‘A ‘ halmazon értelmezett ‘B’-beli értékeket felvevő függvényt kapunk, ha az ‘A’ halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a ‘B’ halmaz egy elemét.

Logikai függvények A függvény fogalma kiterjeszthető a logikára is Logikai függvények: a nem-logikai alkatrészek (argumentumok) igazságértékei között a logikai alkatrészek (igazságfunktorok) segítségével teremtett összefüggések Igazságfüggvény: egy vagy több állításból (a bemeneti értékekből) képez összetett állítást oly módon, hogy az eredmény (a kimenet) igazságértékét a komponensek (a bemeneti értékek) igazságértékei egyértelműen meghatározzák A logikai függvények ugyanolyan feszesen vannak definiálva, mint a matematikaiak, s ugyanolyan deduktív következtetési rendszer részét képezik

Szöveges függvények A függvényt megalapozó összefüggést a logikai szavak jelölik ki Teljesen mindegy, hogy a paraméter vagy a változó helyén mi áll: egy szimbólum, vagy egy szövegrész – a függvény érvényes marad Az egyszerűsítés és az egyértelműsítés, a kezelhetőség és az áttekinthetőség érdekében, segédeszközként o igazságfunktorokat (logikai jeleket) o paramétereket és változókat definiálhatunk, vezethetünk be – de ez mint követelmény nem áll fenn, akár el is tekinthetünk tőle.

Szöveges függvények A formális logika elvonatkoztat a változók tartalmától o ‘ha (valaki idegen dolgot mástól azért vesz el, hogy azt jogtalanul eltulajdonítsa), akkor (lopást követ el)’ o ‘(valaki idegen dolgot mástól azért vesz el, hogy azt jogtalanul eltulajdonítsa)  (lopást követ el)’ o ‘ ha p, akkor q’ o ‘p  q’ Logikai elemzés: az adott szöveg logikai szerkezetének feltárása, és ennek alapján következtetések levonása Új forma/lehetőség a számítástechnika alkalmazása: pl. logikai programozási nyelvek (pl. Prolog), döntés- támogató rendszerek (Decision Support System, DSS)

Szöveges függvények Példa jogesetelemzésre Btk § (1) Aki nem nyújt tőle elvárható segítséget sérült vagy olyan személynek, akinek az élete vagy testi épsége közvetlen veszélyben van, vétséget követ el, és két évig terjedő szabadságvesztéssel büntetendő. ‘ ( ( valaki nem igaz, hogy segítséget nyújt ) & ( tőle elvárható módon ) & ( olyan másvalakinek, aki ( már sérült )  ( testi épsége V élete ) közvetlen veszélyben van ) )  ( segítségnyújtás elmulasztásában bűnös )’ (  p 1 & p 2 & (p 31  ( p 321 V p 322 ) ) )  q

Azonosság Az azonosság olyan kétargumentumú predikátum (logikai funktor), amely két olyan nevet kapcsol össze, amelynek jelölete azonos Jele: = (olvasata: ‘azonos’) Olyan kétváltozós függvény, amely ‘igaz’ értéket rendel az azonos jelöletű individuumpárokhoz, s ‘hamis’ értéket az eltérő jelöletűekhez Terjedelmébe a tárgyalási univerzum azon párjai tartoznak, amelyekben a két tag azonos: ‘a = b’, pl. „(Magyarország fővárosa) azonos (Budapesttel).” A felhasználásával megszerkesztett állítások az azonossági állítások

Azonosság Az azonosság mindenek előtt önazonosság o  (a = a) o  x(x = x)  : univerzális kvantor;  x : igaz minden individuumra;  x(x = x) : igaz minden individuumra, hogy azonos önmagával Azonosság a klasszikus logikában csak individuumok között állhat fenn → azonosságjel állítások vagy predikátumok között nem használható Az azonosságot nem a nyelvi kifejezések egybeesése, hanem faktuális értékük (jelöletük, igazságértékük) azonossága alapítja meg → indokoltan használható az ‘a = b’ séma is, általánosan: {a = b, F(a)}  F(b) ← Leibniz-törvény „Bécs és Budapest világváros” = „Bécs és Magyarország fővárosa világváros” (ha Budapest Magyarország fővárosa)