Függvények

Függvényfogalom Adott két halmaz: H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. H halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Értékkészlet: az összes lehetséges függvényérték halmaza. K halmaz a függvény értékkészlete vagy annál bővebb halmaz. Helyettesítési érték: f függvény x0 helyen felvett értéke. Jelölése: f(x0) Egy f: H1→K1, x→f(x) és egy g: H2→K2, x→g(x) függvényt akkor tekintünk egyenlőnek, ha értelmezési tartományuk azonos: H1=H2, és az értelmezési tartomány bármely x helyére f(x)=g(x)

Elsőfokú függvények Az f: R → R, f(x) = ax + b (a, b konstans,a ≠ 0) függvényeket elsőfokú függvényeknek Az elsőfokú függvények képe egyenes.

Másodfokú függvények Az f: R → R, f(x) = ax2 + bx + c (a, b, ckonstans,a ≠ 0) függvényeket másodfokú függvényeknek nevezzük. A másodfokú függvényeknek képe parabola

Másodfokú függvények f(x)=12(x+3)2+4 f(x)=x2 f(x)= (x+3)2

A négyzetgyök függvény Az függvényt négyzetgyök függvénynek nevezzük. A négyzetgyök függvény grafikus képe az x2 függvény I. negyedben levő grafikus képéből az x és y tengely felcserélésével adódik. (Ez az y = x egyenletű egyenesre vonatkozó tükrözést jelent.)

Elsőfokú törtfüggvények Az függvényt (ahol a, b, c, d konstans,c ≠ 0 és ad ≠ bc) elsőfokú törtfüggvénynek nevezzük. Az elsőfokú törtfüggvények képe hiperbola

Elsőfokú törtfüggvények

Elsőfokú törtfüggvények

Az abszolútérték függvény Az f: R → R, f(x) = |x| függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük. A g(x)=x függvény képének x tengely alatti részét tükrözzük az x tengelyre. Ez a tükörkép, együtt a g függvény grafikonjának az x tengelyen levő és az x tengely feletti részével, lesz az f függvény grafikus képe.

Az abszolútérték függvény f(x) = 2|x+2|-3 f(x) = |x| f(x) = |x+2| f(x) = 2|x+2| f(x) = 2|x+2|-3

Az egészrész függvény Az x valós szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely kisebb az x-nél vagy egyenlő vele. Az egészrész jelölése: [x] (olvasd: „x egészrésze”). Például: [2,1] = 2; [3,98] = 3; [ –0,2] = –1; [ –7,8] = –8; [5] = 5. A definíció alapján: x – 1 < [x] ≤ x. Az f: R → R, f(x) = [x] függvényt egészrész-függvénynek nevezzük

A törtrész függvény Az x valós szám törtrésze az x - [x] szám. A törtrész jelölése: {x} (olvasd: „x törtrésze”). Például: {2,1} = 0,1; {3,98} = 0,98; { –0,2} = 0,8; { –7,8} = 0,2; {5} = 0. A definíció alapján: 0 ≤ {x} < 1 és x = [x] + {x}. Az f: R → R, f(x) = {x} függvényt törtrész-függvénynek nevezzük

A szignumfüggvény Az függvényt szignumfüggvénynek nevezzük Grafikus képe: egy pontból és két félegyenesből áll (a félegyenesek végpontjai nem tartoznak a függvényképhez). A (0; 0) pont a grafikon egy elszigetelt (izolált) pontja.

Függvénytranszformációk A függvényérték transzformációi A változó transzformációi f(x) + c, az f függvény képe az y tengellyel párhuzamosan eltolódik |c|-vel, ha 0 < c, akkor felfelé, ha c < 0, akkor lefelé;  f(x + c), az f függvény képe az x tengellyel párhuzamosan eltolódik |c|-vel, ha 0 < c, akkor balra, ha c < 0, akkor jobbra; –f(x), az f függvény képe az   x tengelyre tükröződik; f( –x), az f függvény képe az y tengelyre tükröződik; cf(x), az f függvény képe az y tengely irányában c-szeresére megnyúlik, ha 1 < c, összenyomódik, ha 0 < c < 1. f(cx), az f függvény képe az x tengely irányában 1c -szeresére összenyomódik, ha 1 < c, megnyúlik, ha 0 < c < 1.

Függvények jellemzői Valamely f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindazokat az x értékeit, amelyeknél f(x) = 0. A g: R→R, g(x)=x2−2x−3 függvénynek a zérushelyei x1 = –1, x2 = 3, mert g(–1) = 0, g(3) = 0

Függvények jellemzői Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a függvényértékekre f(x1) < f(x2) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény növekvő. Az f függvény a [b; c]-on monoton növő.

Függvények jellemzői Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely x1 < x2 értékeinél a függvényértékekre f(x1) > f(x2) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény csökkenő. Az f függvény az [a; b]-on csökken. Szokásos kifejezéssel: „az f függvény az [a; b]-on monoton csökkenő”. (Monoton = egyhangú, változatosság nélküli.)

Függvények jellemzői Egy f függvénynek minimuma van a változó x0 értékénél, ha az ott felvett f(x0) függvényértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvény. A függvénynek az x = 1 helyen a legkisebb a függvényértéke: a függvénynek x = 1-nél minimuma van.

Függvények jellemzői Egy f függvénynek maximuma van a változó x0 értékénél, ha az ott felvett f(x0) függvényértéknél nagyobb értéket sehol sem vesz fel a függvény. Az f függvénynek x = a helyen maximuma van. x = b bizonyos környezetében a függvénynek minimuma van, az x = c bizonyos környezetében pedig maximuma. Ezt helyi minimumnak, illetve helyi maximumnak nevezzük (más helyen a helyi minimumnál kisebb függvényérték is van, és megint más helyen a helyi maximumnál nagyobb függvényérték is van).