A kvantummechanika alapegyenlete, a Schrödinger-féle egyenlet és a hullámfüggvény Born-féle értelmezése Előzmények Az általános hullámegyenlet Megoldás időben állandósult (stacionárius) állapotra A hullámfüggvény sajátságai A hullámfügvény és a mérhető mennyiségek kapcsolata
Előzmények A mozgásmennyiség: de Broglie összefüggés:
A hullámmozgást leíró differenciálegyenlet ahol,
Állandósult állapotban: Mivel
A (x,y,z) hullámfüggvény sajátságai: A hely folytonos és egyértelmű függvénye - = c11+c22 (szuperpozíció elve)
Mi a hullámfüggvény „fizikai tartalma”? A hullámfügvény és a mérhető mennyiségek kapcsolata Mi a hullámfüggvény „fizikai tartalma”?
kinetikus energia + potenciális energia = teljes energia , ,
H = E Az egyenlet megoldásai: (x,y,z)i sajátfüggvények és Ei sajátértékek Az energia várható értéke, ha ismerjük az adott mikroobjektum állapotát leíró hullámfüggvényt és az energia operátorát, a H-t:
A kvantumelmélet alkalmazása egyszerű modellekre 1. A „szabad elektron” állapotának leírása Az elektron egyenesvonalú egyenletes mozgással halad zérus potenciáltérben: (x) V(x)=0
Az elektron mozgásmennyiségét pontosan ismerjük! Az egyenlet általános megoldása: Az elektron mozgásmennyiségét pontosan ismerjük! Mit tudunk mondani a helyéről?
a Ebből következik, hogy az elektron tartózkodási valószínűsége az egyenes mentén bármely x értéknél 1/2a! Mivel azonban a , ez zérushoz tart.
Vizsgáljuk meg most ugyanezt a problémát úgy, hogy “elrontjuk” a mozgásmennyiség “pontosságát”! Keressük most a megoldást A=B feltétellel. Ekkor a hullámfüggvény valós, azaz: A mozgásmennyiség azonban még mindig; Ezért keressük a sajátfüggvényt a következő alakban:
Következtetések: 1. Az impulzus pontos ismerete esetén az elektron helye „teljesen” bizonytalan! 2. Ha a p bizonytalanságát növeljük az elektron helyének bizonytalansága csökken! Az eredmények összhangban vannak a Heisenberg-féle bizonytalansági relációval!