KÖRNYEZETI RENDSZEREK MODELLEZÉSE Dr. Koncsos László egy. docens Matematikai modellezés

Bevezetés – modell fogalma 1. Példa – Newton bolygómozgási modellje egyik első modern modell – úttörő eredmény két test probléma kiterjedés nélküli testek Nap + 1 bolygó Kepler törvényeinek „elegáns” leírása több-test probléma – jóval bonyolultabb feladat m1 m2 F r

Termék és melléktermékek Bevezetés – modell fogalma 2. Példa – kémai reakció kevert reaktorban Törvények, hipotézisek anyag- és energiamegmaradás trv Fourier hővezetési trv. irreverzibilis reakció rendszerparaméterek állandóak tökéletes keverés – homogén részrendszerek … n. a köpeny reagálása azonnali Hűtővíz Reagáló anyagok Termék és melléktermékek Több modell is készíthető egyszerűsítések kezelhetőség

3. Példa – QUAL 2K vízmin. modell Bevezetés – modell fogalma 3. Példa – QUAL 2K vízmin. modell Variable Symbol Units* Inorganic suspended solids mi mgD/L Dissolved oxygen o mgO2/L Slowly reacting CBOD cs Fast reacting CBOD cf Total inorganic carbon cT mole/L

Bevezetés – modell fogalma 3. Példa – QUAL 2K vízmin. modell Variable Symbol Units* Inorganic suspended solids mi mgD/L Dissolved oxygen o mgO2/L Slowly reacting CBOD cs Fast reacting CBOD cf Total inorganic carbon cT mole/L Organic nitrogen no gN/L Ammonia nitrogen na Nitrate nitrogen nn

Bevezetés – modell fogalma 3. Példa – QUAL 2K vízmin. modell Variable Symbol Units* Inorganic suspended solids mi mgD/L Dissolved oxygen o mgO2/L Slowly reacting CBOD cs Fast reacting CBOD cf Total inorganic carbon cT mole/L Organic nitrogen no gN/L Ammonia nitrogen na Nitrate nitrogen nn Organic phosphorus po gP/L Inorganic phosphorus pi Phytoplankton ap gA/L Phytoplankton nitrogen INp Phytoplankton phosphorus IPp Detritus mo Bottom algae biomass ab mgA/m2 Bottom algae nitrogen INb mgN/m2 Bottom algae phosphorus IPb mgP/m2

Bevezetés – modell fogalma Modellalkotás szabadságfoka gyakran igen nagy gátló tényezők, lehetőségek figyelembe vétele megfelelő stragtégia megválasztása Modellek alkalmazásával célunk fizikai (biológiai,…) folyamatok előrejelzése, rendszerváltozók jövőbeli alakulásának meghatározása további kísérletek, megfigyelések módosítása fogalmaink fejlesztése megértése tervezési célok

Bevezetés – modell fogalma Modell – nehéz általánosan definiálni „Egy matematikai modell matematikai egyenletek (struktúrák) tetszőleges teljes és konzisztens halmaza, amelyet arra terveztek, hogy más tulajdonságok összességét, azok prototípusát írja le. A prototípus lehet fizikai, biológiai, társadalmi, pszichológiai vagy konceptuális (vázlatos) tulajdonság, vagy esetleg éppen egy másik matematikai modell.” [Aris, 1978]

Bevezetés – modell fogalma Modell – nehéz általánosan definiálni „…Tehát a modellek jellemzően a valóság egyszerűsített megfelelői, amelyek alkalmasak a vizsgálatra. … Ezért úgy definiálhatjuk a matematikai modellt, mint egy idealizált szabályrendszer, ami a fizikai rendszer külső behatásra adott válaszát adja meg.” [Chapra, 1997]

x x Bevezetés – modell fogalma Modell – nehéz általánosan definiálni „A modellek a modern tudomány alapvető eszközei közé tartoznak.” [Frigg, Hartmann 2006] időleges, célszerű, kényelmes megközelítés x örök igazság kifejeződése túl egyszerű / túl bonyolult hasznos / haszontalan x igaz / hamis

Fizikai kisminta kísérletek

Modellek elemei Változók (valós rendszer jellemzői) Függvénykapcsolatok (kölcsönhatások) Paraméterek (ráták, együtthatók, állandók)

Modellek besorolása …származtatás alapján: Determinisztikus fizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapul ált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható le Empirikus megfigyelések alapján felállított, de nem általános érvényű (~empirikus) összefüggésekre alapul független megfigyelések segítségével Sztochasztikus Valószínűség-elméleti törvényszerűségekre alapul Hibrid determinisztikus + empirikus elemek + sztochasztikus biológiai, meteorológiai, … folyamatok leírása során hasznos

Modellek besorolása …időbeliség alapján: Statikus Dinamikus Input Output time xout,1 xin,1 xin,2 xin,3 Dinamikus Input Output time xout,1 xin,1 xin,2 xin,3

Modellek besorolása … paraméterek alapján: Időben Térben állandó paraméterű változó paraméterű Térben „halmozott” (lumped), állandó paraméterű osztott paraméterű

Modellalkotás folyamata Identifikáció alaptörvények, feltevések számbavétele elégséges részrendszer kiválasztása matematikai realizáció (papír-ceruza / szoftver) Kalibráció modellállandók beállítása számítások és megfigyelések összevetésén alapul Validáció kalibrált modell igazolása független megfigyelések segítségével Érzékenységvizsgálat

