A szabályos háromszög egy érdekes tulajdonsága, avagy… Dr. Kántor Sándorné – Hraskó András A szabályos háromszög egy érdekes tulajdonsága, avagy… A B C P a b c x a, b, c  x http://matek.fazekas.hu/portal/tovabbkepzesek/szeminarium/

Matematika tanári szeminárium http://matek.fazekas.hu/portal/tovabbkepzesek/szeminarium/

Forgatások B B A A C C D D F F P P E E Feladat: Határozzuk meg a szabályos háromszög oldalát (x), ha ismertek egy (belső) P pontnak a csúcsoktól mért távolságai (a, b, c) D B A B C D F E c a b b F P P a c A E C Forgatás A körül 60-kal: CB, P D, APC ADB TADBFCE=2TABC = egy-egy a, b és c oldalú szab háromszög Forgatás B körül 60-kal: AC, P F, BPA BFC és három a, b, c oldalú háromszög területe Forgatás C körül 60-kal: BA, P E, CPB CEA

Elfajult háromszög T2=(a+b+c)(a+bc)(a b+c)( a+b+c)/16 a b c a+b=c Mikor elfajult a háromszög? Ha a területe zérus. T2=(a+b+c)(a+bc)(a b+c)( a+b+c)/16 Heron képlet: http://matek.fazekas.hu/portal/tovabbkepzesek/szeminarium/

Háromszög helyett tetraéder B C P a b c x Elfajult tetraéder Nulla térfogatú tetraéder A0 A1 A2 A3 Tetraéder térfogatképlete az élhosszakkal Euler? V(P)=det(A0A1, A0A2, A0A3)= det L 36V2(T)= det(LLt)= 6V(T)=det(A0A1, A0A2, A0A3)= det L A0 A1 A3 A1A32= (A0A3-A0A1)2= A0A32+A0A12-2A0A3A0A1 http://matek.fazekas.hu/portal/tovabbkepzesek/szeminarium/

Másodfokú egyenlet x2=X X2-(a2+b2+c2)X+(a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2)=0 Két megoldás X-re és így két pozitív x-re is. Miért? Feladat Fejezzük ki a háromszög körülírt körének sugarát az oldalakkal! a b c R

Poliéderek merevsége és térfogata Euler sejtése: minden poliéder merev Cauchy bizonyítása: konvex poliéderre Bricard ellenpéldája 1897-ben nem konvex poliéder(?)-re Önátmetsző oktaéder Lebesgue előadásának fordítása http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/ Hrasko_Andras/Bricard/ Connelly ellenpéldája 1977-ben nem önátmetsző nem konvex poliéderre Steffen egyszerűsítése http://home.bway.net/lewis/steff.html http://mathworld.wolfram.com/FlexiblePolyhedron.html 197x. Conelly és Sullivan: Bellow’s Conjecture= Fújtató sejtés: A térfogat invariáns Bizonyítás (Sabitov 1995, Sabitov Connelly, Waltz 1997): A poliéder éleinek hossza és a térfogata kielégít egy polinomiális összefüggést

Megközelítés komplex számokkal a, b  a+b, ab  (a+b)+(ab), (a+b)(ab) 2a, 2b 1  2 a1, a2, a3  Diszkrét Fourier transzformáció a1+a2+a3, a1+a2+2a3, a1+2a2+a3  Konjugált Fourier transzformáció A C B u v P 3a1, 3a2, 3a3 A=u+v B=u+v C=u+2v (uu+vv), uv, uv  a2, b2, c2

DFT (a2+2b2+c2) (a2+b2+2c2)= a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2 Keressük az uu, vv mennyiségeket: Összegük: a fenti első egyenlet Szorzatuk: a fenti alsó két egyenlet szorzata (a2+2b2+c2) (a2+b2+2c2)= a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2 X2-(a2+b2+c2)X+(a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2)=0 X=3vv u és v felcserélhető! Diszkrimináns! http://matek.fazekas.hu/portal/tovabbkepzesek/szeminarium/