Identifikáció – determinisztikus Szennyzőanyag szivárgási probléma talaj rés d=2R h t=0 t x(t) Kérdés: x(0)=h x(t)=? Feltételezések R=áll. rfolyadék=áll. talaj homogén, befogadóképessége állandó Rések rendszere állandó Felírható modell: kifolyási sebesség ~ folyadék szint Szivárgási modell Térfogat t időpontban

A Moivre-Laplace tétel szerint: (a normális eloszlással közelíthető) Identifikáció – sztochasztikus Galton deszka Milyen lesz a golyók eloszlása a gyűjtőcellákban? http://www.nanowerk.com/ azonos golyók n sor n-1 ütközés n+1 gyűjtőcella p=1/2 n x =0,1,2,…,n – tartály indexe A Moivre-Laplace tétel szerint: (a normális eloszlással közelíthető) n+1

Kalibráció – szivárgási probléma talaj rés d=2R h t=0 t x(t) Levezetett szivárgási modell input (ftlen) t output (függő) x(t) paraméterek k, h, R Modellparaméter matematikai modell közvetlenül nem mérhető paramétere fizikai tartalommal, gyakran dimenzióval rendelkezik meghatározása közvetett módon zajlik kalibráció

Kalibráció – szivárgási probléma Kalibrációs feladat x(t) n-szeri megfigyelése a {0;T} idő-intervallumban x=(xmért,1,xmért,2,…….,xmért,n) – mért idősor x(t) számítása a {0;T} idő-intervallumban, különböző k értékekre x(k)=(xszámított,1,xszámított,2,…….,xszámított,n) – számított idősor célfüggvény k-tól függő minimuma? Modellparaméterek beállítása úgy, hogy a számított eredmények a legjobban közelítsék a valóságban megfigyelt értékeket manuális algoritmikus T h x [m] t [s] Mért értékek k=0.01 k=kopt k=100 Kiértékelés: r(k1) > r(k2) > … > r(kn) kopt=kn

Kalibráció – szivárgási probléma Távolság - hiba absztrakt matematikai fogalom jelentősége – célfüggvény felírása általános összefüggések: módosított alakú összefüggések: folytonos függvényre diszkrét függvényre folytonos függvényre diszkretizált súlyozott hibafüggvény

Validáció – szivárgási probléma Validációs feladat igazolni a modell és a kalibrált paraméter-vektor megfelelő voltát a kalibrált modell optimalizációs időszakon kívüli egyeztetése a valósággal T h x [m] t [s] Mért értékek k=kopt

? Módszertan – dekompozíció és aggregáció 2000 1980 MEGOLDÁS PROBLÉMA & RENDSZER MEGOLDÁS MEGOLDÁS ? MEGOLDÁS AGGREGÁCIÓ AGGREGÁLT MODELL DEKOMPOZÍCIÓ DEKOMPOZÍCIÓ DEKOMPONÁLT RENDSZER

Módszertan – dekompozíció és aggregáció Példa 1. C - KONCENTRÁCIÓ VEKTOR HIDRODINAMIKAI EGYENLETEK KEZDETI- ÉS PEREMFELTÉTELEK

Módszertan – dekompozíció és aggregáció Példa 2. C - KONCENTRÁCIÓ VEKTOR HIDRODINAMIKAI EGYENLETEK KEZDETI- ÉS PEREMFELTÉTELEK

D(x,y)=f(v(x,y))

Helyszínrajz 1. Hidegvíz-csatorna 2. Melegvíz-csatorna 3. Sarkantyú 4. 3. Sarkantyú 5. 4. Keresztgát 5. Uszodi sziget

Módszertan – dekompozíció és aggregáció Példa 3. C - KONCENTRÁCIÓ VEKTOR HIDRODINAMIKAI EGYENLETEK KEZDETI- ÉS PEREMFELTÉTELEK

Módszertan – dekompozíció és aggregáció Példa 3. R(C, P) - REAKCIÓ TAG (félempírikus) P - PARAMÉTER VEKTOR IDENTIFIKÁCIÓ SZÜKSÉGES HIPOTÉZISEK KALIBRÁLÁS ÉS IGAZOLÁS ÉRZÉKENYSÉGI ÉSBIZONYTALANSÁGI ELEMZÉSEK

QUAL 2K vízmin. modell s mi o cs cf no na nn po pi ap INp IPp mo X Alk Variable Symbol Units* Conductivity s mhos Inorganic suspended solids mi mgD/L Dissolved oxygen o mgO2/L Slowly reacting CBOD cs Fast reacting CBOD cf Organic nitrogen no gN/L Ammonia nitrogen na Nitrate nitrogen nn Organic phosphorus po gP/L Inorganic phosphorus pi Phytoplankton ap gA/L Phytoplankton nitrogen INp Phytoplankton phosphorus IPp Detritus mo Pathogen X cfu/100 mL Alkalinity Alk mgCaCO3/L Total inorganic carbon cT mole/L Bottom algae biomass ab mgA/m2 Bottom algae nitrogen INb mgN/m2 Bottom algae phosphorus IPb mgP/m2

QUAL 2K vízmin. modell

PAKS Morfológiai modell 2D Hidrodinamikai modell 2D Transzport modell z(x,y) 2D Hidrodinamikai modell kst v(x,y) 2D Transzport modell Dy T(x,y)

Komplexitás

Elméleti megalapozottság